Bloc 2. Estructura estel·lar

Tema 2.1. Equilibri hidrostàtic

TODO: Incloure el resum del Beamer.

Formalismes Eulerià i Lagrangiaà

• Assumirem geometria esfèrica.
• Formulació Euleriana: les variables (pressió P, temperatura T, densitat ρ), depenen de la distància radial al centre de l'estrella r (0 < r <= R).
  • Totes les variables tenen una evolució temporal. Haurem de tenir present tant r com t en derivades parcials.
• Formulació Lagrangiana: s'usa la massa [math]\displaystyle{ m \in (0, M] }[/math] com a variable independent: r(m), P(m), ρ(m). Aquesta té l'avantatge que R = R(t), M no canvia. En aquesta formulació, [math]\displaystyle{ \partial/\partial r \rightarrow (\partial/\partial m) (\partial/\partial r) }[/math]
  • Això és perquè en general la massa total de l'estrella es conserva. Les estrelles usen massa però poca, majoritàriament es transforma.

Distribució de la massa estel·lar

El principi de conservació de la massa aplicat a una massa dm corresponent a una closca esfèrica de gruix dr a una distància r del centre de l'estrella ve donat per:

[math]\displaystyle{ dm(r, t) = 4 \pi r^2 \rho \, dr - 4 \pi r^2 \rho v \, dt }[/math] on v és la velocitat radial de l'element de massa. Podem descomposar aquesta eq. en 2 parts:

• [math]\displaystyle{ \partial_r m = 4 \pi r^2 \rho }[/math] ens dona la distribució radial de la massa en funció de la densitat.
  • La densitat no es coneix a priori, i per tant haurem d'estimar-la d'altres condicions (ex. equació d'estat).
• [math]\displaystyle{ \partial_t m = - 4 \pi r^2 \rho v }[/math] representa el guany/pèrdua de massa (acreció/vents estel·lars).
  • En la situació estàtica (v = 0) l'eq. total esdevé: [math]\displaystyle{ \frac{dm}{dr} = 4 \pi r^2 \rho }[/math] (en els interiors estel·lars l'aproximació és prou bona).
    • Integrant: [math]\displaystyle{ m(r) = m_r = \int_0^r 4 \pi r'^2 \rho \, dr' }[/math].
    • Forma lagrangiana: [math]\displaystyle{ \frac{\partial r}{\partial m} = \frac{1}{4 \pi r^2 \rho} }[/math]

El camp gravitacional

Un estel és un cos format per gas que es troba lligat gravitacionalment. La força de la gravetat condueix l'evolució de l'estel.

[math]\displaystyle{ \vec{g} = - \nabla \phi }[/math] on Φ és la solució de l'equació de Poisson [math]\displaystyle{ \nabla^2 \phi = 4 \pi \rho G }[/math].

Assumint geometria esfèrica, l'acceleració gravitacional només depèn de r. I el que queda fora de la closca esfèrica no afecta.

Conservació del moment

Expressió de conservació del moment:

[math]\displaystyle{ \ddot{r} dm = -g dm + P(r) dS - P(r = dr) dS }[/math].

Obtenim l'eq. del moviment:

[math]\displaystyle{ \frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{G m_r}{r^2} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial r} }[/math].

Versió Lagrangiana:

[math]\displaystyle{ \frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{}{} \cdots }[/math]

TODO: Això es pot explicar millor. Completar l'equació de dalt

Equilibri hidrostàtic

Majoria d'estels: es troben en estats evolutius tant llargs que no es poden apreciar en temps-escala humans. Per tant, les forces que actuen des de/sobre els diferents elements de gas que composen l'estel estan essencialment contrarrestades les unes amb les altres. Els estels estan per tant en equilibri mecànic o, amb més precisió, en equilibri hidrostàtic.

Com la suma de forces és aprox. nul·la, podem imposar acceleració nul·la, obtenint la segona equació d'equilibri hidrostàtic:

[math]\displaystyle{ \frac{dP}{dr} = - \frac{Gm}{r^2} }[/math]

Formulació lagrangiana:

[math]\displaystyle{ \frac{dP}{dm} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4} }[/math]

Data: 22 de setembre de 2021

Les anteriors equacions determinen conjuntament l'estructura mecànica d'un estel en equilibri hidrostàtic:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial r}{\partial m} = \frac{1}{4 \pi r^2 \rho}, \frac{dP}{dm} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4}. }[/math]

Són dues equacions per 3 funcions desconegudes de m: r(m), P(m), ρ(m). Per tant falta una 3a equació: l'equació d'estat de l'estel (que relaciona P amb ρ).

Aquesta eq. pot ser (sense ser exhaustius):

• Equació de gas ideal
• Equació politròpica (independent de T, P = P(ρ))
  • En aquest cas l'estructura mecànica i tèrmica de l'estel estan desacoblades (ex: nanes blanques)

Pressió central

Podem estimar la pressió al centre d'un estel prenent l'eq. (39) i imposant:

$$\frac{dP}{dm} \approx \frac{P_\text{sup} - P_c}{M} \approx \frac{P_c}{M}, \quad m \approx \frac{1}{2} M, \quad r \approx \frac{1}{2} R$$

TODO: Aquí hi ha un signe que balla, ja ens dirà.

D'aquesta manera ens queda:

$$P_c \approx \frac{2}{\pi} \frac{GM^2}{R^4}$$

Ex: pel Sol, obtenim $P_c \approx 7e15 \text{ dyn/cm}^2$.

TODO: Acabar de completar l'exemple de les diapos.

Prenem una altra vegada l'eq. (39), però escrivint ara:

$$\frac{dP}{dr} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4} \frac{dm}{dr} = - \frac{d}{dr} \left( \frac{Gm^2}{8 \pi r^4} \right) - \frac{Gm^2}{2 \pi r^5} \implies$$ $$\implies \frac{d}{dr} \left( P + \frac{Gm^2}{8 \pi r^4} \right) = - \frac{Gm^2}{2 \pi r^5} < 0$$.

La quantitat [math]\displaystyle{ \Psi(r) = P + \frac{Gm^2}{8 \pi r^4} }[/math] és per tant funció decreixent de r. Al centre de l'estel, el segon terme desapareix ja que [math]\displaystyle{ m \propto r^3 }[/math] per r petits,i per tant $\Psi(0) = P_c$. A la superfície $P \approx 0$. Del fet que $\Psi$ és una funció decreixent de $r$ en segueix que:

$$P_c > \frac{1}{8 \pi} \frac{GM^2}{R^4}$$

És valida per qualsevol...

TODO: Acabar d'escriure

Temps dinàmic

Podem estimar a partir de l'anterior quan ràpid es donen els canvis en l'estructura de l'estel quan és pertorbat respecte l'equilibri.

