Resum pel parcial de fonaments de la matemàtica

Tema 0: Introducció als nombres complexos

El conjunt dels nombres complexos es defineix: [math]\displaystyle{ \mathbb{C} = \{a+bi : a, b \in \mathbb{R}\} }[/math]

Definicions

Sigui [math]\displaystyle{ z = a+bi }[/math] un nombre complex. Aleshores:

• El mòdul és: [math]\displaystyle{ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]
• El conjugat és: [math]\displaystyle{ \overline{z} = a-bi }[/math]
• La part real és: [math]\displaystyle{ \text{Re } z = a }[/math]
• La part imaginària és: [math]\displaystyle{ \text{Im } z = b }[/math]
• El punt afix és el punt de coordenades [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]

Operacions amb els complexos

Suma: [math]\displaystyle{ (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i }[/math]

Multiplicació: [math]\displaystyle{ (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i }[/math]

Divisió: [math]\displaystyle{ \dfrac{a+bi}{c+di} = \dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2 + d^2} }[/math]

Expressió trigonomètrica o polar dels complexos

[math]\displaystyle{ r = |z|, \alpha = \text{arg } z \implies \left\{ \begin{array}{l} a = \text{Re } z = r \cdot \cos \alpha \\ b = \text{Im } Z = r \cdot \sin \alpha \end{array}\right\} \implies \begin{cases} r = \sqrt{a^2 + b^2} \\ \alpha = \arctan(\frac{b}{a}) \end{cases} }[/math]

Forma polar: [math]\displaystyle{ z = r_\alpha }[/math]

Forma exponencial: [math]\displaystyle{ z = r \cdot e^{\alpha i} }[/math]

Propietat bàsica del mòdul i de l'exponent

1. [math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \text{arg } (z_1 \cdot z_2) = \text{arg } (z_1) + \text{arg } (z_2) + 2 \pi k \quad \forall k \in \mathbb{Z} }[/math]

Teorema

[math]\displaystyle{ e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha }[/math]

Fòrmua de Moivre: [math]\displaystyle{ (\cos x + i \sin x)^n = \cos (nx) + i \sin (nx) }[/math]

Fòrmula d'Euler: [math]\displaystyle{ e^{i\pi} = -1 }[/math]

Arrels n-éssimes de nombres complexos

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{r \cdot e^{i\alpha}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{i\alpha}{n} + \frac{2 \pi i}{n}k} \quad \forall k = \{0, 1, \ldots, n-1\} }[/math]

Propietats del conjugat

1. [math]\displaystyle{ \overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \quad \overline{\lambda \cdot z} = \lambda \cdot \overline{z} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \overline{z_1 \div z_2} = \overline{z_1} \div \overline{z_2} \quad \text{si } z_2 \neq 0 }[/math]

Teorema Fonamental de l'Àlgebra

[math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] és un cos algebraicament tancat, és a dir, tot polinomi amb coeficients complexos té tantes arrels complexes com el seu grau.

Tema 1: Teoria de conjunts

Existeixen uns objectes que anomenem conjunts i una relació de pertinença ([math]\displaystyle{ \in }[/math]) de forma que per a cada conjunt [math]\displaystyle{ A }[/math] i cada objecte [math]\displaystyle{ X }[/math] una i només una de les afirmacions següents és certa:

1. [math]\displaystyle{ x \in A }[/math]
2. [math]\displaystyle{ x \notin A }[/math]

3 primers axiomes de Zermelo-Fraenkel

(I) Axioma d'extensió: Dos conjunts [math]\displaystyle{ A, B }[/math] són iguals quan [math]\displaystyle{ x \in A \iff x \in B \quad \forall x }[/math]

(II) Axioma del conjunt buit: Existeix un conjunt [math]\displaystyle{ B }[/math] tq [math]\displaystyle{ x \notin B \quad \forall x }[/math]

(III) Axioma del parell: Per a qualsevol parella d'objectes [math]\displaystyle{ a, b }[/math] existeix un conjunt [math]\displaystyle{ u }[/math] tq [math]\displaystyle{ x \in u \iff \begin{cases} x = a \\ o \\ x = b \end{cases} }[/math]. Denotem aquest conjunt per [math]\displaystyle{ \{a, b\} }[/math]. Noteu que [math]\displaystyle{ \{a, b\} = \{b, a\} }[/math]

Propietats bàsiques de [math]\displaystyle{ \cup }[/math] i [math]\displaystyle{ \cap }[/math]

(1) [math]\displaystyle{ A \subset A \cup B; B \subset A \cup B }[/math]	(1') [math]\displaystyle{ A \cap B \subset A; A \cap B \subset B }[/math]
(2) [math]\displaystyle{ A \cup A = A }[/math]	(2') [math]\displaystyle{ A \cap A = A }[/math]
(3) [math]\displaystyle{ A \cup B = B \cup A }[/math]	(3') [math]\displaystyle{ A \cap B = B \cap A }[/math]
(4) [math]\displaystyle{ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C }[/math]	(4') [math]\displaystyle{ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C }[/math]
(5) [math]\displaystyle{ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) }[/math]	(5') [math]\displaystyle{ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) }[/math]

Conjunts inductius

Un conjunt inductiu és un conjunt [math]\displaystyle{ I }[/math] tal que

1. [math]\displaystyle{ \emptyset \in I }[/math]
2. [math]\displaystyle{ x \in I \implies x \cup \{x\} \in I }[/math]

Axioma de l'infinit

Existeix un conjunt inductiu [math]\displaystyle{ I_o }[/math].

