Bloc 2. Estructura estel·lar

Tema 2.1. Equilibri hidrostàtic

TODO: Incloure el resum del Beamer.

Formalismes Eulerià i Lagrangiaà

• Assumirem geometria esfèrica.
• Formulació Euleriana: les variables (pressió P, temperatura T, densitat ρ), depenen de la distància radial al centre de l'estrella r (0 < r <= R).
  • Totes les variables tenen una evolució temporal. Haurem de tenir present tant r com t en derivades parcials.
• Formulació Lagrangiana: s'usa la massa [math]\displaystyle{ m \in (0, M] }[/math] com a variable independent: r(m), P(m), ρ(m). Aquesta té l'avantatge que R = R(t), M no canvia. En aquesta formulació, [math]\displaystyle{ \partial/\partial r \rightarrow (\partial/\partial m) (\partial/\partial r) }[/math]
  • Això és perquè en general la massa total de l'estrella es conserva. Les estrelles usen massa però poca, majoritàriament es transforma.

Distribució de la massa estel·lar

El principi de conservació de la massa aplicat a una massa dm corresponent a una closca esfèrica de gruix dr a una distància r del centre de l'estrella ve donat per:

[math]\displaystyle{ dm(r, t) = 4 \pi r^2 \rho \, dr - 4 \pi r^2 \rho v \, dt }[/math] on v és la velocitat radial de l'element de massa. Podem descomposar aquesta eq. en 2 parts:

• [math]\displaystyle{ \partial_r m = 4 \pi r^2 \rho }[/math] ens dona la distribució radial de la massa en funció de la densitat.
  • La densitat no es coneix a priori, i per tant haurem d'estimar-la d'altres condicions (ex. equació d'estat).
• [math]\displaystyle{ \partial_t m = - 4 \pi r^2 \rho v }[/math] representa el guany/pèrdua de massa (acreció/vents estel·lars).
  • En la situació estàtica (v = 0) l'eq. total esdevé: [math]\displaystyle{ \frac{dm}{dr} = 4 \pi r^2 \rho }[/math] (en els interiors estel·lars l'aproximació és prou bona).
    • Integrant: [math]\displaystyle{ m(r) = m_r = \int_0^r 4 \pi r'^2 \rho \, dr' }[/math].
    • Forma lagrangiana: [math]\displaystyle{ \frac{\partial r}{\partial m} = \frac{1}{4 \pi r^2 \rho} }[/math]

El camp gravitacional

Un estel és un cos format per gas que es troba lligat gravitacionalment. La força de la gravetat condueix l'evolució de l'estel.

[math]\displaystyle{ \vec{g} = - \grad \phi }[/math] on Φ és la solució de l'equació de Poisson [math]\displaystyle{ \nabla^2 \phi = 4 \pi \rho G }[/math].

Assumint geometria esfèrica, l'acceleració gravitacional només depèn de r. I el que queda fora de la closca esfèrica no afecta.

Conservació del moment

Expressió de conservació del moment:

[math]\displaystyle{ \ddot{r} dm = -g dm + P(r) dS - P(r = dr) dS }[/math].

Obtenim l'eq. del moviment:

[math]\displaystyle{ \frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{G m_r}{r^2} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial r} }[/math].

Versió Lagrangiana:

[math]\displaystyle{ \frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{}{} \cdots }[/math]

TODO: Això es pot explicar millor. Completar l'equació de dalt

Equilibri hidrostàtic

Majoria d'estels: es troben en estats evolutius tant llargs que no es poden apreciar en temps-escala humans. Per tant, les forces que actuen des de/sobre els diferents elements de gas que composen l'estel estan essencialment contrarrestades les unes amb les altres. Els estels estan per tant en equilibri mecànic o, amb més precisió, en equilibri hidrostàtic.

