Resum de càlcul integral

Tema indefinit

Integrable Riemann en A: Si [math]\displaystyle{ \underline{\int}_{A} f = \overline{\int}_{A} f }[/math]

Conjunt [math]\displaystyle{ C \in \mathbb{R}^n }[/math] admissible: si és fitat i [math]\displaystyle{ Fr(C) }[/math] té mesura nul·la.

Conjunt [math]\displaystyle{ C \in \mathbb{R}^n }[/math] mesurable Jordan: si és fitat i [math]\displaystyle{ \exists \int_R \chi_C }[/math], on [math]\displaystyle{ R }[/math] és un rectangle compacte tq [math]\displaystyle{ C \subset R }[/math]

Integrals impròpies

Exhaustió de E: successió [math]\displaystyle{ (E_i) }[/math] de conjunts mesurables Jordan tq:

1. [math]\displaystyle{ E_i \subset E }[/math]
2. [math]\displaystyle{ E_i \subset E_{i+1} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \displaystyle \bigcup_{i} E_i = E }[/math]

Integral impròpia: si [math]\displaystyle{ f }[/math] és integrable a cada [math]\displaystyle{ E_i }[/math]: [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{E} f := \lim_i \int_{E_i} f }[/math]

Localment integrable Riemann (v. 2): [math]\displaystyle{ \forall x \in U \: \exists E(x) : \begin{cases} E(x) \text{ mesurable Jordan} \\ f|_{E(x)} \text{ integrable Riemann} \end{cases} }[/math]

Integrals de línia i de superfície

Longitud de corba

Camí/corba parametritzada: aplicació contínua [math]\displaystyle{ \gamma: I \longrightarrow \mathbb{R}^n }[/math] en un interval no degenerat

Partició: [math]\displaystyle{ P = \{t_0, \ldots, t_N\} }[/math] partició de [math]\displaystyle{ I = [a, b] }[/math]. Defineix una línia poligonal tq [math]\displaystyle{ \displaystyle L(\gamma, P) = \sum_{i = 1}^N || \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) || }[/math]

Longitud: [math]\displaystyle{ \displaystyle L(\gamma) = \sup_P L(\gamma, P) \in [0, +\infty] }[/math]

Camí rectificable: si [math]\displaystyle{ L(\gamma) \lt +\infty }[/math]

Monotonia i continuitat de la longitud: [math]\displaystyle{ l: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R} : \begin{cases} l(a) = 0 \\ l(t) = L(\gamma|_{[a, t]}) \enspace a \lt t \leq b \end{cases} }[/math] és creixent i contínua.

Sigui [math]\displaystyle{ \begin{cases} \sigma: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^n \text{ camí} \\ \varphi: [c, d] \longrightarrow [a, b] \text{ homeomorfisme} \\ \tau = \sigma \circ \varphi: [c, d] \longrightarrow \mathbb{R}^n \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma, \tau }[/math] són camins equivalents. [math]\displaystyle{ \varphi \text{ creixent} \implies }[/math] mateixa orientació (si no, orientació oposada).

[math]\displaystyle{ \sigma \circ \tau }[/math] és el camí reparametritzat de [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] per la reparametrització [math]\displaystyle{ \varphi }[/math].

Longitud: [math]\displaystyle{ \displaystyle L(\gamma) = \int_a^b ||\gamma'|| = \int_a^b ||\gamma'(t)|| \; dt }[/math]

Integral de línia de funcions escalars

Integral de línia de [math]\displaystyle{ f }[/math] al llarg de [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]: [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_\sigma f \; dl := \int_I f(\sigma(s)) \; ||\sigma'(s)|| \; ds }[/math]

Integral de línia de camps vectorials

Integral de línia o circulació de [math]\displaystyle{ \vec{f} }[/math] al llarg de [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]: [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_\sigma \vec{f} \cdot d\vec{l} := \int_I \vec{f}(\sigma(s)) \cdot \vec{\sigma}'(s) \; ds }[/math]

Integral de superfície de funcions escalars

Superfície parametritzada: [math]\displaystyle{ \sigma: U \longrightarrow \mathbb{R}^2 \enspace \mathcal{C}^1 }[/math]

Vectors tangents: [math]\displaystyle{ \vec{T_i}: U \longrightarrow \mathbb{R}^n }[/math]; [math]\displaystyle{ \begin{cases} \vec{T_1} = D_1\sigma \\ \vec{T_2} = D_2\sigma \end{cases} }[/math]; [math]\displaystyle{ J\sigma = (\vec{T_1}, \vec{T_2}) }[/math]

Parametrització regular: [math]\displaystyle{ D\sigma }[/math] té rang màxim sempre.

Integral de superfície: [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_M f \; dS := \int_\sigma f \; dS := \int_U f(\sigma(s)) \sqrt{g(u)} \; du_1 du_2 }[/math], [math]\displaystyle{ g(u) = \det \begin{bmatrix} \vec{T_1}\cdot\vec{T_1} & \vec{T_1}\cdot\vec{T_2} \\ \vec{T_2}\cdot\vec{T_1} & \vec{T_2}\cdot\vec{T_2} \end{bmatrix} }[/math]

Equivalentment, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_M f \; dS = \int_\sigma f(\sigma(u)) \; ||T_1 \times T_2|| \; du_1 du_2 }[/math]

Integrals de superfície de camps vectorials a [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]

Integral de superfície o flux de [math]\displaystyle{ \vec{f} }[/math] sobre [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]: [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_\sigma \vec{f} \cdot d\vec{S} := \int_U \vec{f}(\sigma(u)) \cdot (\vec{T_1}(u) \times \vec{T_2}(u)) \; du_1 du_2 }[/math]

Sigui [math]\displaystyle{ \begin{cases} \varphi: U \longrightarrow \tilde{U} \text{ difeomorfisme entre oberts connexos de } \mathbb{R}^2 \\ \sigma: U \longrightarrow \mathbb{R}^3 \text{ una superfície parametritzada} \\ \tilde{\sigma} = \sigma \circ \varphi^{-1}: \tilde{U} \longrightarrow \mathbb{R}^3 \text{ la reparametritzada de } \sigma \text{ per } \varphi \end{cases} }[/math]

Aleshores, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_\tilde{\sigma} \vec{f} \cdot d\vec{S} = \pm \int_\sigma \vec{f} \cdot d\vec{S} }[/math], on el signe és el de [math]\displaystyle{ J\varphi }[/math]