Per un estel ja format, dimensionalment, podem aproximar l'acceleració de caiguda de les diferents capes com:

$$|\ddot{r}| \approx \frac{R}{t^2_{ff, \text{estel}}} \implies t_{ff, \text{estel}} \approx \sqrt{\frac{R}{|\ddot{r}|}}$$

Prenent ara $|\ddot{r}| = g \approx GM/R^2$ ens queda:

$$t_{ff, \text{estel}} \approx \sqrt{\frac{R}{g}} = ...$$

TODO: Completar

---

Manera alternativa: suposar el contrari, que la gravetat desapareix i l'estrella s'expandeix. Això ens donaria un temps escala típic per a què la pressió (cap enfora) fes explotar l'estel. Aquest temps és similar al que requeriria una ona de so en travessar tota l'estrella des del centre a la superfície. Per l'eq. (36)

$$\frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial r}$$

Si ara aproximem $d^2/dt^2 \approx 1/t^2_{exp}$ i $(1/\rho) \partial P/\partial r \approx \bar{P}/\bar{\rho} R$, on $\bar{x}$ és el valor mig de $x$, obtenim:

$$t_exp \approx \frac{R}{\sqrt{\frac{\bar{P}}{\bar{\rho}}}} \approx \frac{R}{\bar{c_s}}$$

TODO: Completar

---

Exemple: cas del Sol. $t_{dyn} \approx 1600 \text{ s}$. Per tant, $t_{dyn} \ll t_{age} = 4.6\text{ Gyr} \approx 1.5 \times 10^{17} \text{ s}$. Conseqüències:

• Qualsevol desviació important de l'estat d'eq. hidrostàtic dona lloc a fenomens transitoris ràpids. Si lestel no recupera el seu equilibri, això el porta directament al col·lapse o explosió.
• Es pot recuperar donant lloc a petites oscil·lacions amb durada $\approx t_{dyn}$. Aquest tipus de pertorbacions s'observen regularment al Sol, amb períodes d'alguns minuts.
• Els estels resten en general molt propers a la situació d'eq. hidrostàtic. L'evolució és quasi-estàtica (escales de temps molt superiors a $t_{dyn}$).

Teorema del Virial

Comencem per l'eq. (39) i multipliquem a banda i banda pel volum $V = (4/3) \pi r^3$:

$$\int_0^M \frac{4}{3} \pi r^3 \frac{dP}{dm} = - \frac{1}{3} \int_0^M \frac{Gm}{r} dm$$

La part dreta de dins de l'integral no és més que l'energia potencial gravitacional de l'estel. L'energia potencial gravitacional de l'estel és el treball per portar tots els elements de massa des de l'infinit fins al radi actual (la integral).

La banda esquerra es pot integrar per parts i substituir una equació anterior:

$$\frac{4}{3} \pi R^3 P(R) - \int_0^V P dV = \frac{1}{3} E_{grav}$$

Si considerem tot l'estel, la part esuqerra s'anul·la ja que $P(R) \to 0$ i ens queda:

$$-3 \int_0^{V_s} P dV = E_{grav}$$

TODO: Completar del Beamer.

La pressió del gas està relacionada amb la seva energia interna. Pel cas d'un gas ideal monoatòmic:

$$P = nKT = \frac{\rho}{\mu m_u} kTm$$

on $n = N/V$ (# partícules per unitat de volum) i $\mu$ és la massa d'una partícula del gas en unitats de massa atòmica.

L'energia cinètica per partícula ve donada per $\varepsilon_k = (3/2) kT$. Per a un gas, l'energia interna és la suma de l'energia cinètica de totes les seves partícules. L'energia interna per unitat de massa és per tant:

$$u = \frac{3}{2} \frac{kT}{\mu m_u}$ = \frac{3}{2} \frac{P}{\rho}$$

TODO: Completar això del Beamer

Arribem així a l'equació del Teorema del Virial per a un gas ideal:

$$E_{int} = - \frac{1}{2} E_{grav}$$

---

Donada una equació d'estat genèrica $u = \Phi P/\rho$ ($\Phi = 3/2$ és un gas de partícules no relativistes, per exemple el gas ideal; $\Phi = 3$ per partícules relativistes), si $\phi$ és constant en tot l'estel, integrant l'eq obtenim:

$$E_int = - \frac{1}{3} \Phi E_{grav}$$

Una lectura de la fórmula: com més lligat estigui gravitacionalment un estel, més gran serà la seva energia interna (i per tant augmentant la seva temperatura).

Estima de la temperatura central

Utilitzant el Th. Virial, podem estimar-la per un estel composat per gas ideal. L'energia gravitacional és:

$$E_\text{grav} = - \alpha \frac{GM^2}{R}$$

on $\alpha$ és const. de l'ordre de la unitat determinat per la forma de $\rho(r)$. Utilitzant l'eq. (55) per l'energia interna de l'estel:

$$E_{int} = \frac{3k}{2 \mu m_u} \int T dm = \frac{3k}{2 \mu m_u} \bar{T} M$$

Aplicant el teorema del Virial:

$$\bar{T} = \frac{\alpha}{3} \frac{\mu m_u}{k} \frac{GM}{R}$$

Com que la temperatura en un estel creix cap a l'interior (generalment, però quan emet neutrins una gran quantitat d'energia pot sortir del centre sense interactuar amb la resta de l'estel i per tant eventualment una part interna pot estar més freda que l'exterior; molt estrany), es pot considerar com un límit inferior del valor real de la temperatura al centre de l'estel.

Estima de l'energia total d'un estel

$$E_{tot} = E_{grav} + E_{int} + E_{kin}$$

Per tant tenim les contribucions de:

• Energia gravitatòria
• Energia interna: per la temperatura del gas.
• Energia cinètica: pel moviment del gas (bulk motion, desplaçament, etc.)

L'estel està "lligat" si la seva energia és negativa, $E_{tot} < 0$. Això serà principalment per l'energia gravitatòria.

Per un estel en eq. hidrostàtic, podem dir $E_{kin} = 0$. A més, s'aplica el Th. Virial, així que $E_{grav}$ i $E_{int}$ estan relacionades i obtenim (en eq. hidrostàtic):

$$E_{tot} = E_{int} + E_{grav} = \frac{\Phi - 3}{\Phi} E_{int} = (1 - \frac{1}{3} \Phi) E_{grav}$$

TODO: Comprovar que l'expressió anterior és correcta.

Per gas ideal ($\Phi = 3/2$):

$$E_{tot} = - E_{int} = \frac{1}{2} E_{grav} < 0$$

Conclusions:

• Els estels han d'estar calents per mantindre l'eq. hidrostàtic (proporcionat per la calor). Com més compacte sigui, més fortament lligat, i més calent serà.
• Una esfera de gas calent radia a través de la seva superfície i per tant perdrà energia. El ritme amb el qual radia es diu lluminositat L.
  • En absència de qualsevol font interna d'energia, aquestes pèrdues radiatives s'han d'igualar amb la disminució de l'energia total de l'estel: $L = - dE_{tot}/dt > 0$ (positiva per convenció.)
  • Prenent la derivada temporal es pot veure que com a conseqüència d'aquestes pèrdues d'energia: $\dot{E}_{grav} = - 2L < 0$ (i per tant l'estrella es contrau) mentre que $\dot{E}_{int} = L > 0$, és a dir, es calenta.
• Si l'estel està dominat per la pressió de radiació (o més generalment per la pressió de partícules relativistes), tenim $E_{int} = -E_{grav}$ i, per tant, l'energia total és $E_{tot} = 0$. És a dir, l'estel està només marginalment lligat i una petita pertorbació és suficient per fer-lo inestable, explotant o col·lapsant.

Equilibri tèrmic

Quan una font d'energia interna està present (ex: reaccions nuclears a l'interior), llavors les pèrdues d'energia des de la superfície es compensen:

$$L = L_{nuc} = - \frac{dE_{nuc}}{dt}$$

En aquest cas l'energia total es conserva, i per tant per l'eq. (64) $\dot{E}_{tot} = \dot{E}_{int} = \dot{E}_{grav} = 0$. El Th. del Virial per tant comporta que tant l'e. int com e. gravitacional també es conserven: l'estel no pot, per exemple, contraure's i refredar mentre manté la seva energia total constant.

L'estel es troba llavors en equilibri tèrmic. L'energia que es radia és igual a la que es produeix amb les reaccions nuclears. L'estel ni s'expandeix ni es contrau, i manté constant la seva temperatura (el seu gradient de temperatures), que va regulada per les mateixes reaccions nuclears. Els estels en la seqüència principal, com el Sol, estan en equilibri tèrmic mentre no esgotin el seu combustible nuclear.