Els nombres naturals

El conjunt dels nombres naturals és [math]\displaystyle{ \mathbb{N} = \bigcap\limits_{I \text{ inductiu}} I }[/math]

Correspondències

Una correspondència entre dos conjunts [math]\displaystyle{ A, B }[/math] és un subconjunt [math]\displaystyle{ R \subset A \times B }[/math]

Parell ordenat

Siguin [math]\displaystyle{ A, B }[/math] conjunts, [math]\displaystyle{ a \in A, b \in B }[/math].

Un parell ordenat determinat per [math]\displaystyle{ a, b }[/math] és [math]\displaystyle{ (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\} }[/math]

Producte cartesià

El producte cartesià dels conjunts [math]\displaystyle{ A, B }[/math] és el conjunt [math]\displaystyle{ A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\} }[/math]

Alguns tipus/exemples de correspondències

• Aplicacions
• Relacions d'equivalència
• Relacions d'ordre

Aplicacions

Siguin [math]\displaystyle{ A, B }[/math] conjunts. Una aplicació d'[math]\displaystyle{ A }[/math] en [math]\displaystyle{ B }[/math] és una correspondència [math]\displaystyle{ F \subset A \times B }[/math] tal que [math]\displaystyle{ \forall a \in A \exists! b \in B \text{ tq } (a, b) \in F }[/math]

Solem escriure-ho [math]\displaystyle{ \begin{array}{rl} F: & A \longrightarrow B \\ & a \longmapsto F(a) = b \end{array} }[/math]

Direm que [math]\displaystyle{ A }[/math] és el conjunt de sortida i B és el conjunt d'arribada.

Tipus d'aplicacions

1. Injectiva: [math]\displaystyle{ \forall a, a' \in A \quad f(a) = f(a') \implies a = a' }[/math]
2. Exhaustiva: [math]\displaystyle{ \forall b \in B \exists a \in A \text{ tq } f(a) = b }[/math]
3. Bijectiva: injectiva i exhaustiva

Propietats de les aplicacions

[math]\displaystyle{ f: A \longrightarrow B }[/math] aplicació, [math]\displaystyle{ A_1, A_2 \subset A, B_1, B_2 \subset B }[/math]

(1) [math]\displaystyle{ A_1 \subset A_2 \implies f(A_1) \subset f(A_2) }[/math]	(1') [math]\displaystyle{ B_1 \subset B_2 \implies f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(B_2) }[/math]
(2) [math]\displaystyle{ f(\emptyset) = \emptyset }[/math]	(2') [math]\displaystyle{ f^{-1}(\emptyset) = \emptyset }[/math]
(3) [math]\displaystyle{ f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2) }[/math]	(3') [math]\displaystyle{ f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) }[/math]
(4) [math]\displaystyle{ f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2) }[/math]	(4') [math]\displaystyle{ f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2) }[/math]
(5) [math]\displaystyle{ f^{-1}(f(A_1)) \supset A_1 }[/math]	(5') [math]\displaystyle{ f(f^{-1}(B_1)) \subset B_1 }[/math]

Relacions d'equivalència

Sigui [math]\displaystyle{ A }[/math] un conjunt. Una relació d'equivalència en A és una correspondència [math]\displaystyle{ R \in A \times A }[/math] que satisfà les propietats següents:

1. P. reflexiva: [math]\displaystyle{ \forall a \in A \quad (a, a) \in R }[/math]
2. P. simètrica: [math]\displaystyle{ \forall a, b \in A \quad (a, b) \in R \implies (b, a) \in R }[/math]
3. P. transitiva: [math]\displaystyle{ \forall a, b, c \in A \quad (a, b) \in R, (b, c) \in R \implies (a, c) \in R }[/math]

Notació: escriurem [math]\displaystyle{ aRb }[/math] o [math]\displaystyle{ a \sim b }[/math] en lloc de [math]\displaystyle{ (a, b) \in R }[/math] i direm que [math]\displaystyle{ a }[/math] està relacionat amb [math]\displaystyle{ b }[/math] (per [math]\displaystyle{ R }[/math]).

Classe d'equivalència

Sigui [math]\displaystyle{ A }[/math] un conjunt i [math]\displaystyle{ R }[/math] una relació d'equivalència en [math]\displaystyle{ A }[/math]. [math]\displaystyle{ [a] = \{b \in A : aRb\} }[/math] és una classe d'equivalència de A.

