Bloc 2. Estructura estel·lar

Tema 2.1. Equilibri hidrostàtic

TODO: Incloure el resum del Beamer.

Formalismes Eulerià i Lagrangiaà

• Assumirem geometria esfèrica.
• Formulació Euleriana: les variables (pressió P, temperatura T, densitat ρ), depenen de la distància radial al centre de l'estrella r (0 < r <= R).
  • Totes les variables tenen una evolució temporal. Haurem de tenir present tant r com t en derivades parcials.
• Formulació Lagrangiana: s'usa la massa [math]\displaystyle{ m \in (0, M] }[/math] com a variable independent: r(m), P(m), ρ(m). Aquesta té l'avantatge que R = R(t), M no canvia. En aquesta formulació, [math]\displaystyle{ \partial/\partial r \rightarrow (\partial/\partial m) (\partial/\partial r) }[/math]
  • Això és perquè en general la massa total de l'estrella es conserva. Les estrelles usen massa però poca, majoritàriament es transforma.

Distribució de la massa estel·lar

El principi de conservació de la massa aplicat a una massa dm corresponent a una closca esfèrica de gruix dr a una distància r del centre de l'estrella ve donat per:

[math]\displaystyle{ dm(r, t) = 4 \pi r^2 \rho \, dr - 4 \pi r^2 \rho v \, dt }[/math] on v és la velocitat radial de l'element de massa. Podem descomposar aquesta eq. en 2 parts:

• [math]\displaystyle{ \partial_r m = 4 \pi r^2 \rho }[/math] ens dona la distribució radial de la massa en funció de la densitat.
  • La densitat no es coneix a priori, i per tant haurem d'estimar-la d'altres condicions (ex. equació d'estat).
• [math]\displaystyle{ \partial_t m = - 4 \pi r^2 \rho v }[/math] representa el guany/pèrdua de massa (acreció/vents estel·lars).
  • En la situació estàtica (v = 0) l'eq. total esdevé: [math]\displaystyle{ \frac{dm}{dr} = 4 \pi r^2 \rho }[/math] (en els interiors estel·lars l'aproximació és prou bona).
    • Integrant: [math]\displaystyle{ m(r) = m_r = \int_0^r 4 \pi r'^2 \rho \, dr' }[/math].
    • Forma lagrangiana: [math]\displaystyle{ \frac{\partial r}{\partial m} = \frac{1}{4 \pi r^2 \rho} }[/math]

El camp gravitacional

Un estel és un cos format per gas que es troba lligat gravitacionalment. La força de la gravetat condueix l'evolució de l'estel.

[math]\displaystyle{ \vec{g} = - \grad \phi }[/math] on Φ és la solució de l'equació de Poisson [math]\displaystyle{ \nabla^2 \phi = 4 \pi \rho G }[/math].

Assumint geometria esfèrica, l'acceleració gravitacional només depèn de r. I el que queda fora de la closca esfèrica no afecta.

Conservació del moment

Expressió de conservació del moment:

[math]\displaystyle{ \ddot{r} dm = -g dm + P(r) dS - P(r = dr) dS }[/math].

Obtenim l'eq. del moviment:

[math]\displaystyle{ \frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{G m_r}{r^2} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial r} }[/math].

Versió Lagrangiana:

[math]\displaystyle{ \frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{}{} \cdots }[/math]

TODO: Això es pot explicar millor. Completar l'equació de dalt

Equilibri hidrostàtic

Majoria d'estels: es troben en estats evolutius tant llargs que no es poden apreciar en temps-escala humans. Per tant, les forces que actuen des de/sobre els diferents elements de gas que composen l'estel estan essencialment contrarrestades les unes amb les altres. Els estels estan per tant en equilibri mecànic o, amb més precisió, en equilibri hidrostàtic.

Com la suma de forces és aprox. nul·la, podem imposar acceleració nul·la, obtenint la segona equació d'equilibri hidrostàtic:

[math]\displaystyle{ \frac{dP}{dr} = - \frac{Gm}{r^2} }[/math]

Formulació lagrangiana:

[math]\displaystyle{ \frac{dP}{dm} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4} }[/math]

Data: 22 de setembre de 2021

Les anteriors equacions determinen conjuntament l'estructura mecànica d'un estel en equilibri hidrostàtic:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial r}{\partial m} = \frac{1}{4 \pi r^2 \rho}, \frac{dP}{dm} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4}. }[/math]

Són dues equacions per 3 funcions desconegudes de m: r(m), P(m), ρ(m). Per tant falta una 3a equació: l'equació d'estat de l'estel (que relaciona P amb ρ).

Aquesta eq. pot ser (sense ser exhaustius):

• Equació de gas ideal
• Equació politròpica (independent de T, P = P(ρ))
  • En aquest cas l'estructura mecànica i tèrmica de l'estel estan desacoblades (ex: nanes blanques)

Pressió central

Podem estimar la pressió al centre d'un estel prenent l'eq. (39) i imposant:

$$\frac{dP}{dm} \approx \frac{P_\text{sup} - P_c}{M} \approx \frac{P_c}{M}, \quad m \approx \frac{1}{2} M, \quad r \approx \frac{1}{2} R$$

TODO: Aquí hi ha un signe que balla, ja ens dirà.