Data: 23 de setembre de 2021

TODO: EN PAPER. Copiar aquí. (o penjar escaneig)

Data: 27 de setembre de 2021

Equacions d'estat

L'equació d'estat (EOS) descriu les propietats microscòpiques del gas que forma l'estel, donades la $\rho$, $T$ i $X_i$ (composició química), expressada com funció de la pressió $P$ depenent d'aquestes variables: $$P = P(\rho, T, X_i)$$ Emprant una equació similar per l'energia interna $U(\rho, T, X_i)$ podrem derivar propietats termodinàmiques com el calor específic $c_v$ i $c_p$, l'exponent adiabàtic $\gamma_{ad}$ i el gradient de temperatura adiabàtic $\nabla_{ad}$.

L'equació d'estat per a un gas ideal ja la coneixem: $$P = nKT = \frac{k}{\mu m_u} \rho T,$$ on $\mu$ és pes molecular mig i $m_u$ massa atòmica.

---

• Gas ideal: partícules responen a les lleis de la física clàssica.
  • Efectes mecànico-quàntics, de la relativitat especial, poden ser importants (sobretot part interna estels).
    • En particular: fotons són partícules relativistes per definició. Juguen un paper bàsic per la pressió de radiació.
• Gas "perfecte": les partícules no interactuen entre elles (energies d'interacció petites comparades amb l'energia cinètica).
  • Podem tractar les partícules independentment. Energia interna = energia cinètica de totes les partícules.
  • La mecànica estadística ens permet derivar les propietats del gas en el límit clàssic (gas ideal) i en el quàntic (degeneració dels electrons p. e.x). Tant en un règim relativista (vàlid p. ex. pels fotons) com no-relativista.

Equació d'estat per un gas de partícules lliures

Derivarem l'eq. d'estat partint dels principis de la mecànica estadística. Ens donarà idees de ions, electrons i fotons en l'interior estelar.

• $n(p)$: distribució en l'"espai de moments" de les partícules del gas.
• $n(p) dp$ representa el nombre de partícules per unitat de volum amb moment $p \in [p, p + dp]$.

Si coneixem $n(p)$ llavors podem definir l'energia interna $U$ i la pressió $P$:

$$n = \int_0^\infty n(p) dp$$ $$U = \int_0^\infty \varepsilon_p n(p) dp = n \langle \varepsilon_p \rangle$$ $$P = \frac{1}{3} \int_0^\infty p v_p n(p) dp = \frac{1}{3} n \langle p v_p \rangle$$

En aquestes expressions $\varepsilon_p$ és l'energia cinètica d'una partícula donada amb moment $p$ i velocitat $v_p$.

L'única condició que hem posat és que les partícules podem tractar-les individualment.

Considerem un gas amb $n$ partícules a dins d'un cub de dimensions $L$. Cada partícula (moment $p$, velocitat $v$) rebota en les parets del cub en una direcció determinada per l'angle $\theta$, exercint una pressió que resulta de la transferència de moment impartida en les col·lisions.

El temps que passa entre 2 col·lisions sobre la mateixa cara és: $$\Delta t = \frac{2L}{v \cos \theta} = \frac{2 \text{ m}}{v \cos \theta}$$

Suposem col·lisions elàstiques (no perd energia/moment). $\delta p = 2p \cos \theta$. El moment transferit per unitat de temps per cm² serà: $$\frac{\Delta p}{\Delta t} = v p \cos^2 \theta$$

El nombre de partícules al cub amb moment $p \in [p, p + dp]$ i angle $\theta \in [\theta, \theta + d\theta]$ es denota per $n(\theta, p) dp d\theta$. La contribució a la pressió d'aquestes partícules ve donada doncs per: $$dP = v p \cos^2 \theta n(\theta, p) d\theta dp$$

La distribució del moment és isotròpica, així que prenent l'angle sòlid sostingut per cada partícula que es mou en la direcció $\theta \in [\theta, \theta + d\theta]$ com $dw = 2 \pi \sin \theta d\theta$. Tindrem: $n(\theta, p) d\theta = n(p) \sin\theta d\theta$ i per tant: $$dP = v p n(p) \cos^2 \theta \sin \theta d\theta dp$$

La pressió total s'obté llavors en integrar sobre tots els angles i moments ($\theta \in [0, \pi/2]$). Donat que $$\int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta \sin \theta d\theta = \int_0^1 \cos^2 \theta d \cos\theta = \frac{1}{3}$$ recuperem d'aquesta manera l'expressió: $P = (1/3= n \langle p v_p \rangle$.

Pressió i energia interna

En general: energia partícules i velocitat relacionades a través del moment segons la relativitat especial: $$\varepsilon^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4, \quad v_p = \partial_p \varepsilon = \frac{pc^2}{\varepsilon}$$ mentre que l'energia cinètica per partícula ve donada per $\varepsilon_p = \varepsilon - mc^2$. Podem ara obtindre relacions generals vàlides entre la pressió i l'energia interna per a un gas perfecte en el cas no-relativista:

• Cas no-relativista: $p < mc \implies \varepsilon_p = (1/2)p^2/m$ i $\langle pv \rangle = \langle p^2/m \rangle = 2 \langle \varepsilon_p \rangle$, donant:

$$P = \frac{2}{3} U$$

Així doncs, la pressió d'un gas equival a 2 terceres parts de l'energia interna del gas.

• Cas (ultra)relativista: $p \gg mc \implies \varepsilon_p = pc, v = c$, de manera que $\langle pv \rangle = \langle pc \rangle = \langle \varepsilon_p \rangle$ i doncs:

$$P = \frac{1}{3} U$$

Aquestes relacions són, en general, vàlides per qualsevol tipus de partícula (electrons, ions, fotons, etc.).

El gas ideal (clàssic)

Mitjançant la física estadística podem desenvolupar l'equació del gas ideal. La distribució en l'espai de moments $n(p)$ ve per l'eq. de Maxwell-Boltzmann.

TODO: Copiar eq.

• $\exp(- \frac{\varepsilon^2}{kT})$ és la distribució en equilibri de l'energia cinètica.
• $4 \pi p^2 dp$ és el volum en l'espai de moments.
• $n/(2 \pi mkT)^{3/2}$ ve de la normalització de la densitat total de partícules $n$.

Prenent $v = p/m$ i substituint a l'eq. anterior, obtenim: $$P = nKT$$

Composició mixta del gas ideal

Per una barreja, cada equació ens serveix per cada tipus separadament (en particular per ions i electrons). La pressió total és la suma de pressions parcials.

Per exemple: $$P_{\text{gas}} = P_{\text{electrons}} = \sum P_i + P_e = (\sum n_i + n_e) kT = nkT$$ on $n_i$ és la densitat d'ions d'un cert element i amb massa $m_i = A_i m_u$ ($A_i$ # d'elements) i càrrega $Z_i e$. Podem relacionar $n_i$ amb la fracció de massa $X_i$ com: $$n_i = \frac{X_i}{A_i} \frac{\rho}{m_u}, \quad n_{ions} = \sum_i \frac{X_i}{A_i} \frac{\rho}{m_u} \equiv \frac{1}{\mu_{ions}}\frac{\rho}{m_u}$$ que ens defineix el pes molecular mig per ió $\mu_{io}$.

---

La pressió parcial deguda a tots els ions ve donada llavors per: $$P_{ions} = \frac{1}{\mu_{io}} \frac{\rho}{m_u} kT = \frac{\mathcal{R}}{\mu_{io}} \rho T$$ on $\mathcal{R} = \frac{k}{m_u} = 8.31447 \times 10^7 \text{erg g}^{-1} \text{K}^{-1}$.