A més a més [math]\displaystyle{ \dfrac{A}{R} = \{[a] : a \in A\} }[/math] és el conjunt quocient de [math]\displaystyle{ A }[/math] per [math]\displaystyle{ R }[/math].

Relacions d'ordre

Sigui [math]\displaystyle{ A }[/math] un conjunt. Llavors [math]\displaystyle{ \leq \in A \times A }[/math] és una relació d'ordre i compleix les següents propietats:

1. P. reflexiva: [math]\displaystyle{ a \leq a }[/math]
2. P. antisimètrica: [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a \leq b \\ b \leq a \end{array}\right\} \implies a = b }[/math]
3. P. transitiva: [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a \leq b \\ b \leq c \end{array}\right\} \implies a \leq c }[/math]

Existeixen dos tipus d'ordre (tal com hem fet a classe, ja que en realitat es podrien classificar en tres tipus):

• Relació d'ordre total: [math]\displaystyle{ \forall a, b \in A \begin{cases} a \leq b \\ \text{o bé} \\ b \leq a \end{cases} }[/math]
• Relació d'ordre parcial: altrament.

Elements distingits

• Fites superiors i inferiors: Direm que un element [math]\displaystyle{ a \in A }[/math] és una fita superior de [math]\displaystyle{ X }[/math] en [math]\displaystyle{ (A, \leq) }[/math] si [math]\displaystyle{ x \leq a }[/math] per a tot [math]\displaystyle{ x \in X }[/math]. Anàlogament definim una fita inferior.
• Suprem i ínfim: Direm que un element [math]\displaystyle{ a \in A }[/math] és l’ínfim de [math]\displaystyle{ X }[/math] en [math]\displaystyle{ (A, \leq) }[/math] si [math]\displaystyle{ a }[/math] és una fita inferior de [math]\displaystyle{ X }[/math] en [math]\displaystyle{ (A, \leq) }[/math] i es tal que [math]\displaystyle{ a' \leq a }[/math] per a qualsevol fita inferior [math]\displaystyle{ a' }[/math] de [math]\displaystyle{ X }[/math] en [math]\displaystyle{ (A, \leq) }[/math]. Anàlogament definim l'ínfim.
• Màxim i mínim: Direm que un element [math]\displaystyle{ a \in A }[/math] és el màxim de [math]\displaystyle{ X }[/math] en [math]\displaystyle{ (A, \leq) }[/math] si [math]\displaystyle{ a = \text{sup} X \text{ i } a \in X }[/math]. Anàlogament es defineix el mínim.
• Maximal i minimal: Direm que un element [math]\displaystyle{ a \in X }[/math] és un minimal de [math]\displaystyle{ X }[/math] en [math]\displaystyle{ (a, \leq) }[/math] si no hi ha cap element de [math]\displaystyle{ X }[/math] més gran que ell. Anàlogament es defineix el minimal.

Conjunts finits i infinits

Conjunts finits

Sigui [math]\displaystyle{ A }[/math] un conjunt. Direm que [math]\displaystyle{ A }[/math] és un conjunt finit si existeix una bijecció [math]\displaystyle{ f: A \longrightarrow \{1, 2, \ldots, n\} }[/math].

Direm que [math]\displaystyle{ n = \#A }[/math] és el cardinal de [math]\displaystyle{ A }[/math].

Observació: [math]\displaystyle{ \# \mathbb{P}(x) = 2^{\# X} }[/math]

Conjunts infinits

Un conjunt infinit és un conjunt que no és finit.

Teorema: [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] és infinit.

Teorema (Dedekind, ~1900): [math]\displaystyle{ X \text{ infinit} \iff \begin{cases} \exists Y \subset X, Y \neq X \\ \exists X \leftrightarrow Y \text{ bijecció} \end{cases} }[/math]

Exemples de conjunts infinits numerables: [math]\displaystyle{ \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{N} \times \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \ldots }[/math]

Corol·lari: Si tinc una família numerable [math]\displaystyle{ \{A_n\}^\infty_{n=1} }[/math] de conjunts numerables, aleshores: [math]\displaystyle{ A = \bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n }[/math] és numerable. "Unió numerable de conjunts numerables és numerable."

Conjunts infinits no numerables

Teorema de Cantor: [math]\displaystyle{ A }[/math] conjunt (finit o infinit). Aleshores: [math]\displaystyle{ f: A \longrightarrow \mathbb{P}(A) }[/math] no és exhaustiva.

Corol·lari: [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(\mathbb{N}) }[/math] no és numerable.

Bibliografia

• Martí-Farré, Jaume; Mora Giné, Mercè; Muñoz Lecanda, Miguel C. (September 2014). "3.1. Relacions, operacions i estructures". Fonaments de la matemàtica – Resums, exercicis i problemes.