Tema 2. Espais vectorials

Espais vectorials i subespais vectorials

Definició: un cos és un conjunt K no buit amb dues operacions internes

• Suma: [math]\displaystyle{ K \times K \longrightarrow K \\ (a, b) \longmapsto a+b }[/math]
• Producte: [math]\displaystyle{ K \times K \longrightarrow K \\ (a, b) \longmapsto a \cdot b }[/math]

tals que:

• La suma és:
  • Associativa [math]\displaystyle{ (a+b)+c=a+(b+c) \quad \forall a, b, c \in K }[/math]
  • Commutativa [math]\displaystyle{ a+b=b+a \quad \forall a,b,c \in K }[/math]
  • Admet element neutre [math]\displaystyle{ \exists 0_k = 0 \in K \quad \text{tal que} \quad a+0=a \quad a \in K }[/math]
  • Existeix l'element invers (o oposat) [math]\displaystyle{ \forall a \in K, \quad \exists b \in K \quad | \quad a+b=0 }[/math]
• El producte és:
  • Associatiu [math]\displaystyle{ (ab)c=a(bc) \quad \forall a,b,c \in K }[/math]
  • Commutatiu [math]\displaystyle{ a+b=b+a \quad \forall a,b,c \in K }[/math]
  • Admet element neutre [math]\displaystyle{ \exists 1_k=1 \in K \quad | \quad a \cdot 1 = 1 \cdot a = a, \forall a \in K }[/math]
  • Existeix un element invers [math]\displaystyle{ \forall a \in K \setminus \{0\}, \exists b \in K \quad | \quad ab=1 }[/math]
• La suma i el producte es relacionen per la propietat distributiva: [math]\displaystyle{ a(b+c)=ab+ac \quad \forall a,b,c \in K }[/math]

Exemples:

1. [math]\displaystyle{ K = \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} }[/math] són cossos.
2. [math]\displaystyle{ \mathbb{N}, \mathbb{Z}, k[x] }[/math] no són cossos.
3. Enters mòduls n

Enters mòduls n (parèntesi)

Fixat un natural n, dos enters [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] són congruents módul n, [math]\displaystyle{ a \equiv b \mod{n} }[/math], [math]\displaystyle{ n \mid a-b }[/math], és a dir; quan dividim per "n" obtenim el mateix residu amb "a" i amb "b".

Agrupant els enters que són congruents mòdul "n" obtenim les classes de congruències mòdul n: [math]\displaystyle{ \bar{a} = \{a+\lambda \cdot n\}_{\lambda \in \mathbb{Z}} }[/math]

Notació: [math]\displaystyle{ \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} = \{\text{conjunt de classes de congrüència mòdul n}\} }[/math] (es llegeix "zeta mòdul n")

Exemple: [math]\displaystyle{ n=5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\mathbb{Z}}{5\mathbb{Z}} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}\} }[/math] [math]\displaystyle{ \bar{0} = \{..., -5, 0, 5, 10, ...\} }[/math] [math]\displaystyle{ \bar{1} = \{..., -9, -4, 1, 6, 11, ...\} }[/math]

Exemple: Comproveu que les operacions suma i producte estan ben definides a [math]\displaystyle{ \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b} \\ \bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{a \cdot b} \end{cases} en \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} }[/math] [math]\displaystyle{ \bar{1} + \bar{4} = \bar{5} \\ \bar{5} + \bar{14} = \bar{20} }[/math] De totes les propietats de la llista, l'única que "pot fallar" és l'existència d'invers respecte el producte (les altres són certes a [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]). Per n=5: [math]\displaystyle{ \begin{cases} \overline{1} \cdot \overline{1} = \overline{1} \\ \overline{2} \cdot \overline{3} = \overline{1} \\ \overline{3} \cdot \overline{2} = \overline{1} \\ \overline{4} \cdot \overline{4} = \overline{1} \end{cases} \Rightarrow \text{Tots els productes tenen invers respecte del producte} \Rightarrow \frac{\mathbb{Z}}{5\mathbb{Z}} }[/math] Per n=6: [math]\displaystyle{ \frac{\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}} = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}\} }[/math] [math]\displaystyle{ \overline{1} \cdot \overline{1} = \overline{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \text{Si } \overline{a} \text{ fos invers de 2} \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{2} = \overline{1} }[/math], és a dir, [math]\displaystyle{ a \cdot 2 = 1 + \lambda \cdot 6 }[/math]: impossible perquè [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} 2 \mid a \cdot 2 \\ 2 \mid \lambda \cdot 6 \\ 2 \nmid 1 \end{array} }[/math]