Tema 2. Gravetat d'Einstein
Data: divendres 5 de novembre de 2021
Fet a paper.
Data: dilluns 8 de novembre de 2021
Transformació de Lorentz (paràmetre [math]\displaystyle{ v }[/math]):
$$\begin{cases} t' = \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right), \\ x' = \gamma (x - vt), \\ y' = y, \\ z' = z. \end{cases}$$
Les velocitats es composen com: $$u' = \frac{dx'}{dt'} = \frac{\cancel{\gamma} (dx - v \, dt)}{\cancel{\gamma} (dt - v \, dx/c^2)} = \frac{dx/dt - v}{1 - (v/c^2) dx/dt} = \frac{u - v}{1 - uv/c^2}$$
$$u = \frac{dx}{dt} = \frac{\cancel{\gamma} (dx' + v \, dt')}{\cancel{\gamma} (dt' + v \, dx'/c^2)} = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2}$$
Observem que si $u, v \ll c$, aleshores recuperem el comportament galileà $u' \approx u - v$.
Un parell d'experiments
Dilatació temporal
Suposem que tenim dos vaixells. Un aturat al port i un altre que ens passarà per davant. Es decideix que cada capità va a mesurar el temps posant un mirall al terra i un altre al màstil fent rebotar un raig de llum de dalt a baix.
Cadascú veu el mateix al seu sistema.
@TODO: Inserir diagrama Google Drawings
Si $L = 1$, aleshores $d = \sqrt{2}$, i el temps en què el llum va cap a dalt i torna vist des de terra és $t = \sqrt{2}$ per mantindre la velocitat del raig constant, mentre que al vaixell es veu que triga $t = 1$.
Formació de muons a l'atmosfera
Muó: massa 3 ordres de magnitud més màssica que l'electró (és a dir, que pot decaure - transformar-se en partícules més lleugeres). Sabem que al voltant de 10.000 muons arriben a la superfície de la terra per metre quadrat en un cert interval de temps. Els muons es creen pels raigs còsmics que colisionen per sobre dels 10 km i creen aquestes partícules.
El temps de vida d'aquests muons en un laboratori és de 2.2 microsegons. Si es fan els càlculs, 10 km corresponen a 22 vegades la distància típica dels muons.
Muons: es mouen a prop de la velocitat de la llum. Per tant, el temps mig dels muons es dilata (desde el nostre punt de vista el muó que es mou a alta velocitat té un temps mig més alt al nostre sistema de referència que un muó que es queda quiet).
- SR del muó: $L = \frac{L_0}{\gamma}$, on $L_0$ és l'alçada de l'atmosfera en el SR de l'atmosfera.
- SR de l'atmosfera: $\tau = \tau_0 \cdot \gamma$.
$$v \approx c = \frac{L_0}{\tau} = \frac{L \gamma}{\tau_0 \gamma} = \frac{L}{\tau_0}$$
Anem a parlar de distàncies
Espai de la relativitat especial: espai de Minkowski.
- Cas cartesià:
- Element de línia: $ds^2 = dr^2 = \delta_{ij} dx^i dx^j = dx^2 + dy^2 + dz^2$
$$[g_{ij}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
- Cas ortogonal:
$$[g_{ij}] = \begin{pmatrix} h_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & h_2^2 & 0 \\ 0 & 0 & h_3^3 \end{pmatrix},$$ on $h_i = \left| \partial_{x^i} \vec{r} \right| \quad \forall i \in \{ 1, 2, 3 \}$ (factors d'escala).
L'espai de Minkowski és "pla".
Relativitat general: a cada punt de l'espai que no sigui una singularitat li assigna un espai tangent de Minkowski.
En el cas de la mètrica de Minkowski, se li assigna la lletra $\eta$.
$$ds^2 = \eta_{\mu \nu} dX^\mu dX^\nu, \qquad \vec{X} =: \text{4-vector de posició}$$
$$\eta(\vec{v}, \vec{w}) \equiv \vec{v} \cdot \vec{w}$$
$$\eta_{\mu \nu} := \eta(e_\mu, e_\nu) = \pm \text{diag}(\overbrace{-1, +1, +1, +1}^{\scriptstyle \text{signatura}})$$
$$X^\mu = (ct, x^i) = (x^0, x^i)$$
A cosmologia, la signatura de la mètrica de Minkowski és $(+ \, - \, - \, -)$ (a matemàtiques es veu que normalment agafem els signes oposats).
Fixem-nos que $ds^2 = (c \, dt)^2 - (d\vec{r})^2$. Tenim diversos casos:
- $ds^2 > 0$: time-like,
- $ds^2 = 0$: light-like,
- $ds^2 < 0$: space-like.
