Bloc 3 astrofísica

TODO: Canviar el nom de la pàgina pel nom del bloc.

Processos nuclears estel·lars

Conceptes bàsics

Si sabem que un estel està en equilibri tèrmic, necessita una font d'energia interna per mantenir la lluminositat a la seva superfície.

• Aquesta energia ve proporcionada per les reaccions nuclears al centre dels estels.
  • És un la T i la densitat són més elevades.

• En estels "normals" no degenerats: reactor nuclear molt estable.
  • Ritme de producció nuclear s'adapta: produeix exactament el que ve radiat a la superfície.
  • Determina quan de temps l'estel podrà sostindre aquesta lluminositat.
• Per estels degenerats: reaccions nuclears són inestables i poden donar lloc a "flaixos" (es crema sobtadament molt) i fins i tot explosions.

• Una altra conseqüència: canvi en la composició del gas que el forma. Els estels produeixen tots els elements presents a l'Univers més pesats que l'Heli (a través de la nucleosíntesi estel·lar).

Considerem una reacció en la qual un nucli $X$ reacciona amb una partícula $a$ i produeix com a resultat un nucli $Y$ i una partícula b. $$X + a \rightarrow Y + b, \text{ o bé } X(a, b) Y$$

• En general la partícula $a$ serà un altre nucli
• En general, $b$ pot ser un nucli, o un fotó, o qualsevol altre tipus de partícula.

Algunes reaccions produeixen més d'una partícula (e.g. interaccions dèbils: produeixen electrons i anti-neutrins).

Un nucli es caracteritza pel seu nombre atòmic $Z_i$ i el seu nombre màssic $A_i$ (nombre total de nucleons: protons + neutrons).

Aquests nombres s'han de conservar: $$Z_X + Z_a = Z_y + Z_b, \quad A_x + A_a = A_Y + A_b.$$

Com a convenció, si les partícules $a$ i $b$ no són partícules nuclears, $A_i = 0$.

En reaccions nuclears on intervingui la força nuclear dèbil, també s'ha de mantindre el nombre leptònic (+1 pels leptons, i -1 pelsanti-leptons; es divideix en nombre electrònic $L_e$, nombre muònic $L_\mu$ i nombre tautònic $L_r$, que han de considerar-se separadament).

Producció d'energia nuclear

La massa-energia dels nuclis atòmics no correspon exactament a la suma de les masses dels seus nucleons! Perquè aquests estan lligats mitjançant la força nuclear forta.

Sigui $m_i$ la massa del nucli $i$. Llavors l'energia de lligam $E_B$ del nucli és: $$E_B = [(A_i - Z_i) m_n + Z_i m_p - m_i] c^2,$$ on $m_n, m_p$ són les masses d'un neutró i protò respectivament.

Tot i que $\sum A_i$ es conserva, la suma de les masses no.

TODO: Completar

---

L'energia alliberada per una reacció del tipus $X (a, b) Y$ és per tant: $$Q = (m_X + m_a - m_Y - m_b) c^2.$$

• $Q < 0$: reacció nuclear absorbeix energia (reacció endotèrmica)
• $Q > 0$: reacció exotèrmica

Deficit de massa: $$\Delta M_i = (m_i - A_i m_u) c^2,$$ on $m_u$ és l'unitat de massa atòmica (1/? d'un àtom de carboni-?).

TODO: Completar

Com $A_i$ es conserva: $$Q = \Delta M_X + \Delta M_a - \Delta M_Y - \Delta M_b$$

Les energies de lligam $E_B$ així com l'energia alliberada $Q$ s'expressen en MeV.

Per comparar diferents nuclis, s'usa l'energia de lligam per nucleó $E_B/A$, que ens dona més informació que no pas l'energia de lligam $E_B$.

TODO: inserir diagrama Beamer

• Excepte els elements més lleugers, els valors típics de $E_B/A$ són dels 8 MeV.
  • Perquè la força nuclear forta té n radi d'acció molt curt. Per tant $E_B/A$ satura en incrementar $A$.
• Existeix però un lleuger increment de $E_B/A$ en funció de $A$ fins arribar a l'àtom de ferro Fe-56 amb $E_B/A = 8.79 \text{MeV}$.
• Decau a partir del ferro perquè els nucleons estan carregats i experiencien una repulsió deguda a la força de Coulomb, que té un radi d'acció més llunyà i no se satura en créixer $A$.
• Els pics al diagrama són deguts a l'estructura en capes del nucli, amb efectes d'apantallament i d'aparellament intrínsecs a cada nucli.

