Estrelles: magnituds observables i propietats físiques

Introducció sobre escales

Figura 1

• Paral·laxi trigonomètrica: angle [math]\displaystyle{ p }[/math] (veure figura 1)
• 1 parsec = distància que tenim amb una estrella amb [math]\displaystyle{ p = 1'' }[/math] = 3.26 anys llum
• Estrelles d'una mateixa galàxia estan separades típicament per una distància de l'ordre dels parsecs
• [math]\displaystyle{ 1 \text{ any llum} \approx 9.46\cdot10^{12} \text{ km} \approx 10^{13} \text{ km} }[/math]
• [math]\displaystyle{ 1 \text{ UA} = 597 870 000 \text{ km} \approx 8.317 \text{ minuts de llum} }[/math]

• Pròxima centauri: rebem la llum emesa fa aproximadament 4 anys
• Andròmeda: l'estem veient com és fa 2 milions d'any

• Unitats de massa que s'utilitzen: masses solars (per estrelles, i inclús per galàxies), masses terrestres (per planetes gasosos), masses de Júpiter (per planetes gasosos)
• Edat univers: la donem tal qual, com 14 000 milions d'anys.

• L'univers està majoritàriament buit. Densitat d'aproximadament [math]\displaystyle{ 5 \frac{\text{protons}}{\text{m}^3} }[/math]
• Densitat mitjana del Sol: semblant a la de l'aigua 1.4 g/cm^3
• Densitat de Júpiter un 20% menor a la de l'aigua (així que si tinguèssim una piscina lo suficientment gran, flotaria en aquesta)

Tema 1. Estrelles: magnituds observables i propietats físiques

• (fins fa dos anys) L'element bàsic per extreure informació del cosmos més enllà de l'atmosfera terrestre són els fotons (musons que interactuen amb la matèria). (tot i que ara hi ha les ones gravitacionals, els neutrins, etc., però tot això encara és bastant nou)
• Usarem l'àtom de Bohr: un nucli atòmic i uns orbitals quantitzats. Amb això ens és prou per conèixer les interaccions dels fotons amb la matèria.
  • Excitació: d'estat fonamental a un estat superior. (tant si és excitació com desexcitació: [math]\displaystyle{ \Delta E = | E_j - E_i | = h \nu }[/math], on [math]\displaystyle{ h = 6.626 \cdot 10^{-34} \text{J} \cdot \text{s} = 6.626 \cdot 10^{-27} \text{erg} \cdot \text{s} }[/math] constant de Planck)
  • Ionització: electró és lliberat de l'àtom. Generalment l'energia necessària és de l'ordre d'uns quants electronvolts (1 electron-volt = 1 eV = [math]\displaystyle{ 1.6022 \cdot 10^{-19} \text{J} }[/math])
    • Reaccions nuclears de fisió o fusió és milions de vegades més energètiques que les reaccions químiques.
  • Recombinació: electró lliure és capturat per un àtom i emet el fotó correponent.
• Gasos donen un espectre continu per les densitats altes (estrelles com el Sol), líquids i sòlids no perquè les densitats són més baixes.

• Les construccions atòmiques han de ser a temperatures de baixes, perquè si no quan dos àtoms s'intenten unir xoquen i "hasta luego lucas".

Espectre continu/radiació contínua

• Amb molt bona aproximació, molts objectes (com per exemple les estrelles) emeten com un cos negre. Així doncs, podem descriure molt bé la seva distribució d'energia com una distribució de Planck de cos negre.
  • Cos negre: tota la energia que incideix en ell la reflecteix, així que no absorbeix cap.
  • Radiació de cos negre: se suposa que és del tipus tèrmic (és la que utilitzarem; es diu així perquè té a veure amb la temperatura del cos).

@TODO: inserir effectivetemperature_extraterrestrial.png

Llei de Planck

Llei de Planck: [math]\displaystyle{ I(\nu, T) = \frac{2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{K_B T}} - 1} }[/math], [math]\displaystyle{ K_B = 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ J/K} }[/math] és la constant de Boltzman. [math]\displaystyle{ I(\nu, T) }[/math] és l'energia per unitat de temps, emesa per unitat d'àrea per radiador, observada per unitat d'angle sòlid i mesurada per unitat de freqüència.