D'aquesta manera ens queda:

$$P_c \approx \frac{2}{\pi} \frac{GM^2}{R^4}$$

Ex: pel Sol, obtenim $P_c \approx 7e15 \text{ dyn/cm}^2$.

TODO: Acabar de completar l'exemple de les diapos.

Prenem una altra vegada l'eq. (39), però escrivint ara:

$$\frac{dP}{dr} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4} \frac{dm}{dr} = - \frac{d}{dr} \left( \frac{Gm^2}{8 \pi r^4} \right) - \frac{Gm^2}{2 \pi r^5} \implies$$ $$\implies \frac{d}{dr} \left( P + \frac{Gm^2}{8 \pi r^4} \right) = - \frac{Gm^2}{2 \pi r^5} < 0$$.

La quantitat [math]\displaystyle{ \Psi(r) = P + \frac{Gm^2}{8 \pi r^4} }[/math] és per tant funció decreixent de r. Al centre de l'estel, el segon terme desapareix ja que [math]\displaystyle{ m \propto r^3 }[/math] per r petits,i per tant $\Psi(0) = P_c$. A la superfície $P \approx 0$. Del fet que $\Psi$ és una funció decreixent de $r$ en segueix que:

$$P_c > \frac{1}{8 \pi} \frac{GM^2}{R^4}$$

És valida per qualsevol...

TODO: Acabar d'escriure

Temps dinàmic

Podem estimar a partir de l'anterior quan ràpid es donen els canvis en l'estructura de l'estel quan és pertorbat respecte l'equilibri.

Per un estel ja format, dimensionalment, podem aproximar l'acceleració de caiguda de les diferents capes com:

$$|\ddot{r}| \approx \frac{R}{t^2_{ff, \text{estel}}} \implies t_{ff, \text{estel}} \approx \sqrt{\frac{R}{|\ddot{r}|}}$$

Prenent ara $|\ddot{r}| = g \approx GM/R^2$ ens queda:

$$t_{ff, \text{estel}} \approx \sqrt{\frac{R}{g}} = ...$$

TODO: Completar

---

Manera alternativa: suposar el contrari, que la gravetat desapareix i l'estrella s'expandeix. Això ens donaria un temps escala típic per a què la pressió (cap enfora) fes explotar l'estel. Aquest temps és similar al que requeriria una ona de so en travessar tota l'estrella des del centre a la superfície. Per l'eq. (36)

$$\frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial r}$$

Si ara aproximem $d^2/dt^2 \approx 1/t^2_{exp}$ i $(1/\rho) \partial P/\partial r \approx \bar{P}/\bar{\rho} R$, on $\bar{x}$ és el valor mig de $x$, obtenim:

$$t_exp \approx \frac{R}{\sqrt{\frac{\bar{P}}{\bar{\rho}}}} \approx \frac{R}{\bar{c_s}}$$

TODO: Completar

---

Exemple: cas del Sol. $t_{dyn} \approx 1600 \text{ s}$. Per tant, $t_{dyn} \ll t_{age} = 4.6\text{ Gyr} \approx 1.5 \times 10^{17} \text{ s}$. Conseqüències:

• Qualsevol desviació important de l'estat d'eq. hidrostàtic dona lloc a fenomens transitoris ràpids. Si lestel no recupera el seu equilibri, això el porta directament al col·lapse o explosió.
• Es pot recuperar donant lloc a petites oscil·lacions amb durada $\aprox t_{dyn}$. Aquest tipus de pertorbacions s'observen regularment al Sol, amb períodes d'alguns minuts.
• Els estels resten en general molt propers a la situació d'eq. hidrostàtic. L'evolució és quasi-estàtica (escales de temps molt superiors a $t_{dyn}$).

Teorema del Virial

Comencem per l'eq. (39) i multipliquem a banda i banda pel volum $V = (4/3) \pi r^3$:

$$\int_0^M \frac{4}{3} \pi r^3 \frac{dP}{dm} = - \frac{1}{3} \int_0^M \frac{Gm}{r} dm$$

La part dreta de dins de l'integral no és més que l'energia potencial gravitacional de l'estel. L'energia potencial gravitacional de l'estel és el treball per portar tots els elements de massa des de l'infinit fins al radi actual (la integral).

La banda esquerra es pot integrar per parts i substituir una equació anterior:

$$\frac{4}{3} \pi R^3 P(R) - \int_0^V P dV = \frac{1}{3} E_{grav}$$

Si considerem tot l'estel, la part esuqerra s'anul·la ja que $P(R) \to 0$ i ens queda:

[math]\displaystyle{ -3 \int_0^{V_s} P dV = E_{grav} }[/math]