Resum pel parcial de fonaments de la matemàtica

Tema 0: Introducció als nombres complexos

El conjunt dels nombres complexos es defineixe: [math]\displaystyle{ \mathbb{C} = \{a+bi : a, b \in \mathbb{R}\} }[/math]

Definicions

Sigui [math]\displaystyle{ z = a+bi }[/math] un nombre complex. Aleshores:

• El mòdul és: [math]\displaystyle{ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]
• El conjugat és: [math]\displaystyle{ \overline{z} = a-bi }[/math]
• La part real és: [math]\displaystyle{ \text{Re } z = a }[/math]
• La part imaginària és: [math]\displaystyle{ \text{Im } z = b }[/math]
• El punt afix és el punt de coordenades [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]

Operacions amb els complexos

Suma: [math]\displaystyle{ (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i }[/math]

Multiplicació: [math]\displaystyle{ (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i }[/math]

Divisió: [math]\displaystyle{ \dfrac{a+bi}{c+di} = \dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2 + d^2} }[/math]

Expressió trigonomètrica o polar dels complexos

[math]\displaystyle{ r = |z|, \alpha = \text{arg } z \implies \left\{ \begin{array}{l} a = \text{Re } z = r \cdot \cos \alpha \\ b = \text{Im } Z = r \cdot \sin \alpha \end{array}\right\} \implies \begin{cases} r = \sqrt{a^2 + b^2} \\ \alpha = \arctan(\frac{b}{a}) \end{cases} }[/math]

Forma polar: [math]\displaystyle{ z = r_\alpha }[/math]

Forma exponencial: [math]\displaystyle{ z = r \cdot e^{\alpha i} }[/math]

Propietat bàsica del mòdul i de l'exponent

1. [math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \text{arg } (z_1 \cdot z_2) = \text{arg } (z_1) + \text{arg } (z_2) + 2 \pi k \quad \forall k \in \mathbb{Z} }[/math]

Teorema

[math]\displaystyle{ e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha }[/math]

Fòrmua de Moivre: [math]\displaystyle{ (\cos x + i \sin x)^n = \cos (nx) + i \sin (nx) }[/math]

Fòrmula d'Euler: [math]\displaystyle{ e^{i\pi} = -1 }[/math]

Arrels n-éssimes de nombres complexos

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{r \cdot e^{i\alpha}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{i\alpha}{n} + \frac{2 \pi i}{n}k} \quad \forall k = \{0, 1, \ldots, n-1\} }[/math]

Propietats del conjugat

1. [math]\displaystyle{ \overline{z_1 \pm \lt _2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \quad \overline{\lambda \cdot z} = \lambda \cdot \overline{z} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \overline{z_1 \div z_2} = \overline{z_1} \div \overline{z_2} \quad \text{si } z_2 \neq 0 }[/math]

Teorema Fonamental de l'Àlgebra

[math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] és un cos algebraicament tancat, és a dir, tot polinomi amb coeficients complexos té tantes arrels complexes com el seu grau.