View source for Resum de càlcul integral

{{Under construction|Avm99963}}

== Tema indefinit ==

'''Integrable Riemann en A:''' Si <math>\underline{\int}_{A} f = \overline{\int}_{A} f</math>

'''Conjunt <math>C \in \mathbb{R}^n</math> admissible''': si és fitat i <math>Fr(C)</math> té mesura nul·la.

'''Conjunt <math>C \in \mathbb{R}^n</math> mesurable Jordan''': si és fitat i <math>\exists \int_R \chi_C</math>, on <math>R</math> és un rectangle compacte tq <math>C \subset R</math>

=== Integrals impròpies ===
'''Exhaustió de E:''' successió <math>(E_i)</math> de conjunts mesurables Jordan tq:
# <math>E_i \subset E</math>
# <math>E_i \subset E_{i+1}</math>
# <math>\displaystyle \bigcup_{i} E_i = E</math>

'''Integral impròpia''': si <math>f</math> és integrable a cada <math>E_i</math>: <math>\displaystyle \int_{E} f := \lim_i \int_{E_i} f</math>

'''Localment integrable Riemann (v. 2)''': <math>\forall x \in U \: \exists E(x) : \begin{cases} E(x) \text{ mesurable Jordan} \\ f|_{E(x)} \text{ integrable Riemann} \end{cases}</math>

== Integrals de línia i de superfície ==
=== Longitud de corba ===
'''Camí/corba parametritzada:''' aplicació contínua <math>\gamma: I \longrightarrow \mathbb{R}^n</math> en un interval no degenerat

'''Partició:''' <math>P = \{t_0, \ldots, t_N\}</math> partició de <math>I = [a, b]</math>. Defineix una línia poligonal tq <math>\displaystyle L(\gamma, P) = \sum_{i = 1}^N || \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) ||</math>

'''Longitud:''' <math>\displaystyle L(\gamma) = \sup_P L(\gamma, P) \in [0, +\infty]</math>

'''Camí rectificable:''' si <math>L(\gamma) < +\infty</math>

'''Monotonia i continuitat de la longitud:''' <math>l: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R} : \begin{cases} l(a) = 0 \\ l(t) = L(\gamma|_{[a, t]}) \enspace a < t \leq b \end{cases}</math> és creixent i contínua.

Sigui <math>\begin{cases} \sigma: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^n \text{ camí} \\ \varphi: [c, d] \longrightarrow [a, b] \text{ homeomorfisme} \\ \tau = \sigma \circ \varphi: [c, d] \longrightarrow \mathbb{R}^n \end{cases}</math>

<math>\sigma, \tau</math> són '''camins equivalents'''. <math>\varphi \text{ creixent} \implies </math> '''mateixa orientació''' (si no, '''orientació oposada''').

<math>\sigma \circ \tau</math> és el '''camí reparametritzat''' de <math>\sigma</math> per la '''reparametrització''' <math>\varphi</math>.

'''Longitud:''' <math>\displaystyle L(\gamma) = \int_a^b ||\gamma'|| = \int_a^b ||\gamma'(t)|| \; dt</math>

=== Integral de línia de funcions escalars ===
'''Integral de línia de <math>f</math> al llarg de <math>\sigma</math>:''' <math>\displaystyle \int_\sigma f \; dl := \int_I f(\sigma(s)) \; ||\sigma'(s)|| \; ds</math>

=== Integral de línia de camps vectorials ===
'''Integral de línia o circulació de <math>\vec{f}</math> al llarg de <math>\sigma</math>:''' <math>\displaystyle \int_\sigma \vec{f} \cdot d\vec{l} := \int_I \vec{f}(\sigma(s)) \cdot \vec{\sigma}'(s) \; ds</math>

=== Integral de superfície de funcions escalars ===
'''Superfície parametritzada:''' <math>\sigma: U \longrightarrow \mathbb{R}^2 \enspace \mathcal{C}^1</math>

'''Vectors tangents:''' <math>\vec{T_i}: U \longrightarrow \mathbb{R}^n</math>; <math>\begin{cases} \vec{T_1} = D_1\sigma \\ \vec{T_2} = D_2\sigma \end{cases}</math>; <math>J\sigma = (\vec{T_1}, \vec{T_2})</math>

'''Parametrització regular:''' <math>D\sigma</math> té rang màxim sempre.

'''Integral de superfície:''' <math>\displaystyle \int_M f \; dS := \int_\sigma f \; dS := \int_U f(\sigma(s)) \sqrt{g(u)} \; du_1 du_2</math>, <math>g(u) = \det \begin{bmatrix} \vec{T_1}\cdot\vec{T_1} & \vec{T_1}\cdot\vec{T_2} \\ \vec{T_2}\cdot\vec{T_1} & \vec{T_2}\cdot\vec{T_2} \end{bmatrix}</math>

Equivalentment, <math>\displaystyle \int_M f \; dS = \int_\sigma f(\sigma(u)) \; ||T_1 \times T_2|| \; du_1 du_2</math>

=== Integrals de superfície de camps vectorials a <math>\mathbb{R}^3</math> ===
'''Integral de superfície o flux de <math>\vec{f}</math> sobre <math>\sigma</math>:''' <math>\displaystyle \int_\sigma \vec{f} \cdot d\vec{S} := \int_U \vec{f}(\sigma(u)) \cdot (\vec{T_1}(u) \times \vec{T_2}(u)) \; du_1 du_2</math>

Sigui <math>\begin{cases} \varphi: U \longrightarrow \tilde{U} \text{ difeomorfisme entre oberts connexos de } \mathbb{R}^2 \\ \sigma: U \longrightarrow \mathbb{R}^3 \text{ una superfície parametritzada} \\ \tilde{\sigma} = \sigma \circ \varphi^{-1}: \tilde{U} \longrightarrow \mathbb{R}^3 \text{ la reparametritzada de } \sigma \text{ per } \varphi \end{cases}</math>

Aleshores, <math>\displaystyle \int_\tilde{\sigma} \vec{f} \cdot d\vec{S} = \pm \int_\sigma \vec{f} \cdot d\vec{S}</math>, on el signe és el de <math>J\varphi</math>



[[Category:Càlcul integral]]