Pels electrons tindrem: $$n_e = \sum Z_i n_i = \sum \frac{Z_i X_i}{A_i} \frac{\rho}{m_u} \equiv \frac{1}{\mu_e} \frac{\rho}{m_u}$$ que defineix el pes molecular mig per electró $\mu_e$. La pressió exercida pels electrons serà doncs: $$P_e = \frac{1}{\mu_e} \frac{\rho}{m_u} k T = \frac{\mathcal{R}}{\mu_e} \rho T$$

La pressió total del gasvindrà donada per: $$P_{gas} = \frac{R}{\mu} \rho T$$ on $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_{io}} + \frac{1}{mu_e}$ és el pes molecular mig.

TODO: Completar lo anterior (revisar que estigui bé tb).

---

Pressió de radiació: els fotons exerceixen pressió quan interactuen amb matèria. Fotons són bosons: descrits per l'est. de Bose-Einstein: $$n(p) dp = \frac{2}{h^3} \frac{1}{e^{\varepsilon_p / kT} - 1} 4 \pi p^2 dp$$

Com que els fotons $\varepsilon_p = pc = h \nu$, la seva distribució, en LTE, en termes de la freqüència $\nu$ ve donada per la funció de Planck per al cos negre:

TODO: Copiar

Prenent les equacions inicials, obtenim: $$n_{ph} = \int_0^\infty n(p) dp = b T^3, \quad U_{rad} = \int_0^\infty p \, c \, n(p) \, dp = aT^4$$ on $b = 20.3 \text{cm}^{-3} \text{K}^{-3}$ i $a = 7.56 \times 10^{15} \text{erg cm}^{-3} K^{-4}$.

Com $P = 1/3 U$ (cas relativista), la pressió de radiació dels fotons és: $$P =\frac{1}{3} a T^4$$

Pressió mixta de gas i radiació

$$P = P_{rad} + P_{gas} = P_{rad} + P_{ions} + P_{e^-}$$ $P_{e^-}$ es pot substituir per $P_{deg}$.

Aleshores, la suma es pot expressar com (sumant les eqs. deduïdes anteriorment, límit clàssic): $$P = \frac{1}{3} a T^4 + \frac{\mathcal{R}}{\mu} \rho T$$

(Estels de neutrons són com nanes blanques però la pressió de degeneració aguanta l'estel.)

Existeix una altra font de pressió: la pressió de degeneració $P_{deg}$.

El gas degenerat

1838 (Bessel): mitjançant paralaxis, troba la distància a l'estel Sirius (approx. 2.64 pc). La trajectòria no es tracta d'una línia recta. Conclou que Sirius és sistema binari i dedueix període orbital (50 anys, avui sabem que és 49.9 anys).

1862: millora instrumental. Se'n determina la lluminositat de l'estel company: $L_{Sirius B} \approx 0.03 L_\odot \approx \frac{1}{1000} L_{Sirius A}$. També es dedueixen paràmetres orbitals.

50 anys més tard: al Mt. Wilson Observatory (Pasadena, California) s'obté espectre de Sirius B. Per la baixa brillantor s'esperava estel fred i vermell. Però no, resulta ser estel calent (blau-blanc), emetent fortament en l'UV (típic estel jove, brillant i gros). $T_{Sirius B} \approx 27000 \text{ K}$, mentre que $T_{Sirius A} \approx 9900 \text{ K}$.

Llei d'Stefan-Boltzmann: $L = 4 \pi R^2 \sigma T^4$ amb $\sigma$ una constant.

Donades les observacions, $R_{Sirius B} \approx 0.008 R_{\odot}$.

Prenent $M_{Sirius B} \approx 1.0 M_\odot$: $\rho_{Sirius B} \approx 3 \times 10^6 g cm^{-3}$. Com és això? Ho veurem a la següent classe :)

Data: 29 setembre 2021

• Astrònoms del segle XX: és absurd! Hi ha física per aprendre.
• Sirius B: no és un estel "normal". Efectivament: era nana blanca (massa com la del sol, però tamany com el de la Terra).
  • Eqs. que regulen l'estructura i equilibri són molt diferents de les d'un estel normal (no degenerat).
    • "Estel no degenerat = estel normal"
• 1926: Ralf. H. Fowler troba solució, basada en considerar la pressió de degeneració dels electrons en un estel compacte.
  • Aplicant el principi d'exclusió de Pauli.

El Principi d'exclusió de Pauli

• Tot sistema físic es pot descriure mitjançant els seus estats quàntics, que s'identifiquen amb nombres quàntics.
• Dualitat ona-corpuscle (de Broglie, 1924): tota partícula material té associada una ona, que ve caracteritzada per:

$$\lambda = \frac{h}{p}, \quad \nu = \frac{E}{h} = \frac{mc^2}{h}, \quad h = \text{cte. de Planck}$$

Dos casos:

• Si les partícules són fermions (ex: electrons, neutrons): principi d'exclusió de Pauli estableix que només 1 fermió pot trobar-se en cada estat quàntic, i queda unívocament determinat pels nombres quàntics.
  • En el dia a dia (macroscòpic): gas estàndard a temperatura normal només un de cada $\approx 10^7$ estats quàntics estan ocupats. Les limitacions del principi de Pauli són despreciables.
  • Si reduïm energia al gas i T decreix, mes i més estats quàntics de baixa energia venen ocupats. Eventualment, per $T \to 0$, tots els estats quàntics a baixes energies venen ocupats. Es diu llavors que aquest gas fermiònic està completament degenerat (mínim absolut d'energia).

---

• Electrons: fermions amb dos possibles estats del seu spin ($s = \pm 1/2$).
• Si ajuntem principis de mecànica quàntica i principi d'exclusió de Pauli, la densitat màxima d'electrons en un gas amb moment $p$ ve donat per:

$$n_{max}(p) dp = \frac{2}{h} \frac{1}{e^{(p^2/2m_ekT) - \mu/kT}} 4 \pi p^2 dp$$

Per comparació, la distribució tèrmica (clàssic) dels electrons ve donada per l'eq. de M-B.

TODO: Afegir

• Per a un gas amb T altes, les 2 distribucions són més o menys iguals. A mesura que baixem temperatura, el pic de la distribució M-B es mou a p més baixos, fins que a un cert punt $n(p) \sim n_{max}(p)$ i la pressió de degeneració esdevé important.

TODO: Afegir gràfiques del Beamer.

$p_F$: moment de Fermi (moment màxim de la distribució quàntica quan $T \to 0$).

---

• En les darreres etapes d'evolució estelar: T i densitat molt altes al nucli. La pressió tèrmica pot contrarrestar la força de la gravetat.
• A mesura que es consumeixen les reserves nuclears: cada cop més difícil mantindre eq. hidrostàtic.
  • Les T no són massa altes per poder cremar els elements pesats.
  • O directament apareixen procesos endotèrmics.
• La contracció del nucli estel·lar afecta també els electrons dels àtoms que el composen, i el gas d'electrons esdevé degenerat.
  • La pressió de degeneració, és a dir, el compliment del principi d'exclusió de Pauli pel gas fermiònic d'electrons, és la responsable d'aturar la contracció del nucli un cop tot l'altre no pot suportar-ho.

L'energia de Fermi

$\varepsilon_F$: energia de Fermi: màxima energia que un fermió (ex: electró) pot tenir en un gas completament degenerat a temperatura $T = 0$.

TODO: Afegir gràfica Beamer.