Com la suma de forces és aprox. nul·la, podem imposar acceleració nul·la, obtenint la segona equació d'equilibri hidrostàtic:

[math]\displaystyle{ \frac{dP}{dr} = - \frac{Gm}{r^2} }[/math]

Formulació lagrangiana:

[math]\displaystyle{ \frac{dP}{dm} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4} }[/math]

Data: 22 de setembre de 2021

Les anteriors equacions determinen conjuntament l'estructura mecànica d'un estel en equilibri hidrostàtic:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial r}{\partial m} = \frac{1}{4 \pi r^2 \rho}, \frac{dP}{dm} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4}. }[/math]

Són dues equacions per 3 funcions desconegudes de m: r(m), P(m), ρ(m). Per tant falta una 3a equació: l'equació d'estat de l'estel (que relaciona P amb ρ).

Aquesta eq. pot ser (sense ser exhaustius):

• Equació de gas ideal
• Equació politròpica (independent de T, P = P(ρ))
  • En aquest cas l'estructura mecànica i tèrmica de l'estel estan desacoblades (ex: nanes blanques)

Pressió central

Podem estimar la pressió al centre d'un estel prenent l'eq. (39) i imposant:

$$\frac{dP}{dm} \approx \frac{P_\text{sup} - P_c}{M} \approx \frac{P_c}{M}, \quad m \approx \frac{1}{2} M, \quad r \approx \frac{1}{2} R$$

TODO: Aquí hi ha un signe que balla, ja ens dirà.

D'aquesta manera ens queda:

$$P_c \approx \frac{2}{\pi} \frac{GM^2}{R^4}$$

Ex: pel Sol, obtenim $P_c \approx 7e15 \text{ dyn/cm}^2$.

TODO: Acabar de completar l'exemple de les diapos.

Prenem una altra vegada l'eq. (39), però escrivint ara:

$$\frac{dP}{dr} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4} \frac{dm}{dr} = - \frac{d}{dr} \left( \frac{Gm^2}{8 \pi r^4} \right) - \frac{Gm^2}{2 \pi r^5} \implies$$ $$\implies \frac{d}{dr} \left( P + \frac{Gm^2}{8 \pi r^4} \right) = - \frac{Gm^2}{2 \pi r^5} < 0$$.

La quantitat [math]\displaystyle{ \Psi(r) = P + \frac{Gm^2}{8 \pi r^4} }[/math] és per tant funció decreixent de r. Al centre de l'estel, el segon terme desapareix ja que [math]\displaystyle{ m \propto r^3 }[/math] per r petits,i per tant $\Psi(0) = P_c$. A la superfície $P \approx 0$. Del fet que $\Psi$ és una funció decreixent de $r$ en segueix que:

$$P_c > \frac{1}{8 \pi} \frac{GM^2}{R^4}$$

És valida per qualsevol...

TODO: Acabar d'escriure

Temps dinàmic

Podem estimar a partir de l'anterior quan ràpid es donen els canvis en l'estructura de l'estel quan és pertorbat respecte l'equilibri.

Per un estel ja format, dimensionalment, podem aproximar l'acceleració de caiguda de les diferents capes com:

$$|\ddot{r}| \approx \frac{R}{t^2_{ff, \text{estel}}} \implies t_{ff, \text{estel}} \approx \sqrt{\frac{R}{|\ddot{r}|}}$$

Prenent ara $|\ddot{r}| = g \approx GM/R^2$ ens queda:

$$t_{ff, \text{estel}} \approx \sqrt{\frac{R}{g}} = ...$$

TODO: Completar

---

Manera alternativa: suposar el contrari, que la gravetat desapareix i l'estrella s'expandeix. Això ens donaria un temps escala típic per a què la pressió (cap enfora) fes explotar l'estel. Aquest temps és similar al que requeriria una ona de so en travessar tota l'estrella des del centre a la superfície. Per l'eq. (36)

$$\frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial r}$$

Si ara aproximem $d^2/dt^2 \approx 1/t^2_{exp}$ i $(1/\rho) \partial P/\partial r \approx \bar{P}/\bar{\rho} R$, on $\bar{x}$ és el valor mig de $x$, obtenim:

$$t_exp \approx \frac{R}{\sqrt{\frac{\bar{P}}{\bar{\rho}}}} \approx \frac{R}{\bar{c_s}}$$

TODO: Completar

---

Exemple: cas del Sol. $t_{dyn} \approx 1600 \text{ s}$. Per tant, $t_{dyn} \ll t_{age} = 4.6\text{ Gyr} \approx 1.5 \times 10^{17} \text{ s}$. Conseqüències:

• Qualsevol desviació important de l'estat d'eq. hidrostàtic dona lloc a fenomens transitoris ràpids. Si lestel no recupera el seu equilibri, això el porta directament al col·lapse o explosió.
• Es pot recuperar donant lloc a petites oscil·lacions amb durada $\aprox t_{dyn}$. Aquest tipus de pertorbacions s'observen regularment al Sol, amb períodes d'alguns minuts.
• Els estels resten en general molt propers a la situació d'eq. hidrostàtic. L'evolució és quasi-estàtica (escales de temps molt superiors a $t_{dyn}$).

