Resum de càlcul integral
 |
One editor is actually working in this article or section. For this reason the article may not be completely accurate and there may be deficiencies in its format. You are welcome to assist in its construction by editing it as well, but before making major corrections contact them in their talk page or in the talk page of the article to be able to coordinate the editing. |
Tema indefinit
Integrable Riemann en A: Si [math]\displaystyle{ \underline{\int}_{A} f = \overline{\int}_{A} f }[/math]
Conjunt [math]\displaystyle{ C \in \mathbb{R}^n }[/math] admissible: si és fitat i [math]\displaystyle{ Fr(C) }[/math] té mesura nul·la.
Conjunt [math]\displaystyle{ C \in \mathbb{R}^n }[/math] mesurable Jordan: si és fitat i [math]\displaystyle{ \exists \int_R \chi_C }[/math], on [math]\displaystyle{ R }[/math] és un rectangle compacte tq [math]\displaystyle{ C \subset R }[/math]
Integrals impròpies
Exhaustió de E: successió [math]\displaystyle{ (E_i) }[/math] de conjunts mesurables Jordan tq:
- [math]\displaystyle{ E_i \subset E }[/math]
- [math]\displaystyle{ E_i \subset E_{i+1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \bigcup_{i} E_i = E }[/math]
Integral impròpia: si [math]\displaystyle{ f }[/math] és integrable a cada [math]\displaystyle{ E_i }[/math]: [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{E} f := \lim_i \int_{E_i} f }[/math]
Localment integrable Riemann (v. 2): [math]\displaystyle{ \forall x \in U \; \exists E(x) : \begin{cases} E(x) \text{ mesurable Jordan} \\ f|_{E(x)} \text{ integrable Riemann} \end{cases} }[/math]
Integrals de línia i de superfície
Longitud de corba
Camí/corba parametritzada: aplicació contínua [math]\displaystyle{ \gamma: I \longrightarrow \mathbb{R}^n }[/math] en un interval no degenerat
Partició: [math]\displaystyle{ P = \{t_0, \ldots, t_N\} }[/math] partició de [math]\displaystyle{ I = [a, b] }[/math]. Defineix una línia poligonal tq [math]\displaystyle{ \displaystyle L(\gamma, P) = \sum_{i = 1}^N || \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) || }[/math]
Longitud: [math]\displaystyle{ \displaystyle L(\gamma) = \sup_P L(\gamma, P) \in [0, +\infty] }[/math]
Camí rectificable: si [math]\displaystyle{ L(\gamma) \lt +\infty }[/math]
Monotonia i continuitat de la longitud: [math]\displaystyle{ l: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R} : \begin{cases} l(a) = 0 \\ l(t) = L(\gamma|_{[a, t]}) \, a \lt t \leq b \end{cases} }[/math] és creixent i contínua.
Sigui [math]\displaystyle{ \begin{cases} \sigma: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^n \text{ camí} \\ \varphi: [c, d] \longrightarrow [a, b] \text{ homeomorfisme} \\ \tau = \sigma \circ \varphi: [c, d] \longrightarrow \mathbb{R}^n \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sigma, \tau }[/math] són camins equivalents. [math]\displaystyle{ \varphi \text{ creixent} \implies }[/math] mateixa orientació (si no, orientació oposada).
[math]\displaystyle{ \sigma \circ \tau }[/math] és el camí reparametritzat de [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] per la reparametrització [math]\displaystyle{ \varphi }[/math].
Longitud: [math]\displaystyle{ \displaystyle L(\gamma) = \int_a^b ||\gamma'|| = \int_a^b ||\gamma'(t)|| \; dt }[/math]
Integral de línia de funcions escalars
Integral de línia de [math]\displaystyle{ f }[/math] al llarg de [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]: [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_\sigma f \; dl := \int_I f(\sigma(s)) \; ||\sigma'(s)|| \; ds }[/math]
Integral de línia de camps vectorials
Integral de línia o circulació de [math]\displaystyle{ \vec{f} }[/math] al llarg de [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]: [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_\sigma \vec{f} \cdot d\vec{l} := \int_I \vec{f}(\sigma(s)) \cdot \vec{\sigma}'(s) \; ds }[/math]
Integral de superfície de funcions escalars
Superfície parametritzada: [math]\displaystyle{ \sigma: U \longrightarrow \mathbb{R}^2 \, \mathcal{C}^1 }[/math]
Vectors tangents: [math]\displaystyle{ \vec{T_i}: U \longrightarrow \mathbb{R}^n }[/math]; [math]\displaystyle{ \begin{cases} \vec{T_1} = D_1\sigma \\ \vec{T_2} = D_2\sigma \end{cases} }[/math]; [math]\displaystyle{ J\sigma = (\vec{T_1}, \vec{T_2}) }[/math]
Parametrització regular: [math]\displaystyle{ D\sigma }[/math] té rang màxim sempre.
Integral de superfície: [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_M f \; dS := \int_\sigma f \; dS := \int_U f(\sigma(s)) \sqrt{g(u)} \; du_1 du_2 }[/math], [math]\displaystyle{ g(u) = \det \begin{bmatrix} \vec{T_1}\cdot\vec{T_1} & \vec{T_1}\cdot\vec{T_2} \\ \vec{T_2}\cdot\vec{T_1} & \vec{T_2}\cdot\vec{T_2} \end{bmatrix} }[/math]
Equivalentment, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_M f \; dS = \int_\sigma f(\sigma(u)) \; ||T_1 \times T_2|| \; du_1 du_2 }[/math]
Integrals de superfície de camps vectorials a [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]
Integral de superfície o flux de [math]\displaystyle{ \vec{f} }[/math] sobre [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]: [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_\sigma \vec{f} \cdot d\vec{S} := \int_U \vec{f}(\sigma(u)) \cdot (\vec{T_1}(u) \times \vec{T_2}(u)) \; du_1 du_2 }[/math]
Sigui [math]\displaystyle{ \begin{cases} \varphi: U \longrightarrow \tilde{U} \text{ difeomorfisme entre oberts connexos de } \mathbb{R}^2 \\ \sigma: U \longrightarrow \mathbb{R}^3 \text{ una superfície parametritzada} \\ \tilde{\sigma} = \sigma \circ \varphi^{-1}: \tilde{U} \longrightarrow \mathbb{R}^3 \text{ la reparametritzada de } \sigma \text{ per } \varphi \end{cases} }[/math]
Aleshores, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_\tilde{\sigma} \vec{f} \cdot d\vec{S} = \pm \int_\sigma \vec{f} \cdot d\vec{S} }[/math], on el signe és el de [math]\displaystyle{ J\varphi }[/math]
