Tema 2. Gravetat d'Einstein

Data: divendres 5 de novembre de 2021

Fet a paper.

Data: dilluns 8 de novembre de 2021

Transformació de Lorentz (paràmetre [math]\displaystyle{ v }[/math]):

$$\begin{cases} t' = \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right), \\ x' = \gamma (x - vt), \\ y' = y, \\ z' = z. \end{cases}$$

Les velocitats es composen com: $$u' = \frac{dx'}{dt'} = \frac{\cancel{\gamma} (dx - v \, dt)}{\cancel{\gamma} (dt - v \, dx/c^2)} = \frac{dx/dt - v}{1 - (v/c^2) dx/dt} = \frac{u - v}{1 - uv/c^2}$$

$$u = \frac{dx}{dt} = \frac{\cancel{\gamma} (dx' + v \, dt')}{\cancel{\gamma} (dt' + v \, dx'/c^2)} = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2}$$

Observem que si $u, v \ll c$, aleshores recuperem el comportament galileà $u' \approx u - v$.

Un parell d'experiments

Dilatació temporal

Suposem que tenim dos vaixells. Un aturat al port i un altre que ens passarà per davant. Es decideix que cada capità va a mesurar el temps posant un mirall al terra i un altre al màstil fent rebotar un raig de llum de dalt a baix.

Cadascú veu el mateix al seu sistema.

@TODO: Inserir diagrama Google Drawings

Si $L = 1$, aleshores $d = \sqrt{2}$, i el temps en què el llum va cap a dalt i torna vist des de terra és $t = \sqrt{2}$ per mantindre la velocitat del raig constant, mentre que al vaixell es veu que triga $t = 1$.

Formació de muons a l'atmosfera

Muó: massa 3 ordres de magnitud més màssica que l'electró (és a dir, que pot decaure - transformar-se en partícules més lleugeres). Sabem que al voltant de 10.000 muons arriben a la superfície de la terra per metre quadrat en un cert interval de temps. Els muons es creen pels raigs còsmics que colisionen per sobre dels 10 km i creen aquestes partícules.

El temps de vida d'aquests muons en un laboratori és de 2.2 microsegons. Si es fan els càlculs, 10 km corresponen a 22 vegades la distància típica dels muons.

Muons: es mouen a prop de la velocitat de la llum. Per tant, el temps mig dels muons es dilata (desde el nostre punt de vista el muó que es mou a alta velocitat té un temps mig més alt al nostre sistema de referència que un muó que es queda quiet).

• SR del muó: $L = \frac{L_0}{\gamma}$, on $L_0$ és l'alçada de l'atmosfera en el SR de l'atmosfera.
• SR de l'atmosfera: $\tau = \tau_0 \cdot \gamma$.

$$v \approx c = \frac{L_0}{\tau} = \frac{L \gamma}{\tau_0 \gamma} = \frac{L}{\tau_0}$$

Anem a parlar de distàncies

Espai de la relativitat especial: espai de Minkowski.

• Cas cartesià:
  • Element de línia: $ds^2 = dr^2 = \delta_{ij} dx^i dx^j = dx^2 + dy^2 + dz^2$

$$[g_{ij}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

• Cas ortogonal:

$$[g_{ij}] = \begin{pmatrix} h_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & h_2^2 & 0 \\ 0 & 0 & h_3^3 \end{pmatrix},$$ on $h_i = \left| \partial_{x^i} \vec{r} \right| \quad \forall i \in \{ 1, 2, 3 \}$ (factors d'escala).

L'espai de Minkowski és "pla".

Relativitat general: a cada punt de l'espai que no sigui una singularitat li assigna un espai tangent de Minkowski.