Teorema del Virial

Comencem per l'eq. (39) i multipliquem a banda i banda pel volum $V = (4/3) \pi r^3$:

$$\int_0^M \frac{4}{3} \pi r^3 \frac{dP}{dm} = - \frac{1}{3} \int_0^M \frac{Gm}{r} dm$$

La part dreta de dins de l'integral no és més que l'energia potencial gravitacional de l'estel. L'energia potencial gravitacional de l'estel és el treball per portar tots els elements de massa des de l'infinit fins al radi actual (la integral).

La banda esquerra es pot integrar per parts i substituir una equació anterior:

$$\frac{4}{3} \pi R^3 P(R) - \int_0^V P dV = \frac{1}{3} E_{grav}$$

Si considerem tot l'estel, la part esuqerra s'anul·la ja que $P(R) \to 0$ i ens queda:

$$-3 \int_0^{V_s} P dV = E_{grav}$$

TODO: Completar del Beamer.

La pressió del gas està relacionada amb la seva energia interna. Pel cas d'un gas ideal monoatòmic:

$$P = nKT = \frac{\rho}{\mu m_u} kTm$$

on $n = N/V$ (# partícules per unitat de volum) i $\mu$ és la massa d'una partícula del gas en unitats de massa atòmica.

L'energia cinètica per partícula ve donada per $\varepsilon_k = (3/2) kT$. Per a un gas, l'energia interna és la suma de l'energia cinètica de totes les seves partícules. L'energia interna per unitat de massa és per tant:

$$u = \frac{3}{2} \frac{kT}{\mu m_u}$ = \frac{3}{2} \frac{P}{\rho}$$

TODO: Completar això del Beamer

Arribem així a l'equació del Teorema del Virial per a un gas ideal:

$$E_{int} = - \frac{1}{2} E_{grav}$$

---

Donada una equació d'estat genèrica $u = \Phi P/\rho$ ($\Phi = 3/2$ és un gas de partícules no relativistes, per exemple el gas ideal; $\Phi = 3$ per partícules relativistes), si $\hi$ és constant en tot l'estel, integrant l'eq obtenim:

$$E_int = - \frac{1}{3} \Phi E_{grav}$$

Una lectura de la fórmula: com més lligat estigui gravitacionalment un estel, més gran serà la seva energia interna (i per tant augmentant la seva temperatura).

Estima de la temperatura central

Utilitzant el Th. Virial, podem estimar-la per un estel composat per gas ideal. L'energia gravitacional és:

$$E_\text{grav} = - \alpha \frac{GM^2}{R}$$

on $\alpha$ és const. de l'ordre de la unitat determinat per la forma de $\rho(r)$. Utilitzant l'eq. (55) per l'energia interna de l'estel:

$$E_{int} = \frac{3k}{2 \mu m_u} \int T dm = \frac{3k}{2 \mu m_u} \bar{T} M$$

Aplicant el teorema del Virial:

$$\bar{T} = \frac{\alpha}{3} \frac{\mu m_u}{k} \frac{GM}{R}$$

Com que la temperatura en un estel creix cap a l'interior (generalment, però quan emet neutrins una gran quantitat d'energia pot sortir del centre sense interactuar amb la resta de l'estel i per tant eventualment una part interna pot estar més freda que l'exterior; molt estrany), es pot considerar com un límit inferior del valor real de la temperatura al centre de l'estel.

Estima de l'energia total d'un estel

$$E_{tot} = E_{grav} + E_{int} + E_{kin}$$

Per tant tenim les contribucions de:

• Energia gravitatòria
• Energia interna: per la temperatura del gas.
• Energia cinètica: pel moviment del gas (bulk motion, desplaçament, etc.)