Per determinar $\varepsilon_F$, imaginem una capsa dels costats de longitud $L$. Prenent els electrons com a ones estacionàries dins de la capsa. Les longituds d'ona $\lambda$ vindran donades, en cada direcció, per: $$\lambda_x = \frac{2L}{N_x}, \quad \lambda_y = \frac{2L}{N_y}, \quad \lambda_z = \frac{2L}{N_z},$$ on $N_x, N_y, N_z$ són nombres quàntics enters. Donat que $p = h/\lambda$ (de Broglie): \[ p_x = \frac{h N_x}{2L}, \ldots \]

TODO: Completar puntets

L'energia cinètica ve donada per: $$\varepsilon_{kin} = \frac{p^2}{2m}$$ on $p^2 = \sum_i p_i^2$ i, per tant: $$\varepsilon_{kin} = \frac{h^2}{8 m L^2}(N_x^2 + N_y^2 + N_z^2) = \frac{h^2 N^2}{8 m L^2}.$$ $N^2 = \sum_i N_i^2$ es pot entendre com "distància" des de l'origen de l'espai de les fases N fins al punt $(N_x, N_y, N_z)$ donat.

• # total d'electrons del gas: # total d'estats quàntics únics definits per $N_x, N_y, N_z$, multiplicat per 2 (spin).
• És a dir, cada punt de l'"espai-N" és un estat quàntic de dos electrons.
• Per N gran, podem comptar els estats fins arribar a un radi $N = \sqrt{N^2}$. Comptem un octant ($N_i > 0$). Així doncs:

$$N_e = 2 \frac{1}{8} \ldots$$

TODO: COMPLETAR els puntets

Aïllem $N$ i substituïnt l'energia ciǹetica dels electrons, ens queda: $$\varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m} (e \pi^2 n_e)^{2/3}$$ on $m$ és la massa de l'electró i $n_e := N_e/L^3$ el nombre d'electrons per unitat de volum.

Les densitats típiques trobades en les nanes blanques (substituint massa d'electró): $\varepsilon_F \approx 0.3 \text{ MeV}$.

EXERCICI: Demostreu que la distribució dels electrons en els estats quàntics definits amb energia $\varepsilon$ ve donada per: $$g(\varepsilon) = \frac{3}{2} \frac{N}{\varepsilon_F} \left(\frac{\varepsilon}{\varepsilon_F}\right)^{1/2}$$ i que l'energia promig per ... és ...

TODO: Completar

Grau de degeneració

$T > 0$, hi ha estats per sota de $\varepsilon_F$ no ocupats.

$$n_e = \frac{# electrons}{nucleó}\frac{#nucleons}{volum} = \left( \frac{Z}{A} \right) \frac{\rho}{m_H}$$ $Z, A$ és nombre de protons i nucleons (resp.) i $m_H$ és la massa de l'àtom d'hidrogen ($\approx m_{protó}, m_{neutró}$).

Substituïnt a l'equació: $$\varepsilon_F = ...$$

TODO: Completar Grrrrrr

Podem comparar aquesta expressió per $\varepsilon_F$ amb l'energia tèrmica promig dels electrons en el gas, $\approx \frac{3}{2} K_B T$.

En primera aproximació, si $\frac{3}{2} KB T < \varepsilon_F$, l'electró no podrà fer la transició a un estat no ocupat a energies per sobre de l'energia de Fermi i, per tant, el gas d'electrons estarà degenerat: $$\frac{3}{2} K_B T < \frac{\hbar^2}{2 m_e} \left[ 3 \pi^2 \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_H^3} \right]^{2/3} \iff \frac{T}{\rho^{2/3}} < \frac{\hbar^2}{3 m_e K_B} \left[ \frac{3 \pi^2}{m_H} \frac{Z}{A} \right]^{2/3} \equiv D$$ i la condició de degeneració es pot expressar com: $$\frac{T}{\rho^{2/3}} < D ) 1.261 \text{ K m}^2 \text{ Kg}^{-2/3}$$, Z/A=0.5.

Temperatures baixes o densitats elevades: degeneració.

Pressió de degeneració

Ens basarem en Principi d'Exclusió de Pauli i Principi d'Incertesa de Heisenberg: $$\Delta x \Delta p_x \geq \hbar$$

• Considerem hipòtesi: tots els electrons amb el mateix moment.
• La pressió dels electrons és:

$$P \approx \frac{1}{3} n_e p v$$ on $n_e$ la densitat d'electrons i $v$ la velocitat dels electrons.

• Gas degenerat: electrons "empaquetats" i, per $n_e$ uniforme, la separació entre ells és $\sim n_e^{-1/3}$.
• Situació de degeneració complerta: l'incertesa en la seva posició no pot ser més gran que la seva separació física.
• Identificant $\Delta x \approx n_e^{-1/3}$ (pel cas límit del gas completament degenerat), obtenim:

$$p_x \approx \Delta p_x \approx \frac{\hbar}{\Delta x} \approx \hbar n_e^{1/3}$$

A 3D, tenim $\vec{p}$, i $p_x^2 = p_y^2 = p_z^2$ (equipartició de l'energia en les 3 direccions). $p^2 = 3 p_x^2 \implies p = \sqrt{3} p_x$.

Prenent la densitat electrònica d'un gas completament degenerat ($n_e = Z/A \rho/m_H$), obtenim: $p \approx \sqrt{3} \hbar \left[ ... \right]^{...}$$

TODO: Completar

mentre que la velocitat ve donada per: $$v = p/m_e = \frac{\sqrt{3} \hbar}{m_e} \left[ \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_h} \right]^{1/3}$$

Prenent l'equació $P \approx (1/3) n_e p v$ (equació 4 al Beamer), obtenim la pressió de degeneració: $$P \approx \frac{\hbar^2}{m_e} \left[ \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_h} \right]^{5/3}$$

Si s'integra correctament, obtenim: $$P = \frac{(e \pi^2)^{2/3}}{4} \frac{\hbar^2}{m_e} n_e^{5/3}$$

Aquest desenvolupament que hem fet és vàlid per un gas NO relativista. Veiem que si la densitat creix, la velocitat creix i, per tant, podem posar-nos en el cas (ultra)-relativista.

Emprant un altre cop l'equació 101 del Beamer: $$P = \frac{(3 \pi^2)^{2/3}}{5} \frac{\hbar^2}{m_e} \left[ \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_h} \right]^{5/3}$$

Exemple Sirius B

$Z/A = 0.5 \implies P \sim 2e10^{22} \text{ N m}^{-2}$ i la pressió gravitatòria és similar.

TODO: Completar del Beamer.

El límit de Chandrasekhar

1931: Chandrasekhar publica que existeix una massa màxima per les nanes blanques degut a la pressió de degeneració.

S'agafa la $P_c$ d'abans (pressió de degeneració). Utilitzant $\rho_{WD} = M_{WD}/(4/3)\pi R^3_{WD}$ s'obté una expressió pel radi de l'estel: $$R_{WD} = \frac{(18 \pi)^{2/3}}{10} \frac{\hbar^2}{G m_e M_{WD}^{1/3}} \left[ \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_h} \right]^{5/3}$$

L'expressió per $R$ indica $M_{WD} R_{WD}^3 = cte$, és a dir, $M_{WD} \cdot V_{WD} = cte.$

Per tant, com més massiva és la nana blanca, més confinats hauran d'estar confinats els electrons. A mesura que augmentem la massa, també ho fa la densitat ($\rho_{WD} \propto M_{WD}^2$).

Llindar $\rho_{WD} \approx 10^9 \text{ kg m}^{-3}$: expressió de les velocitats deixa de ser correcta (efectes relativistes entren en joc). En aquest cas ($v = c$): $$P = \frac{(3 \pi^2)^{1/3}}{4} \hbar^2 c \left[ \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_h} \right]^{4/3}$$

• Cas no-relativista: pressió de degeneració té dependència politròpica del tipus ...

TODO: Completar

Per obtindre un valor aproximat per la massa màxima que una nana blanca pot assolir, s'iguala la pressió del centre de l'estel amb la pressió de degeneració relativista. Obtenim la massa de Chandrasekhar.