• Hi ha més informació sobre aquesta llei al Campus Virtual.
• A vegades s'integra sobre una esfera i apareix un factor pi a la fòrmula (?)
• I és una intensitat específica perquè és sobre una freqüència específica.

Figura 2

[math]\displaystyle{ \Delta E = I \cos \theta \Delta A \cdot \Delta \nu \cdot \Delta \Omega \cdot \Delta t }[/math] (veure F.1)

Interludio de probabilitat random:

• [math]\displaystyle{ x, y }[/math] variables aleatòries
• [math]\displaystyle{ p(x) dx = p(y) dy }[/math]
• [math]\displaystyle{ p(y) = p(x) \left( \frac{dx}{dy} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ I'(\lambda, T) = I(\nu, T) \left| \frac{d\nu}{d\lambda} \right| = I(v(\lambda), T) \cdot \frac{\nu^2}{c} }[/math]

[math]\displaystyle{ I'(\lambda, T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda K_B T}}} }[/math]

Llei de Stefan-Boltzmann

Respon la pregunta: quina és la quantitat de potència emesa a un hemisferi? (integrant sobre totes les freqüències)

Flux: [math]\displaystyle{ F(T) = \int_\nu \iint_\text{hemisferi} I(\nu, T) \cdot \cos \theta d\nu d\Omega = \int_0^\infty I(\nu, T) d\nu \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \cos \theta \sin \theta = }[/math] [math]\displaystyle{ = \pi \int_0^\infty d\nu I(\nu, T) = \frac{2 \pi h}{c^2} \int_0^\infty \frac{\nu^3}{e^\frac{h\nu}{K_B T} - 1} d\nu = \frac{2 \pi h}{c^2} \left( \frac{K_B T}{h} \right)^4 \int_0^\infty \frac{u^3}{e^u - 1} du = \frac{2 \pi^5 K_B^4}{15 c^2 h^3} T^4 = \sigma_\text{SB} T^4 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma_\text{SB} = 5.67 \cdot 10^{-8} W m^{-2} K^{-4} }[/math] (constant d'Stefan-Boltzmann; no confondre amb la constant de Boltzmann)

• Catàstrofe ultraviolada (altes energies): bàsicament sortia una integral que divergia.

Figura 3

Boltzmann:

• S'aplicava la distribució (de probabilitats) de Boltzmann: [math]\displaystyle{ P(\epsilon_i) \propto e^{-\frac{\epsilon_i}{K_B T}} }[/math] (on [math]\displaystyle{ \epsilon_i }[/math] és un estat d'energia)
• [math]\displaystyle{ \lt E\gt = \frac{\int_0^\infty EP(E) dE}{\int_0^\infty P(E) dE} = K_B T }[/math]

Planck:

• [math]\displaystyle{ \epsilon_i = n h \nu \; (n = 1, 2, 3, \dots) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lt E\gt = \frac{\sum_{n=0}^\infty n h \nu P(n h \nu)}{\sum_{n=0}^\infty P(n h \nu)} = K_B T \left( \frac{\frac{h \nu}{K_B T}}{e^{\frac{h \nu}{K_B T}} - 1} \right) }[/math]

Llei de Wien

[math]\displaystyle{ \lambda_\text{màx} = \frac{b}{T} }[/math], on [math]\displaystyle{ b = 2.8977685 \cdot 10^{-3} \text{m} \cdot \text{K} }[/math] (constant de Wien)

Outro

• No hi ha cap objecte natural que emeti tota la seva radiació a una sola freqüència. L'energia que meten acostuma a distribuir-se en un rang ampli de freqüències. Aquesta distribució ens pot permetre obtenir informació molt valiosa sobre les propietats físiques de l'objecte.

@TODO: Include "Hydrogen Absorption Spectra" figure from "Discovering the universe. Eighth edition".

Lleis de Kirchoff

The empirical laws of spectrum analysis are commonly known as Kirchhoff's Three Laws of Spectroscopy as follows:

1. A hot solid, liquid or dense gas produces a continuous spectrum.
2. A hot, low-density gas produces an emission-line spectrum.
3. A continuous spectrum source viewed through a cool, low-density gas produces an absorption-line spectrum.