L'estel està "lligat" si la seva energia és negativa, $E_{tot} < 0$. Això serà principalment per l'energia gravitatòria.

Per un estel en eq. hidrostàtic, podem dir $E_{kin} = 0$. A més, s'aplica el Th. Virial, així que $E_{grav}$ i $E_{int}$ estan relacionades i obtenim (en eq. hidrostàtic):

$$E_{tot} = E_{int} + E_{grav} = \frac{\Phi - 3}{\Phi} E_{int} = (1 - \frac{1}{3} \Phi) E_{grav}$$

TODO: Comprovar que l'expressió anterior és correcta.

Per gas ideal ($\Phi = 3/2$):

$$E_{tot} = - E_{int} = \frac{1}{2} E_{grav} < 0$$

Conclusions:

• Els estels han d'estar calents per mantindre l'eq. hidrostàtic (proporcionat per la calor). Com més compacte sigui, més fortament lligat, i més calent serà.
• Una esfera de gas calent radia a través de la seva superfície i per tant perdrà energia. El ritme amb el qual radia es diu lluminositat L.
  • En absència de qualsevol font interna d'energia, aquestes pèrdues radiatives s'han d'igualar amb la disminució de l'energia total de l'estel: $L = - dE_{tot}/dt > 0$ (positiva per convenció.)
  • Prenent la derivada temporal es pot veure que com a conseqüència d'aquestes pèrdues d'energia: $\dot{E}_{grav} = - 2L < 0$ (i per tant l'estrella es contrau) mentre que $\dot{E}_{int} = L > 0$, és a dir, es calenta.
• Si l'estel està dominat per la pressió de radiació (o més generalment per la pressió de partícules relativistes), tenim $E_{int} = -E_{grav}$ i, per tant, l'energia total és $E_{tot} = 0$. És a dir, l'estel està només marginalment lligat i una petita pertorbació és suficient per fer-lo inestable, explotant o col·lapsant.

Equilibri tèrmic

Quan una font d'energia interna està present (ex: reaccions nuclears a l'interior), llavors les pèrdues d'energia des de la superfície es compensen:

$$L = L_{nuc} = - \frac{dE_{nuc}}{dt}$$

En aquest cas l'energia total es conserva, i per tant per l'eq. (64) $\dot{E}_{tot} = \dot{E}_{int} = \dot{E}_{grav} = 0$. El Th. del Virial per tant comporta que tant l'e. int com e. gravitacional també es conserven: l'estel no pot, per exemple, contraure's i refredar mentre manté la seva energia total constant.

L'estel es troba llavors en equilibri tèrmic. L'energia que es radia és igual a la que es produeix amb les reaccions nuclears. L'estel ni s'expandeix ni es contrau, i manté constant la seva temperatura (el seu gradient de temperatures), que va regulada per les mateixes reaccions nuclears. Els estels en la seqüència principal, com el Sol, estan en equilibri tèrmic mentre no esgotin el seu combustible nuclear.

Data: 23 de setembre de 2021

TODO: EN PAPER. Copiar aquí. (o penjar escaneig)

Data: 27 de setembre de 2021

Equacions d'estat

L'equació d'estat (EOS) descriu les propietats microscòpiques del gas que forma l'estel, donades la $\rho$, $T$ i $X_i$ (composició química), expressada com funció de la pressió $P$ depenent d'aquestes variables: $$P = P(\rho, T, X_i)$$ Emprant una equació similar per l'energia interna $U(\rho, T, X_i)$ podrem derivar propietats termodinàmiques com el calor específic $c_v$ i $c_p$, l'exponent adiabàtic $\gamma_{ad}$ i el gradient de temperatura adiabàtic $\grad_{ad}$.

L'equació d'estat per a un gas ideal ja la coneixem: $$P = nKT = \frac{k}{\mu m_u} \rho T,$$ on $\mu$ és pes molecular mig i $m_u$ massa atòmica.

