Lógica

La lógica es una rama de la filosofía que estudia los procesos mentales que nos permiten entender la realidad. Se trata de un arte y una ciencia: el arte de razonar correctamente y la ciencia que estudia las reglas y los principios del razonamiento. Es, por tanto, el instrumento intelectual de la filosofía y de todas las ciencias, y equivale a un necesario control de calidad que la inteligencia ejerce sobre sí misma.

Lógica formal

La lógica formal consiste en partir de la relación entre proposiciones para llegar a conclusiones.

Principios

Principio de identidad	todo ser es igual a sí mismo
Principio de no contradicción	nada puede ser y no ser al mismo tiempo y desde el mismo punto de vista
Principio del tercero excluido	entre el ser y el no ser no existe término medio
Principio de causalidad	todo efecto tiene una causa
Principio de razón suficiente	los efectos son proporcionales a las causas

Símbolos

En la lógica hay diferentes símbolos:

• Símbolos variables o letras proposicionales: son variables porque su significado no es fijo sino que va cambiando. Simbolizan proposiciones simples y se ha convenido que empecemos por la p, q, r,...
• Símbolos constantes o conectores: tienen la función de relacionar o conectar proposiciones simples (o atómicas) para formar compuestas (o moleculares). Son constantes, porque su significado no es variable sino constante y simbolizan determinadas palabras o expresiones lingüísticas.
• Símbolos auxiliares o paréntesis: ( ), [ ]. No tienen ningún significado lógico, pero sirven para aclarar el significado lógico de algunas expresiones del lenguaje formal.

Símbolos constantes o conectores

Nombre	Símbolo	Explicación
Negación	¬	no, o no es el caso que
Conjunción	∧	y
Disyunción	∨	o
Condicional	→	si... entonces...
Bicondicional	↔	si y solo si... entonces...

Reglas de formación de fórmulas

Las variables proposicionales, constantes y auxiliares, o sea, los símbolos del lenguaje lógico no se pueden escribir de cualquier manera. No toda expresión es admitida como fórmula bien hecha. Una fórmula es una secuencia ordenada de símbolos.

Una fórmula es una fórmula bien formada (fbf) si cumple alguna de las siguientes cláusulas:

1. Una variable proposicional es una fbf.
2. Una fbf precedida de una negación es una fbf.
3. Una fbf seguida por cualquiera de las constantes, seguida de una fbf, haciendo buen uso de los paréntesis es una fbf.

Tablas de verdad

Las tablas de verdad son un procedimiento mecánico que permite determinar, en un número finito de pasos, el valor de verdad de una proposición formalizada. Asimismo, es posible saber, de manera segura, si dos o más proposiciones son equivalentes o si un razonamiento es correcto.

Ejemplos

A	B	¬ A	¬ B	A ∧ B	A ∨ B	A → B	A ↔ B
V	V	F	F	V	V	V	V
V	F	F	V	F	V	F	F
F	V	V	F	F	V	V	F
F	F	V	V	F	F	V	V

p	q	p → q	¬ q	¬ q ∨ p	(p → q) ∧ (¬ q ∨ p)	p ↔ q	[(p → q) ∧ (¬ q ∨ p)] → (p ↔ q)
V	V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	V	V	F	F	V
F	V	V	F	F	F	F	V
F	F	V	V	V	V	V	V

Leyes lógicas y reglas de inferencia

Eliminación de la conjunción

(EC)   A ∧ B     A ∧ B
       _____     _____
       A         B

Introducción de la conjunción

(IC)   A
       B
       _____
       A ∧ B

Introducción de la disyunción

(ID)   A         B
       _____     _____
       A ∨ B     A ∨ B

Modus ponens

(MP)   A → B
       A
       _____
       B

Eliminación de la negación

(EN)   ¬¬ A
       _____
       A

Eliminación del bicondicional

(EB)   A ↔ B     A ↔ B
       _____     _____
       A → B     B → A

Introducción al bicondicional

(IB)   A → B
       B → A
       _____
       A ↔ B

Modus tollens

(MT)   A → B
       ¬ B
       _____
       ¬ A

Silogismo

(S)    A → B
       B → C
       _____
       A → C

Silogismo disyuntivo

(SD)   A ∨ B     A ∨ B
       ¬ A       ¬ B
       _____     _____
       B         A

Dilema

(D)    A ∨ B
       A → C
       B → C
       _____
       C

Leyes de De Morgan

Cuando hay un paréntesis negado, podemos usar las leyes de De Morgan para quitar la negación.

La aplicación más sencilla es cuando se aplica en una conjunción o una disyunción. Se quita la negación de fuera, se cambia el signo de dentro (conjunción por disyunción o viceversa) y se negan las proposiciones atómicas:

¬ (P ∧ Q)   ↔   ¬ P ∨ ¬ Q
¬ (P ∨ Q)    ↔   ¬ P ∧ ¬ Q

Cuando tenemos un condicional negado, usaremos la siguiente tautología:

¬(P → Q)   ↔   ¬ P ∨ Q

Falacias

Falacias formales

Falacia de afirmación del consecuente

La falacia o error consiste en afirmar el antecedente del condicional tan solo porque se afirma o se da el consecuente, sin pensar que este se puede dar con otras condiciones.

P → Q
Q
_____
P

Falacia de negación del antecedente

La falacia o error consiste en negar el consecuente del condicional tan solo porque no se da el antecedente, sin pensar que el consecuente también se puede dar con otras condiciones.

P → Q
¬P
_____
¬Q

Falacia petitio principii

La falacia de petición de principio (también llamada falacia circular o falacia petito principii) se comete cuando la conclusión del argumento se quiere probar a partir de premisas que a su turno se prueban, o se tendrían que probar, con la misma conclusión.

La Biblia afirma que Dios existe.

El autor de la Biblia es Dios.

Por tanto, Dios existe.