En el cas de la mètrica de Minkowski, se li assigna la lletra $\eta$.

$$ds^2 = \eta_{\mu \nu} dX^\mu dX^\nu, \qquad \vec{X} =: \text{4-vector de posició}$$

$$\eta(\vec{v}, \vec{w}) \equiv \vec{v} \cdot \vec{w}$$

$$\eta_{\mu \nu} := \eta(e_\mu, e_\nu) = \pm \text{diag}(\overbrace{-1, +1, +1, +1}^{\scriptstyle \text{signatura}})$$

$$X^\mu = (ct, x^i) = (x^0, x^i)$$

A cosmologia, la signatura de la mètrica de Minkowski és $(+ \, - \, - \, -)$ (a matemàtiques es veu que normalment agafem els signes oposats).

Fixem-nos que $ds^2 = (c \, dt)^2 - (d\vec{r})^2$. Tenim diversos casos:

• $ds^2 > 0$: time-like,
• $ds^2 = 0$: light-like,
• $ds^2 < 0$: space-like.

Data: dimecres 10 de novembre

Recordem: $$\eta(\vec{v}, \vec{w}) = \vec{v} \cdot \vec{w} = \eta_{\mu \nu} V^\mu W^\nu = v^0 w^0 - v^1 w^1 - v^2 w^2 - v^3 w^3.$$

$$||\vec{v}|| = \sqrt{|\eta(\vec{v}, \vec{v})|}$$

Derivada covariant

$$\nabla_\alpha V^\gamma := \partial_\alpha V^\gamma + \Gamma_{\alpha \beta}^\gamma V^\beta,$$ on $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ són els símbols de Christoffel.

Geodèsica

Una geodèsica és una corba de distància extremal entre dos punts (normalment és la més curta).

Equació de les geodèsiques: $$\frac{d^2 x^\lambda}{dt^2} + \gamma_{\mu \nu}^\lambda \frac{dx^\mu}{dt} \frac{dx^\nu}{dt} = 0.$$

Element de línia

$$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2 dt^2 - d\vec{r} \cdot d\vec{r},$$ on $d\vec{r} = (x, y, z)$.

En el sistema de referència propi, $d\vec{r} = 0 \, \forall t$, així que $ds^2 = c^2 dt^2$. $\tau^2 = ds^2 / c^2$ és el temps propi al quadrat. Per tant, veiem que el temps propi és el mateix que el temps coordenat en aquest cas.

Per als fotons: $c dt = dr$ i per tant $ds^2 = 0$, així que $d \tau = ds / c = 0$.

Per derivar, hem de derivar respecte un cert temps. I l'únic temps que és universal és el temps propi, així que derivarem respecte aquest per mantenir el caràcter de "vectors".

---

$$\left( \frac{c d\tau}{c dt} \right)^2 = 1 - \left( \frac{d \vec{r}}{c dt} \cdot \frac{d\vec{r}}{c dt} \right) = 1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{c^2},$$ amb $\vec{u} := \frac{d\vec{r}}{dt}$ la 3-velocitat d'un objecte en el S.R. $S$.

Per tant: $$\left( \frac{c d\tau}{c dt} \right)^2 = \frac{1}{\gamma^2(\vec{u})},$$ amb $\gamma(\vec{u}) = \frac{1}{1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{u}}{c^2}}$.

Recordem: $dt = \gamma(\vec{u}) d\tau$.

Quadrivectors bàsics de la relativitat especial

La quadriposició (4-posició) és: $$\vec{X} := (ct, \vec{r}).$$

En forma diferencial: $$(c d\tau)^2 = ||\vec{X}||^2 = (c dt)^2 - d\vec{r} \cdot d\vec{r}.$$

La 4-velocitat és: $$\vec{U} := \frac{d \vec{X}}{d\tau} = \frac{d \vec{X}}{dt} \underbrace{\frac{dt}{d\tau}}_{\gamma(\vec{u})} = \gamma(\vec{u}) (c, \vec{u}).$$

Diem que $\gamma \vec{u}$ és la velocitat pròpia del SRI que es mou amb velocitat $\vec{u}$, ja que és igual a $d\vec{x}/d\tau$.