• Els nuclis més lligats són els propers al Ferro 56.
• L'energia per tant es pot aconseguir de 2 maneres:
  • Fusió nuclear d'elements lleugers més pesats mentre $E_B/A$ s'incrementi.
    • A partir del ferro, les reaccions de fusió són endotèrmiques. No es dona a la Natura.
  • Però per elements pesats, es pot allibrerar energia mitjançant fissió nuclear, que trenca elements pesats donant-ne més lleugers.
• Per tant el ferro marca el límit de les reaccions nuclears estel·lars.
  • S'han de donar condicions molt extremes per poder generar elements més enllà del ferro.
• Així doncs, s'aconsegueix una energia de 8.8 MeV per nucleó (dels quals 7.0 MeV s'aconsegueixen ja de H --> He).

Ritme de reaccions nuclears estel·lars

Donada la reacció nuclear $X(a, b)Y$. Suposem que les partícules $X$ són bombardejades per partícules $a$ que es mouen a velocitats $v$. El ritme amb què es donarà la reacció vindrà donada per la secció eficaç $\sigma$ de la mateixa: l'àrea efectiva de $X$ per interactuar amb $a$: $$\sigma = \frac{\text{nombre de reaccions termonuclears per segon}}{\text{flux de partícules incident a}}.$$ $\sigma$ té unitats de cm².

Ara identificarem "X" amb l'índex "i", i "a" amb l'índex "j". El flux incident de partícules a és llavors $n_j v$. El nombre de reaccions de la partícula $X$ llavors és $n_j v \sigma$. Per tant el nombre de reaccions per segon per unitat de volum vindrà donada per: $$\bar{r_{ij}} = n_i n_j v \sigma,$$ on "r" ve de rate.

Aquesta expressió és vàlida si "X" i "a" són diferents. Si són iguals, el nombre possible de parelles és $\frac{1}{2} n_i (n_i - 1) \approx \frac{1}{2} n_i^2$. Podem escriure per tant, en el cas més general: $$\bar{r_{ij}} = \frac{1}{1 + \delta_{ij}} n_i n_j v \sigma.$$

En general $\sigma = \sigma(v)$. Per al gas dins de l'estel, la distribució de velocitats $\psi(v)$ està normalitzada: $\int_0^\infty \psi(v) \, dv = 1$. El ritme de reaccions nuclears sea llavors: $$\bar{r_{ij}} = \frac{1}{\delta_{ij} + 1} n_i n_j \int_0^\infty \psi(v) \sigma(v) v dv = \frac{1}{1 + \delta_{ij}} n_i n_j \langle \sigma v \rangle.$$

Per un gas en LTE aquesta distribució ve donada per la distribució de Maxwell-Boltzmann.

TODO: Copiar expressió del Beamer.

Podem substituir la velocitat relativa $v$ per l'energia cinètica en el sistema de referència del centre de masses, $E = (1/2)mv$, i utilitzant $\psi(v) dv = \psi(E) dE$ obtenim: $$\langle \sigma v \rangle = \left( \frac{8}{\pi m} \right)^{1/2} ...$$

TODO: Completar

El ritme de les reaccions depèn doncs de la temperatura $T$ a través de l'expressió per $\langle \sigma v \rangle$ donada per l'anterior equació.

Seccions eficaces nuclears

$\sigma$ ens dona la mesura de la probabilitat que es doni una certa reacció nuclear donades les densitats dels nuclis reactius que hi participen.

El guany d'energia es pot calcular amb el deficit de massa, però determinar la secció eficaç és més complicat.

A la física clàssica, la secció eficaç és simplement una àrea geomètrica. Per una reacció entre els nuclis i i j amb radis $R_i, R_j$ ve donada per $\sigma = \pi(R_i + R_j)^2$. Una bona aproximació pel radi és el rang d'acció de la força nuclear forta: $$R_i = R_0 A_i^{1/3}, \quad R_0 = 1.44 \times 10^{-13} \text{ cm}.$$

Això donaria seccions eficaces de l'ordre de $[10^{-25}, 10^{-24}] \text{ cm}^2$.

Desde el punt de vista de la mecànica quàntica: cada partícula té associada una longitud d'ona de De Broglie i cadascuna es veu a l'altra en aquest rang: $$\lambda = \frac{\hbar}{p} = \frac{\hbar}{(2 m E)^{1/2}},$$ on $m, E$ són massa i energia cinètica reduïdes que ja hem definit. Suposem que no estem en el cas relativista (??? comprovar Beamer)

En aquest cas $\sigma = \pi \lambda^2$. És més gran que l'aproximació clàssica.