TODO: Completar desenvolupament del Beamer.

$$M_{Ch} \approx \frac{3 \sqrt{2 \pi}}{8} \left( \frac{\hbar c}{G} \right)^{3/2} \left[ \left( \frac{Z}{A} \right) \frac{1}{m_h} \right]^2$$ Per Z/A = 0.5, $M_{Ch} = 1.44 M_\odot$ (anomenada massa límit de Chandrasekhar). A data d'avui: no s'ha descobert cap nana blanca amb una massa superior.

Per sobre de la massa límit de Chandrasekhar: forat negre.

__Data: 30 de setembre de 2021__

Règims de l'equació d'estat estel·lar

Hem vist que els estels poden tenir diversos tipus de fonts de pressió que els mantenen contra la força exercida per la gravetat. La pressió dominant en l'equació d'estat dependrà de les condicions de temperatura $T$ i densitat $\rho$. Les diferents regions en l'espai $\log T$ - $\log \rho$ venen representades en la figura següent (cadascuna indica quina pressió predomina).

TODO: Afegir 2 gràfics del Beamer

• La frontera entre les regions on la pressió de radiació i la del gas ideal dominen està definida per $P_{rad} = P_{gas}$. Prenent les equacions corresponents tenim $T / \rho^{1/3} = 3.2e7 \mu^{-1/3}$. Aquesta relació forma per tant una línia amb pendent $1/3$ en el pla $\log T$ - $\log \rho$.
• Frontera entre regions gas ideal-pressió de degeneració per un gas no relativista: es defineix a partir de la igualtat $P_{gas} = P_{deg, NR} \implies T/\rho^{2/3} = 1.21e5 \mu \mu_e^{-5/3}$ (en unitats cgs).
  • Només a temperatures molt elevades podem fer una transició directa a electrons relativistes.
• Transició règims relativista-no relativista: en aquest cas no hi ha dependència en $T$: $\rho = 9.7e5 \mu_e$.
  • A densitats molt altes la frontera entre gas ideal i electrons relativistes degenerats ve definida per $T/\rho^{1/3} = 1.5e7 \mu \mu_e^{-4/3}$ (unitats cgs) formant també una línia amb pendent 1/3.

Tema 2.6 - Models politròpics estel·lars

La dependència en T de l'equació d'estat fa que es requereixin eqs. addicionals per resoldre les equacions mecàniques d'equilibri hidrostàtic. Si només depèn de $\rho$, llavors l'estructura mecànica de l'estel està completament determinada.

• Cas especial: $P(\rho)$ ve donada pels models politròpics:

$$P = K P^\gamma,$$ on $K$ és constant de normalització, $\gamma$ ens indica la dependència funcional de $P$ i $\rho$.

• • És una aproximació útil que ens permet estimar la relació entre paràmetres i resoldre l'equació d'estat (?).
  • S'ajusten molt a l'eq. d'estat real.

Per una eq. d'estat en forma politròpica, combinant les eqs. de continuació de massa $dm/dr$ i d'eq. hidrostàtic $dP/dr$ poden donar lloc a l'equació diferencial de segon ordre per a la densitat: $$\frac{1}{\rho r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \rho^{\gamma - 2} \frac{d\rho}{dr} \right) = \frac{4 \pi G}{...}$$

on $\gamma$ s'anomena el ...

TODO: COMPLETAR

Per tal de construir un model estel·lar politròpic hem de resoldre l'eq. amb les condicions de contorn: $$\rho(r = 0) = \rho_c, \quad \rho(r = R) = 0.$$ $\rho_c$ és determinat mitjançant altres relacions.

Per resoldre l'eq. prenem el canvi de variables $\rho = \rho_c w^n$ i $r = \alpha z$, amb $\alpha = \left( \frac{n + 1}{4 \pi G} K \rho_c^{1/(n - 1)} \right)^{1/2}$

L'equació que resulta és l'equació de Lane-Emden: $$\frac{1}{z^2} \frac{d}{dz} \left( z^2 \frac{dw}{dz} \right) + w^n = 0.$$

Això ens permetrà saber l'estructura de l'estel. Fem-ho:

<-- Pissarra time! -->

Partim de les equacions d'equilibri hidrostàtic: $$\frac{dP}{dR} = - \frac{G m(r) \rho}{r^2},$$ $$\frac{dm}{dr} = 4 \pi r^2 \rho.$$

A més, tenim l'eq. d'estat politròpica: $$P = k \rho^\gamma$$

Prenem la primera equació, i fem: $$\frac{r^2}{\rho} \frac{dP}{dr} = - G m(r) \implies \frac{d}{dr} \left[ \frac{r^2}{\rho} \frac{dP}{dr} \right] = - G \frac{d}{dr} m(r) = - G 4 \pi r^2 \rho \implies$$ $$\frac{1}{r^2 \rho} \frac{d}{dr} \left[ \frac{r^2}{\rho} \frac{dP}{dr} \right] = - 4 \pi G.$$

Prenem la tercera equació: $$\frac{dP}{dr} = K \gamma \rho^{\gamma - 1} \frac{d\rho}{dr}$$

Substituint al que hem obtingut de la primera equació: $$\frac{1}{r^2 \rho} \frac{d}{dr} \left[ \frac{r^2}{\rho} K \gamma \rho^{\gamma - 1} \frac{d \gamma}{dr} \right] = - 4 \pi G \implies$$ $$\implies \frac{1}{r^2 \rho} \frac{d}{dr} \left[ r^2 \rho^{\gamma - 2} \frac{d \gamma}{dr} \right] = - \frac{4 \pi G}{K \gamma}.$$

Aquesta eq. és la que hem posat a la diapositiva anterior abans de fer el canvi de variables. És útil pel següent:

Canvi de variables: $\rho = \rho_c w^n$, $r = \alpha z$, tq $\gamma = 1 + \frac{1}{n} \iff n = \frac{1}{\gamma - 1}$.

Obtenim: $$\frac{1}{\rho_c w^n} \frac{1}{(\alpha z)^2} \frac{1}{\alpha} \frac{d}{dz} \left[ (\alpha z)^2 \rho^{\frac{1}{n} - 1} \rho_c \frac{1}{\alpha} \frac{d}{dz}(w^n) \right] = - \frac{4 \pi G}{k \gamma} \implies$$ $$\implies \frac{1}{\cancel{\rho_c} w^n} \frac{1}{\cancel{\alpha^2}} \frac{1}{z^2} \frac{1}{\alpha} \frac{d}{dz} \left[ \cancel{\alpha^2} z^2 (\rho_c w^n)^{\frac{1}{n} - 1} \cancel{\rho_c} \frac{1}{\alpha} \frac{d}{dz}(w^n) \right] = - \frac{4 \pi G}{k \gamma} \implies$$ $$\implies \rho_c^{\frac{1}{n} - 1} \frac{1}{w^n} \frac{1}{z^2} \frac{1}{\alpha^2} n \frac{d}{dz} \left[ z^2 \frac{dw}{dz} \right] = - \frac{4 \pi G}{k \gamma} \implies$$ $$\implies \frac{1}{w^n} \frac{1}{z^2} \frac{d}{dz} \left[ z^2 \frac{dw}{dz} \right] = - \frac{4 \pi G}{k \gamma} \frac{1}{\rho_c^{\frac{1}{n} - 1}} \frac{\alpha^2}{n} \implies$$

Això ens porta a definir: $$\alpha := \left[ \frac{n + 1}{4 \pi G} K \rho_c^{\frac{1}{n} - 1} \right]^(1/2)$$

I per tant l'expressió queda: $$\frac{1}{z^2} \frac{d}{dz} \left[ z^2 \frac{dw}{dz} \right] + w^n = 0,$$ que és l'equació de Lane-Emden.

Aquest procediment es pot fer també amb altres eqs. d'estat, i ens permetrà descriure l'estructura.