---

• Gas ideal: partícules responen a les lleis de la física clàssica.
  • Efectes mecànico-quàntics, de la relativitat especial, poden ser importants (sobretot part interna estels).
    • En particular: fotons són partícules relativistes per definició. Juguen un paper bàsic per la pressió de radiació.
• Gas "perfecte": les partícules no interactuen entre elles (energies d'interacció petites comparades amb l'energia cinètica).
  • Podem tractar les partícules independentment. Energia interna = energia cinètica de totes les partícules.
  • La mecànica estadística ens permet derivar les propietats del gas en el límit clàssic (gas ideal) i en el quàntic (degeneració dels electrons p. e.x). Tant en un règim relativista (vàlid p. ex. pels fotons) com no-relativista.

Equació d'estat per un gas de partícules lliures

Derivarem l'eq. d'estat partint dels principis de la mecànica estadística. Ens donarà idees de ions, electrons i fotons en l'interior estelar.

• $n(p)$: distribució en l'"espai de moments" de les partícules del gas.
• $n(p) dp$ representa el nombre de partícules per unitat de volum amb moment $p \in [p, p + dp]$.

Si coneixem $n(p)$ llavors podem definir l'energia interna $U$ i la pressió $P$:

$$n = \int_0^\infty n(p) dp$$ $$U = \int_0^\infty \varepsilon_p n(p) dp = n \langle \varepsilon_p \rangle$$ $$P = \frac{1}{3} \int_0^\infty p v_p n(p) dp = \frac{1}{3} n \langle p v_p \rangle$$

En aquestes expressions $\varepsilon_p$ és l'energia cinètica d'una partícula donada amb moment $p$ i velocitat $v_p$.

L'única condició que hem posat és que les partícules podem tractar-les individualment.

Considerem un gas amb $n$ partícules a dins d'un cub de dimensions $L$. Cada partícula (moment $p$, velocitat $v$) rebota en les parets del cub en una direcció determinada per l'angle $\theta$, exercint una pressió que resulta de la transferència de moment impartida en les col·lisions.

El temps que passa entre 2 col·lisions sobre la mateixa cara és: $$\Delta t = \frac{2L}{v \cos \theta} = \frac{2 \text{ m}}{v \cos \theta}$$

Suposem col·lisions elàstiques (no perd energia/moment). $\delta p = 2p \cos \theta$. El moment transferit per unitat de temps per cm² serà: $$\frac{\Delta p}{\Delta t} = v p \cos^2 \theta$$

El nombre de partícules al cub amb moment $p \in [p, p + dp]$ i angle $\theta \in [\theta, \theta + d\theta]$ es denota per $n(\theta, p) dp d\theta$. La contribució a la pressió d'aquestes partícules ve donada doncs per: $$dP = v p \cos^2 \theta n(\theta, p) d\theta dp$$

La distribució del moment és isotròpica, així que prenent l'angle sòlid sostingut per cada partícula que es mou en la direcció $\theta \in [\theta, \theta + d\theta]$ com $dw = 2 \pi \sin \theta d\theta$. Tindrem: $n(\theta, p) d\theta = n(p) \sin\theta d\theta$ i per tant: $$dP = v p n(p) \cos^2 \theta \sin \theta d\theta dp$$

La pressió total s'obté llavors en integrar sobre tots els angles i moments ($\theta \in [0, \pi/2]$). Donat que $$\int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta \sin \theta d\theta = \int_0^1 \cos^2 \theta d \cos\theta = \frac{1}{3}$$ recuperem d'aquesta manera l'expressió: $P = (1/3= n \langle p v_p \rangle$.

Pressió i energia interna

En general: energia partícules i velocitat relacionades a través del moment segons la relativitat especial: $$\varepsilon^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4, \quad v_p = \partial_p \varepsilon = \frac{pc^2}{\varepsilon}$$ mentre que l'energia cinètica per partícula ve donada per $\varepsilon_p = \varepsilon - mc^2$. Podem ara obtindre relacions generals vàlides entre la pressió i l'energia interna per a un gas perfecte en el cas no-relativista:

• Cas no-relativista: $p < mc \implies \varepsilon_p = (1/2)p^2/m$ i $\langle pv \rangle = \langle p^2/m \rangle = 2 \langle \varepsilon_p \rangle$, donant:

$$P = \frac{2}{3} U$$

Així doncs, la pressió d'un gas equival a 2 terceres parts de l'energia interna del gas.