En realitat, no és tan fàcil: hi ha una sèrie d'efectes que s'han de tenir presents a l'hora d'establir la secció eficaç per les reaccions nuclears dins de l'estel:

• Nuclis carregats experiencien força de Coulomb repulsiva. És més dèbil que la força nuclear forta, però el seu rang d'acció és més llarg.
  • Aquesta barrera de potencial impossibilitaria qualsevol reacció nuclear. Però existeix l'efecte túnel de la mecànica quàntica que ens ve a salvar.
  • La natura de la força involucrada en la reacció nuclear determina el tipus d'interacció que tindrà lloc. La partícula que s'emet pot ser un altre nucli, un fotó gamma, un parell electró-antineutrí o positó-neutrí.
    • Si és un altre nucli, només hi està involucrada la FNF. Es pot prendre la secció eficaç quàntica geomètrica.
    • Fotons gamma: força electromagnètica: implica secció eficaç més petita.
    • Parelles anteriors: força nuclear dèbil: secció eficaç encara més baixa.

La barrera de Coulomb i l'efecte túnel

A distàncies $r$ majors que l'acció de la força nuclear forta: dos nuclis amb càrregues $Z_i, Z_j$ experimenten un potencial: $$V(r) = \frac{Z_i Z_j e^2}{r} = 1.44 \frac{Z_i Z_j}{r/10^{13} \text{cm}} \text{MeV}.$$

Per tal de sentir l'atracció donada per la força nuclear forta, les partícules s'han d'aproximar a $r_n \sim A^{1/3} R_0$.

Per tant han de superar la barrera de Coulomb: $E_C = V(r_n) \approx Z_1 Z_2 \text{MeV}$. Si superen, el potencial cau $V_0 \approx -30 \text{ MeV}$.

TODO: Inserir gràfic de la barrera de Coulomb.

Data: 13 d'octubre de 2021

TODO: Completar tot el que falta pel mig

Efectes de l'estructura nuclear en la secció eficaç

Quan s'ha atravessat la barrera Coulombiana, els dos nuclis poden formar el que s'anomena com a nucli compost, molt inestable, i que decau al cap d'un temps relativament curt en els productes finals: $$X + a \rightarrow C^* \rightarrow Y + b$$

L'energia involucrada determina la natura dels productes resultants:

• $C^* \rightarrow X + a$: ens quedem amb les partícules originals.
• $C^* \rightarrow C + \gamma$: es tracta d'un decaïment a un nivell energètic estable de $C$ amb l'emissió d'un fotó gamma $\gamma$. (mateixos productes i fotó)
• $C^* \rightarrow Y_1 + b_1, \rightarrow Y_2 + b_2, \ldots$, on les partícules $b_1, b_2, \ldots$ poden ser protons, neutrons o partícules alfa (nuclis d'He, 2p + 2n).

NOTA: les reaccions que involucren electrons i neutrins no compten amb un estat intermedi $C^*$, ja que els decaïments-beta (e.g. $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}$ o $p \rightarrow n + e^+ + \nu$) són massa lents per procedir d'aquesta manera.

El decaïment de $C^*$ ha de conservar tant l'energia com el moment i el moment angular, així com les simetries nuclears.

Aquest excés d'energia pot escapar-se en forma de fotó (2n cas anterior) o en energia cinètica de les partícules resultants, que ràpidament termalitza les partícules del seu entorn (excepció: neutrins, escapen sense interactuar).

Els nivells energètics de $C^*$ juguen un paper fonamental en determinar la secció eficaç de la reacció.

$E_{min}$: energia mín. per extreure un nucleó de l'estat energètic més baix del compost $C^*$ fins a l'infinit. Per sota de $E_{min}$ els estats de l'àtom són lligats. Només decauen a través del decaïment-gamma (on s'emet un fotó en el rang $\gamma$+ altres ...)

TODO: Completar

Per $E > E_{min}$ també es poden emetre partícules, per canals que tenen una probabilitat més gran que el decaïment-$\gamma$. Aquests nivells són per tant "quasi-estacionaris", amb temps de vida finits marcats per un eventual escapament en travessar la barrera Coulombiana per l'efecte túnel.

La probabilitat d'escapament s'incrementa per energies corresponentment més altes, fins que l'amplada $\Gamma$ d'aquests nivells esdevé més gran que la diferència d'energia entre nivells, resultant en un continu de nivells energètics per sobre una certa energia llindar.