La seva norma és: $$||\vec{U}||^2 = \gamma(\vec{u})^2 (c^2 - \vec{u} \cdot \vec{u}) = c^2 \implies || \vec{U} || = c.$$

La massa inercial és: $$m(\vec{u}) := \gamma(\vec{u}) \cdot m_0, \quad \forall m_0 > 0$$ on $m_0$ és la massa en repós.

En el cas dels fotons, la seva massa en repòs és $m_0 = 0$, i es pot definir la seva massa inercial.

El 4-moment és: $$\vec{P} = m_0 \vec{U} = m_0 \gamma(\vec{u}) (c, \vec{u}) = (mc, m\vec{u}) = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right),$$ on $\vec{p}$ és el 3-moment relativista ($\vec{p} = \gamma m_0 \vec{u} = m \vec{u}$).

La 4-força és: $$\vec{F} = \frac{d \vec{P}}{d \tau} = \gamma(\vec{u}) \left( \frac{1}{c} \frac{dE}{dt}, \frac{d \vec{p}}{dt} \right) = \gamma(\vec{u}) \left( \frac{\vec{f} \cdot \vec{u}}{c}, \vec{f} \right),$$ on $\vec{f} := \frac{d\vec{p}}{dt}$ és la 3-força.

Efecte de localitat: les forces actuen de força local, i necessiten un cert temps per propagar els seus efectes. Principi rebutjat per la mecànica quàntica, però bàsica a la relativitat. Per això no acaben d'encaixar les 2 teories.

Data: dijous 11 de novembre de 2021

Treballant amb la 4-velocitat, tenim: $$\gamma c = \frac{d (ct)}{d \tau}.$$

Diagrames d'espai-temps

Diagrama espai temps on es mostra el con de llum, amb el passat, el present i el futur.

Els diagrames de l'espai-temps també s'anomenen diagrames de Minkowski.

"If U is the unit length on the axes of ct and x, then the unit length on the axes of ct' and x' is:" $$U' = U \sqrt{\frac{1 + \beta^2}{1 - \beta^2}}$$

Hipèrboles del diagrama espai-temps: mateix temps propi (però fixem-nos que el temps coordenat —en el SRI S— és diferent).

@TODO: Inserir diagrama de temps 2

Com comparem vectors ens espais corbats?

• En espais corbats no podem simplement afegir o restar vectors ubicats en 2 punts diferents perquè els vectors de la base varien de punt a punt en l'espai.
• Per comparar 2 vectors en punts diferents hem de fer el transport paral·lel d'un vector a l'altre.
• En l'espai euclidià quan un vector es transporta paral·lelament al llarg d'una corba, tant les seves components $v^\alpha$ com els vectors de la base $e_\alpha$ queden inalterats.

• En un espai corbat usarem la mateixa idea que d'espais euclidians i les traslladarem als espais corbats. En aquest cas hem de tenir en compte la variació de la base de punt a punt i, per tant, hem d'usar la derivada covariant.
• Transport paral·lel: manera de transportar dades geomètriques per corbes suaus a una varietat. Si la varietat té una connexió afí (una derivada covariant) això permet transportar ...

@TODO: Completar. O no. Són coses matemàtiques que probablement no usarem :)

En un transport paral·lel el transport és depenent del camí (ex: a una esfera és evident).

