View source for Tema 1. Sèries numèriques i integrals impròpies

{{Definició|Una <u>sèrie</u> de nombres reals és un parell de successions <math>(a_n)_{n \geq 0}, (s_n)_{n \geq 0}</math> relacionades per <math>s_n = \sum_{k=0}^n a_k</math> on:
* <math>a_n</math> és el <u>terme</u> n-èssim
* <math>s_n</math> és la <u>suma parcial</u> n-èssima}}

{{Observació|Les sumes parcials determinen els termes:

<math>a_0 = s_0 \\ a_n = s_n - s_{n-1} \quad (n \geq 1)</math>}}

{{Definició|La <u>suma</u> de la sèrie és el límit (si existeix) de les sumes parcials n-èssimes: <math>s = \lim s_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n a_k</math>}}

Es representa per <math>s = \sum_{n \geq 0} a_n = \sum_{n=0}^\infty a_n</math>

Aquesta notació també s'utilitza per representar la sèrie.

{{Definició|Una sèrie es diu convergent o divergent segons que ho sigui la successió de sumes parcials:
* <u>Convergent:</u> <math>\sum_{k \geq 0} a_k \in \mathbb{R}</math>
* <u>Divergent:</u> <math>\sum_{k \geq 0} a_k = \pm \infty</math>
* <u>Oscil·lant:</u> <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n a_k</math> no existeix}}

== La sèrie geomètrica ==
{{Definició|Donat <math>r \in \mathbb{R}</math>, la <u>sèrie geomètrica</u> de raó r és <math>\sum_{n \geq 0}r^n</math>}}

{{Proposició|La sèrie geomètrica és convergent si <math>|r| < 1</math>.
* En tal cas, la seva suma val <math>\sum_{n \geq 0}r^n = \frac{1}{1-r}</math>
* Si <math>r \geq 1</math>, la sèrie és divergent.
* Si <math>r \leq 1</math>, la sèrie és oscil·lant.|<math>s_n = 1 + r + r^2 + \cdots + r^n = \left\{\begin{array}{ll} n+1 & \text{si } r = 1 \\ \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1} & \text{si } r \neq 1 \end{array}\right.</math>}}

{{Exemple|<math>\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots = 1</math>

<math>s_1 = \frac{1}{2} \\ s_2 = \frac{2}{3} \\ s_3 = \frac{3}{4} \\ \vdots \\ s_n = \frac{n}{n+1} \text{?}</math>}}

== Proposicions i propietats de les sèries ==
{{Proposició|<math>\sum a_n \text{ convergent} \implies \lim a_n = 0</math> (condició necessària de convergència)|<math>a_n = s_n - s_{n-1} \implies \lim a_n = \lim s_n - \lim s_{n-1} = s - s = 0</math>}}

{{Proposició|(criteri de Cauchy per a sèries) Una sèrie <math>\sum a_n</math> és convergent sii <math>\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \text{ tq } m > n \geq n_0 \implies |s_m - s_n| = |a_{n+1} + \cdots + a_m| < \epsilon</math>|És el criteri de Cauchy aplicat a la successió de sumes parcials (s_n)}}

=== Propietats ===
* <u>Linealitat:</u> trivial (suma de termes: suma de sumes; escalació de termes: escalació de la suma)

La convergència d'una sèrie només depèn de la "cua" de la sèrie.

{{Proposició|Si dues successions <math>(a_n), (b_n)</math> són iguals llevat d'un nombre finit de termes, aleshores les dues sèries <math>\sum a_n \text{ i } \sum b_n</math> tenen el mateix caràcter (les dues són convergents, divergents o oscil·lants).|Les dues són iguals llevat d'un nombre finit de termes, o sigui, a partir d'algun <math>n_0</math> les dues successions són iguals.

Per tant, si <math>n \geq n_0 \quad \begin{array}{l} \sum_{k=0}^n a_k = \overbrace{\sum_{k=0}^{n_0 - 1} a_k}^{A} + \sum_{k=n_0}^n a_k \\ \sum_{k=0}^n b_k = \underbrace{\sum_{k=0}^{n_0 - 1} b_k}_{B} + \sum_{k=n_0}^n b_k \end{array} \underset{a_k = b_k \text{ si } k \geq n_0 \\ \text{i fem el límit}}{\implies} \begin{array}{l} \lim \sum_{k=0}^n a_k = A + \lim \sum_{k=n_0}^n a_k \\ \lim \sum_{k=0}^n b_k = B + \lim \sum_{k=n_0}^n a_k \end{array}</math>}}

{{Proposició|(associativitat) Sigui <math>\sum_{n \geq 0} a_n</math> una sèrie i <math>(n_k)_{k \geq 0}</math> una successió estrictament creixent de nombres naturals.

Definim <math>b_0 = a_0 + \cdots + a_{n_0}</math> i, si <math>k > 0, b_k = a_{n_{k-1}+1} + \cdots + a_{n_k}</math>.

Aleshores, <math>\exists \sum_{n \geq 0} a_n \implies \exists \sum_{k \geq 0} b_k \text{ i } \sum_{n \geq 0} a_n = \sum_{k \geq 0} b_k</math>}}