La presència de nivells energètics discrets per sobre de $E = E_{min}$ dona lloc al que s'anomenen ressonàncies nuclears, que comporten una...

TODO: Completar

El "factor astrofísic" de la secció eficaç

Per energies $E \approx E_{res}$ la secció eficaç depèn de $E$ com: $$\xi(E) \propto \frac{1}{(E - E_{res})^2 + (\Gamma/2)^2}.$$

Per $E = E_{res}$, $\sigma(E)$ és propera a la geomètrica, $\sigma \approx \pi \lambda^2$, amb $\lambda = \lambda_{\text{de Broglie}}$, i podem posar doncs: $$\sigma(E) \propto \pi \lambda^2 P(E) \xi(E).$$

Si prenem ara $\lambda \propto 1/E$, $P(e) \propto \exp(-b E^{-1/2})$, podem expressar la secció eficaç mitjançant l'anomenat factor astrofísic $S(E)$: $$\sigma(e) = S(E) \frac{\exp(-b E^{-1/2})}{E}.$$

El factor astrofísic té en compte tots els factors intrínsecs de l'estructura nuclear i també dels derivats de les possibles ressonàncies a les energies rellevants.

$S(E)$ es determina amb mesures fetes al laboratori per a les seccions eficaces. La dificultat en les mesures rau en el fet que són només factibles per energies relativament grans ($E > 0.1 \text{ MeV}$). Per sota d'aquestes energies, $\sigma(E)$ esdevé massa petita per mesurar-la experimentalment.

Aquesta energia mínima és aprox. un ordre de magnitud més gran que les energies típiques en les quals es donen les reaccions nuclears als estels. Per tant, $S(E)$ s'ha d'extrapolar a les energies rellevants.

A vegades les interpolacions són precises, i a vegades no. Depèn. (TODO: de què depèn?)

Dependència de $T$ del ritme de les reaccions nuclears

De seccions anteriors: $$\langle \sigma v \rangle = (8/\pi m)^{1/2} (kT)^{-3/2} \int_0^\infty S(E) \exp\left( - \frac{E}{kT} \frac{b}{E^{1/2}} \right) dE.$$

TODO: Completar

La funció $f(E)$ mostra un màxim anomenat el pic de Gamow a $E = E_0$, mentre que $f(E)$ decau fortament lluny del pic.

TODO: Insertar diagrama.

Comentari del diagrama: El pic de Gamow com la seva amplada té una dependència amb la temperatura brutal. També dependència brutal amb la càrrega del nucli.

Com que s'assumeix que $S(E)$ és aprox. constant, podem escriure l'eq. prenent $S(E) \approx S(E_0)$, quedant per tant:

$$\langle \sigma v \rangle = (8/\pi m)^{1/2} (kT)^{-3/2} S(E_0) \int_0^\infty f(E) dE.$$

Prenent el màxim: $$E_0 = \left( \frac{1}{2} b k T \right)^{2/3} = 5.665(Z_i^2 Z_j^2 A T_7^2)^{1/3},$$ on $T_7 := T/10^7 \text{K}$.

TODO: Completar amb el Beamer

La dependència en la càrrega i nombre màssic: $b \propto Z_1 Z_2 A^{1/2}$. Per la mateixa temperatura, reaccions amb nuclis pesats (A, Z grans): ...

TODO: Completar un munt de diapositives.

Les reaccions termonuclears representen un dels processos en Física experimental on més fortament varien en funció de les variables que els governen, en aquest cas la temperatura $T$. Hi ha reaccions termonuclears que poden arribar a dependre de $T^{40}$.

Apantallament electrònic

Efecte que ens ajuda una miqueta. El fet de tenir electrons al voltant dels nuclis ens fa la barrera de Coulomb una miqueta més baixa: apantallament electrònic.

Derivació una miqueta difícil (veure Kippenhahn, secció 18.4). En l'aproximació...

TODO: Completar :(((

A cert punt, per $\rho \gsim 10^6 \text{ g cm}^{-3}$ (densitat de degeneració dels electrons) l'efecte d'apantallament és tant important que esdevé el factor dominant en $\langle \sigma v \rangle$.

En aquesta situació les reaccions nuclears poden donar-se inclús en temperatures baixes (pycnonuclear reactions) i poden tenir un rol decisiu en els estadis finals de l'evolució estel·lar.

Sota aquestes condicions d'altes densitats i baixes T, però , s'ha de tenir en compte també altres efectes com la cristal·lització. (TODO: Completar aquest paràgraf)