L'eq. relaciona la densitat amb la coordenada radial.

Integrant l'equació podrem obtindre'n la solució en funció de $n$ índex politròpic. Les condicions de contorn ara són $w = 1$ i $\frac{dw}{dz} = 0$ (la densitat tendeix a 0 al centre) al centre de l'estel ($z = 0$).

• No existeix una solució general analítica. Les úniques excepcions són $n = 0, 1, 5$.
  • $n = 0: \quad w(z) = 1 - \frac{z^2}{6}, z_0 = \sqrt{6}$
  • $n = 1: \quad w(z) = \frac{\sin z}{z}, z_1 = \pi$
  • $n = 5: \quad w(z) = \left( 1 + \frac{z^2}{3} \right)^{-1/2}, z_1 = \infty$
• Per $n < 5$, $w(z)$ decreix monòtonament arribant a 0 per valors finits de $z$ ($z \equiv z_n$) ($w = 0$ correspon a la superfície del model estelar).
  • Per $n = 5$ es tendeix assimptòticament al 0 (a l'infinit).

NOTA: Bon exercici graficar-les numèricament.

TODO: Afegir gràfica del Beamer

Un cop tenim la solució $w(z)$, podem utilitzar l'Eq. 115 del Beamer per fixar la distribució de la densitat, que ve determinada únicament per l'índex $n$. Les altres propietats com $M$ o $R$ venen determinades pels paràmetres $K$ i $\rho_c$: $$R = \alpha z_n$$ $$m(z) = \int_0^{\alpha z} 4 \pi r^2 \rho dr = - 4 \pi \alpha^3 \rho_c z^2 \frac{dw}{dz} \implies$$ $$\implies M = 4 \pi \alpha^3 \rho_c \Theta_n$$ on $\Theta_n = (-z^2 dw/dz)_{z = z_n}$.

Eliminant $\rho_c$ de les equacions anteriors trobem la relació entre $M$, $R$ i $K$: $$K = N_n GM^{(n - 1)/n} R^{(3-n)/n} \text{ amb } N_n = \frac{(4 \pi)^{1/n}}{n + 1} \Theta^{(1-n)/n} z^{(n-3)/n}.$$

• En els casos $n = 1$, $n = 3$, $K$ no dependrà de la massa o del radi respectivament.

__Data: 1 d'octubre de 2021__

TODO: Afegir taula dels diferents valors per les variables de l'eq. de Lame-Emden per diversos valors d'N.

• Cas $n=1$: radi independent de la massa. Determinat únicament pel valor de $K$.
• Cas $n=3$: massa independent del radi, i està determinada únicament per $K$. És a dir, per cada $K$ només hi ha una $M$ tq l'estel estigui en eq. hidrostàtic.

Densitat mitja d'un polítrop: $\bar{\rho} = M/(4 \pi R^3/3)$. Està relacionada per: $$\bar{\rho} = \left[ - \frac{3}{R} \left( \frac{dw}{dz} \right)_{z = z_n} \right] \cdot \rho_c = \frac{3 \Theta_n}{z_n^3} \rho_c$$

• $\rho_c/\bar{\rho}$: grau de concentració central de la densitat del polítrop. Paràmetre rellevant.
  • Depèn únicament de l'índex politròpic $n$.
• Invertint la relació anterior, podem trobar la densitat central donada la massa $M$ i el radi $R$.
  • Si assumim eq. politròpica (per ex. en casos de degeneració o radiació) podem trobar-les a partir d'estimacions dels valors.

La pressió central $P_c$ es pot escriure com $P_c = K \rho_c^{(n+1)/n}$. Si ara ho combinem amb expressions per $K$ i $\bar{\rho}$: $$P_c = W_n \frac{GM^2}{R^4} \text{, amb } W_n = \frac{z_n}{4 \pi (n + 1) \Theta_n^2}$$ És similar al resultat que vam obtenir prèviament. $$P_c = C_n G M^{2/3} \rho_c^{4/3}, \text{ amb } C_n = \frac{(4 \pi)^{1/3}}{n + 1} \Theta_n^{-2/3}.$$

En el cas d'un polítrop, lenergia potencial gravitacional (derivada al Kippenhahn): $$E_{grav} = - \frac{3}{5 - n} \frac{GM^2}{R}.$$

Exemples de models politròpics: les nanes blanques

L'exemple per antonomàsia, a l'igual que estels de neutrons (però n'hi ha moltes més nanes blanques).

• Són estels densos i han acabat el seu cicle estel·lar. Dominats per degeneració electrònica. Han cremat tot l'hidrogen convertint-lo en Heli (i en molts casos també a carboni i oxigen).
• Pressió de degeneració i estructura: depenen només de la temperatura.
  • Model politròpic: bon model per estudiar-les.
• Vàrem veure que tenien una massa màxima (Chandrasekhar).
  • Aquesta propietat també es pot derivar del fet que $P \propto \rho^{4/3}$ (és a dir $\gammna = 4/3$). $\gamma = 1 + \frac{1}{n} \implies n = 3$ (massa és independent del radi i només depèn de $K$).
  • Utilitzant l'expressió ens dona la massa de Chandrasekhar.

Estrelles de neutrons: violació de la massa límit degut a la rotació, que fa que la massa límit sigui inferior, o camps magnètics, etc.

Exemples de models politròpics: el model estàndard d'Eddington

Exemple en què $K$ no està determinat per les constants físiques, és un paràmetre lliure. Es basa en asumir que la pressió total ve donada per la del gas ideal + radiació.

$\beta := P_{gas}/P_{total}$. Considerem que sigui constant a tot l'estel. $P_{gas} = (\mathcal{R}/\mu) \rho T$ i, per tant: $$P_{tot} = \frac{1}{\beta} \frac{\mathcal{C}}{\rho} T.$$

TODO: A l'expressió anterior falta una $\mu$.

$1 - \beta = P_{rad}/P_{tot} = a T^4 / 3P$. Substituint per $T^4$ ens queda: $$P = \left( \frac{3 \mathcal{R}^4}{a \mu^4} \frac{1 - \beta}{\beta^4} \right)^{1/3} \rho^{4/3},$$ que és una equació d'estat politròpica amb $n = 3$ i depenent d'una constant $\beta$. Ara bé, com que $\beta \in [0, 1]$ la constant $K$ no està fixada, sinó que prendrà el valor que li pertoqui en funció de $\beta$.

Tema 2.7 - Equilibri tèrmic

Transport d'energia a l'interior dels estels

• Energia que perd l'estel és generada al seu interior. Hi ha per tant un flux net d'energia de dins cap enfora, que es dona en cadascuna de les capes.
• Per tant hi ha mecanismes físics que permeten transportar l'energia cap a fora.
  • I els mateixos mecanismes han de funcionar en rangs alts de paràmetres de l'estrella (per estrelles grans i petites per exemple).
  • Això implica gradient de temperatura aprox. radial per les diferents capes.
• A l'interior hi ha LTE (equilibri termodinàmic local) i lliure recorregut mig $\mathcal{l}$ curts (tant per fotons com per partícules).
• Processos per transportar energia són:
  • Difusió: moviment tèrmic aleatori (moviment brownià o maxwellià).
    • Conducció del calor: partícules.
    • Difusió radiativa: fotons.
  • Convecció: bombolles de gas que pugen (s'expandeixen pq la pressió és més baixa) i baixen. A més de transportar energia de dins cap a fora, barreja i per tant és també un procés regulador.

• Th. Virial: vam veure energia total. Per tal d'estudiar la conservació a nivell local, hem de tenir en compte els principis de la termodinàmica per l'interior estel·lar.
• Hem de considerar processos que es donen en temps d'escala relativament curts (e.g. $t_{\text{dyn}}$ en els quals no hi ha intercanvi de calor amb l'ambient (processos adiabàtics). Per tractar-los necessitarem així mateix derivades termodinàmiques (de $P$, $\rho$, $T$, etc.).

