Resum pel parcial de fonaments de la matemàtica
Tema 0: Introducció als nombres complexos
El conjunt dels nombres complexos es defineixe: [math]\displaystyle{ \mathbb{C} = \{a+bi : a, b \in \mathbb{R}\} }[/math]
Definicions
Sigui [math]\displaystyle{ z = a+bi }[/math] un nombre complex. Aleshores:
- El mòdul és: [math]\displaystyle{ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]
- El conjugat és: [math]\displaystyle{ \overline{z} = a-bi }[/math]
- La part real és: [math]\displaystyle{ \text{Re } z = a }[/math]
- La part imaginària és: [math]\displaystyle{ \text{Im } z = b }[/math]
- El punt afix és el punt de coordenades [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]
Operacions amb els complexos
Suma: [math]\displaystyle{ (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i }[/math]
Multiplicació: [math]\displaystyle{ (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i }[/math]
Divisió: [math]\displaystyle{ \dfrac{a+bi}{c+di} = \dfrac{(a+bi)(c-di)}{c^2 + d^2} }[/math]
Expressió trigonomètrica o polar dels complexos
[math]\displaystyle{ r = |z|, \alpha = \text{arg } z \implies \left\{ \begin{array}{l} a = \text{Re } z = r \cdot \cos \alpha \\ b = \text{Im } Z = r \cdot \sin \alpha \end{array}\right\} \implies \begin{cases} r = \sqrt{a^2 + b^2} \\ \alpha = \arctan(\frac{b}{a}) \end{cases} }[/math]
Forma polar: [math]\displaystyle{ z = r_\alpha }[/math]
Forma exponencial: [math]\displaystyle{ z = r \cdot e^{\alpha i} }[/math]
Propietat bàsica del mòdul i de l'exponent
- [math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| }[/math]
- [math]\displaystyle{ \text{arg } (z_1 \cdot z_2) = \text{arg } (z_1) + \text{arg } (z_2) + 2 \pi k \quad \forall k \in \mathbb{Z} }[/math]
Teorema
[math]\displaystyle{ e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha }[/math]
Fòrmua de Moivre: [math]\displaystyle{ (\cos x + i \sin x)^n = \cos (nx) + i \sin (nx) }[/math]
Fòrmula d'Euler: [math]\displaystyle{ e^{i\pi} = -1 }[/math]
Arrels n-éssimes de nombres complexos
[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{r \cdot e^{i\alpha}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{i\alpha}{n} + \frac{2 \pi i}{n}k} \quad \forall k = \{0, 1, \ldots, n-1\} }[/math]
Propietats del conjugat
- [math]\displaystyle{ \overline{z_1 \pm \lt _2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \quad \overline{\lambda \cdot z} = \lambda \cdot \overline{z} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z_1 \div z_2} = \overline{z_1} \div \overline{z_2} \quad \text{si } z_2 \neq 0 }[/math]
Teorema Fonamental de l'Àlgebra
[math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] és un cos algebraicament tancat, és a dir, tot polinomi amb coeficients complexos té tantes arrels complexes com el seu grau.
Tema 1: Teoria de conjunts
Existeixen uns objectes que anomenem conjunts i una relació de pertinença ([math]\displaystyle{ \in }[/math]) de forma que per a cada conjunt [math]\displaystyle{ A }[/math] i cada objecte [math]\displaystyle{ X }[/math] una i només una de les afirmacions següents és certa:
- [math]\displaystyle{ x \in A }[/math]
- [math]\displaystyle{ x \notin A }[/math]
3 primers axiomes de Zermelo-Fraenkel
(I) Axioma d'extensió: Dos conjunts [math]\displaystyle{ A, B }[/math] són iguals quan [math]\displaystyle{ x \in A \iff x \in B \quad \forall x }[/math]
(II) Axioma del conjunt buit: Existeix un conjunt [math]\displaystyle{ B }[/math] tq [math]\displaystyle{ x \notin B \quad \forall x }[/math]
(III) Axioma del parell: Per a qualsevol parella d'objectes [math]\displaystyle{ a, b }[/math] existeix un conjunt [math]\displaystyle{ u }[/math] tq [math]\displaystyle{ x \in u \iff \begin{cases} x = a \\ o \\ x = b \end{cases} }[/math]. Denotem aquest conjunt per [math]\displaystyle{ \{a, b\} }[/math]. Noteu que [math]\displaystyle{ \{a, b\} = \{b, a\} }[/math]