• Cas (ultra)relativista: $p \gg mc \implies \varepsilon_p = pc, v = c$, de manera que $\langle pv \rangle = \langle pc \rangle = \langle \varepsilon_p \rangle$ i doncs:

$$P = \frac{1}{3} U$$

Aquestes relacions són, en general, vàlides per qualsevol tipus de partícula (electrons, ions, fotons, etc.).

El gas ideal (clàssic)

Mitjançant la física estadística podem desenvolupar l'equació del gas ideal. La distribució en l'espai de moments $n(p)$ ve per l'eq. de Maxwell-Boltzmann.

TODO: Copiar eq.

• $\exp(- \frac{\varepsilon^2}{kT})$ és la distribució en equilibri de l'energia cinètica.
• $4 \pi p^2 dp$ és el volum en l'espai de moments.
• $n/(2 \pi mkT)^{3/2}$ ve de la normalització de la densitat total de partícules $n$.

Prenent $v = p/m$ i substituint a l'eq. anterior, obtenim: $$P = nKT$$

Composició mixta del gas ideal

Per una barreja, cada equació ens serveix per cada tipus separadament (en particular per ions i electrons). La pressió total és la suma de pressions parcials.

Per exemple: $$P_{\text{gas}} = P_{\text{electrons}} = \sum P_i + P_e = (\sum n_i + n_e) kT = nkT$$ on $n_i$ és la densitat d'ions d'un cert element i amb massa $m_i = A_i m_u$ ($A_i$ # d'elements) i càrrega $Z_i e$. Podem relacionar $n_i$ amb la fracció de massa $X_i$ com: $$n_i = \frac{X_i}{A_i} \frac{\rho}{m_u}, \quad n_{ions} = \sum_i \frac{X_i}{A_i} \frac{\rho}{m_u} \equiv \frac{1}{\mu_{ions}}\frac{\rho}{m_u}$$ que ens defineix el pes molecular mig per ió $\mu_{io}$.

---

La pressió parcial deguda a tots els ions ve donada llavors per: $$P_{ions} = \frac{1}{\mu_{io}} \frac{\rho}{m_u} kT = \frac{\mathcal{R}}{\mu_{io}} \rho T$$ on $\mathcal{R} = \frac{k}{m_u} = 8.31447 \times 10^7 \text{erg g}^{-1} \text{K}^{-1}$.

Pels electrons tindrem: $$n_e = \sum Z_i n_i = \sum \frac{Z_i X_i}{A_i} \frac{\rho}{m_u} \equiv \frac{1}{\mu_e} \frac{\rho}{m_u}$$ que defineix el pes molecular mig per electró $\mu_e$. La pressió exercida pels electrons serà doncs: $$P_e = \frac{1}{\mu_e} \frac{\rho}{m_u} k T = \frac{\mathcal{R}}{\mu_e} \rho T$$

La pressió total del gasvindrà donada per: $$P_gas = \frac{R}{\mu} \rho T$$ on $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_{io}} + \frac{1}{mu_e}$ és el pes molecular mig.

TODO: Completar lo anterior (revisar que estigui bé tb).

---

Pressió de radiació: els fotons exerceixen pressió quan interactuen amb matèria. Fotons són bosons: descrits per l'est. de Bose-Einstein: $$n(p) dp = \frac{2}{h^3} \frac{1}{e^{\varepsilon_p / kT} - 1} 4 \pi p^2 dp$$

Com que els fotons $\varepsilon_p = pc = h \nu$, la seva distribució, en LTE, en termes de la freqüència $\nu$ ve donada per la funció de Planck per al cos negre:

TODO: Copiar

Prenent les equacions inicials, obtenim: $$n_{ph} = \int_0^\infty n(p) dp = b T^3, \quad U_{rad} = \int_0^\infty p \, c \, n(p) \, dp = aT^4$$ on $b = 20.3 \text{cm}^{-3} \text{K}^{-3}$ i $a = 7.56 \times 10^{15} \text{erg cm}^{-3} K^{-4}$.

Com $P = 1/3 U$ (cas relativista), la pressió de radiació dels fotons és: $$P =\frac{1}{3} a T^4$$