Principis termodinàmica: 1. $\delta Q = \delta U + \delta W = \delta U + P \delta V$. 2. Procés físic reversible: entropia és la calor dividida entre temperatura. 3. Entropia d'un sistema tendeix a un valor constant quan la temperatura tendeix al zero absolut. És a dir, li podem donar un valor que queda fixat.

Combinació dels 2 primers principis (minúscules vol dir "per unitat de massa", ex: $u = U/\rho$): $$dq = T ds = du + P d\mathcal{V} = d - \frac{P}{\rho^2} d\rho.$$ $\mathcal{V} = \frac{1}{\rho}$ (volum per unitat de massa).

Per temps d'escala curts donats per $\delta t$, el canvi d'energia interna es pot escriure com: $$\delta u = \delta q + \frac{P}{\rho^2} \delta \rho$$

• Compressió: $\delta \rho > 0 \implies u $
• Expansió: ...

TODO: Completar

Considerem de nou la closca esfèrica, massa donada per $\Delta m$. El bescanvi de calor vindrà donat per $\delta Q = \delta q \Delta m$ que pot venir de:

• Augment donat per les reaccions nuclears donat per $\varepsilon_{nuc} \text{ [erg s}^{-1}\text{ g}^{-1}\text{]}$.
• Disminució per emissió de neutrins altament energètics $\varepsilon_{\nu}$ (mateixes unitats).
• Calor emès/absobit en el fluxe de calor entre capes a partir del fluxe d'energia radial $F \text{[erg s}^{-1} \text{ cm^}{-2}\text{]}$, expressat en geometria esfèrica amb la lluminositat local $L_{loc} = 4 \pi r^2 F$.
  • A la superfície, $L_{loc} = L_*$ i al centre $L_{loc} = 0$. Per una altra banda, $L_{loc} > 0$ cap enfora i viceversa.
    • Cas extrem: regions centrals més fredes per emissió de neutrins podrien rebre calor. En aquest cas el signe seria negatiu.

Podem escriure per tant: $$\delta Q = \varepsilon_{nuc} \Delta m \delta t - \varepsilon_{\nu} \Delta m \delta t + L_{loc} (m) \delta t - L_{loc} (m + \Delta m) \delta t$$ on utilitzen la notació lagrangiana per expressar $$L_{loc} (m + \Delta m) = L_{loc} (m) + \frac{\partial L_{loc}}{\partial m} \Delta m.$$ Si dividim entre $\Delta m$ obtenim: $$\delta q = \left( \varepsilon_{nuc} - \varepsilon_\nu - \frac{\partial L_{loc}}{\partial m} \right) \delta t.$$

Combinant ara les eqs. anteriors i prenent límit $\delta t \to 0$, obtenim la tercera equació per l'estructura estel·lar: $$\frac{\partial L_{loc}}{\partial m} = \varepsilon_{nuc} - \varepsilon_\nu - \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{P}{\rho^2} \frac{\partial \rho}{\partial t}.$$

Data: 4 d'octubre de 2021

Per simplificar la notació: $$\varepsilon_{gr} := - \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{P}{\rho^2} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - T \frac{\partial s}{\partial t}$$ amb s sent l'entropia específica del gas.

• $\varepsilon_{gr} > 0$: l'energia és alliberada desde l'element de massa, per exemple si aquesta sofreix una contracció.
• $\varepsilon_{gr} < 0$: l'element de massa absorbeix energia, per exemple en el cas d'expandir-se.

Amb aquesta definició de $\varepsilon_{gr}$ la tercera eq. d'estructura estel·lar es queda en: $$\frac{\partial L_{loc}}{\partial m} = \varepsilon_{nuc} - \varepsilon_\nu + \varepsilon_{gr}$$

---

En cas de trobar-nos en eq. tèrmic, l'estel es troba en estat estacionari i les derivades temporals són nul·les ($\varepsilon_{gr} = 0$), així que: $$\frac{\partial L_{loc}}{\partial m} = \varepsilon_{nuc} - \varepsilon_\nu.$$

Si ara integrem per tots els elements de massa: $$L_* = \int_0^M \varepsilon_{nuc} dm - \int_0^M \varepsilon_\nu dm =: L_{nuc} - L_\nu.$$

Si negligim $L_\nu$, aleshores $L_{nuc} = L_*$. És a dir, l'energia que es radia a la superfície de l'estel és la mateixa que produeixen les reaccions nuclears al seu interior.

Transport de l'energia per difusió

Què passaria si, en un estel en equilibri tèrmic, s'aturessin tots els processos termonuclears? La resposta és que, almenys inicialment, no passaria pràcticament res de res.

• La densitat de l'estel és tan elevada que els fotons que transmeten l'energia fan que la seva distància típica d'interacció sigui molt curta (i triga molt temps en propagar-se per l'estel).
  • Per tant la radiació queda atrapada a l'interior i els fotons difonen cap a l'exterior molt lentament.
  • Al Sol: un fotó triga de l'ordre de $10^7$ anys en escapar.
• El transport radiatiu en els estels és per tant un procés de difusió. En tractar-lo com a tal veurem que simplifica força el tractament matemàtic del mateix.

• Per tractar aquests procesos sol utilitzar-se la llei de Fick: donat un gradient $\vec{\nabla} n$ en la densitat de partícules, el flux net de partícules per unitat de temps per unitat de superfície $\vec{J}$ és:

$$\vec{J} = - D \vec{\nabla} n,$$ amb $D = \frac{1}{3} \bar{v} \mathcal{l}$ el coeficient de difusió.

• Prenem una superfície i una distribució isotròpica de partícules. Les que creuen en la direcció positiva (una de les 2 direccions) són:

$$\frac{dN}{dt} = \frac{1}{6} n \bar{v}.$$

• Suposem que hi ha un gradient $\partial n/\partial z$ ($n \equiv n(z)$). Llavors les partícules que es mouen cap amunt amb un lliure recorregut $\mathcal{l}$ tindran una densitat promig donada per $n(z - \mathcal{l})$, i les que es mouen cap abaix tindran una densitat promig donada per $n(z + \mathcal{l})$. Per tant el flux total és:

$$J = \frac{1}{6} \bar{b} n(z - l) - \frac{1}{6} \bar{v} n(z + l) = \frac{1}{6} \bar{v} \left( -2 \mathcal{l} \frac{\partial n}{\partial z} \right) = - \frac{1}{3} \bar{v} \mathcal{l} \frac{\partial n}{\partial z}.$$

• Suposem que, a més d'un gradient de la densitat de partícules, hi ha també un gradient en la densitat d'energia $U$ transportat per aquestes partícules (fotons o partícules de gas). Llavors també existirà un flux net d'energia a través de la superfície, ja que en promig les partícules que creuen cap amunt porten més energia que no pas les que van cap avall.

El gradient en la densitat d'energia $\nabla U$ dóna lloc a un flux d'energia: $$\vec{F} = - D \vec{\nabla} U.$$

Aquest gradient d'energia es pot associar al se torn amb un gradient de temperatura $\nabla t$$$\vec{\nabla} U = (\partial U/\partial T)_V \vec{\nabla} T =: C_V \vec{\nabla} T,$$ on $C_V$ és la calor específica a volum constant.

Podem escriure el flux d'energia com una eq. per la conducció del calor: $$\vec{F} = -K \vec{\nabla} T, \text{ on } K = \frac{1}{3} \bar{v} \mathcal{l} C_V,$$ on $K$ és la conductivitat.

Observació: la formulació emprada fins aquí és vàlida tant per fotons com per partícules de gas.