• Conseqüència de la impossibilitat de definir direccions: en un espai corbat no podem establir vectors posició entre 2 esdeveniments (punts de l'espai), a diferència de l'espai euclidià o l'espai de Minkowski.
• Tampoc fa sentit mesurar distàncies entre dos punts com el mòdul del vector posició entre ambdós. Tampoc es pot derivar temporalment el vector de posició.
• Si l'espai és corbat ni tan sols podem utilitzar la longitud de la geodèsica que uneix els dos punts per definir distàncies.
  • La distància a una galàxia és de 1 milió anys-llum: estem establint una relació física/distància entre 2 esdeveniments (llum surt de la galàxia, llum arriba aquí). La llum descriu una geodèsica nul·la.
• Per evitar aquestes contradiccions: haurem de traslladar al llenguatge de la geometria diferencial els principis (clàssics) utilitzats per calcular les magnituds físiques, per poder fer física en un espai-temps corbat (i.e. en una mètrica general Riemanniana).
  • En el cas de les distàncies un principi serà comparar brillantors absolutes amb aparents. Veurem (tema 3) que diferents principis porten a resultats diferents (això no passa clàssicament, on la definició de distància és única). Definirem distàncies de lluminositats i distàncies angulars (definides amb la relació entre radi aparent, i l'angle que sosté l'objecte).

Data: dilluns 15 de novembre de 2021

• Llum: sospitaven que no tenia massa. Però està afectada per la gravetat! I les eqs. de Newton diuen que la gravetat té efecte només quan hi ha massa.
• Relativitat general parteix d'un principi (o idea): el camp gravitatori ve donada per la distribució de massa, però qualsevol partícula, independentment de la massa, es veu afectada.
• Massa gravitatòria i massa inercial no tenen per què ser el mateix. Però experimentalment s'ha vist que fins a certa precisió sí, i aquest és el 3r principi en què es basa la relativitat general.

• Einstein: cada punt de l'espai té una curvatura que està associada a la densitat d'energia.
• Forces en relativitat general: qualsevol altra força que no sigui gravetat (ja que aquesta ja està contemplada dins de la curvatura).

• Aquells observadors que estan en caiguda lliure (per únic efecte de la gravetat) s'anomenen observadors fonamentals.

Resumint: a la teoria d'Einstein de la relativitat general substitueix la de Newton. Aproximació de Newton en molts casos correcte (evidentment, l'utilitzem tota l'estona). La gravetat es geometritza (és la curvatura de l'espai-temps, i la curvatura vol dir acceleració). La curvatura ve definida per la presència de massa i energia que hi hagi.

El fluid relativista fa més gravetat que un fluid quiet: té més energia.

La massa del protó: 99% l'energia de lligadura dels quarks.

• No existeix solució general per l'equació de camp d'Einstein. Hi ha algunes explícites en uns pocs casos concrets.
  • Solució d'Schwarzchild: forat negre sense rotació.
  • Solució de Kerr: forat negre amb rotació.

Equacions de camp d'Einstein (EFE)

Sigui $R_{\mu \nu}$ el tensor de curvatura de Ricci (covariant: índexs a sota), $g_{\mu \nu}$ la mètrica (incògnites), $R$ la curvatura de l'espai-temps (escalar) i $T_{\mu \nu}$ el tensor impuls-energia.

$$R_{\mu \nu} + \alpha g_{\mu \nu} R + \beta g_{\mu \nu} = \gamma T_{\nu \nu}$$

Equació de Poisson (clàssica): $$\nabla^2 \phi = 4 \pi G \rho,$$ on $\phi$ és el camp gravitatori i $\rho$ la densitat de massa.

EFE: $$\boxed{R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + g_{\mu \nu} \Lambda = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}.}$$

Nota: $\mu, \nu \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$ (índexs grecs).

$\Lambda$ és la constant cosmològica. Al principi no la posava, però llavors la solució de Schwartzchild (la primera que va sortir, es diu també equació del buit perquè només hi ha un punt i tot lo altre està buit) no deixava un univers quiet, s'expandia o s'encogia. S'esperava un univers estàtic, i d'aquí el terme per arreglar-ho. Actua com d'antigravetat.

Si el camp gravitatori és intens, com el terme de la constant cosmològic és feble, és com si no hi fos. Però a nivell de tot l'univers, on la densitat mitja és de 4 protons per metre cúbic (i és tan baixa) la constant juga un paper i frena l'expansió/contracció de l'univers.