Tema 2. Gravetat d'Einstein

Data: divendres 5 de novembre de 2021

Fet a paper.

Data: dilluns 8 de novembre de 2021

Transformació de Lorentz (paràmetre [math]\displaystyle{ v }[/math]):

$$\begin{cases} t' = \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right), \\ x' = \gamma (x - vt), \\ y' = y, \\ z' = z. \end{cases}$$

Les velocitats es composen com: $$u' = \frac{dx'}{dt'} = \frac{\cancel{\gamma} (dx - v \, dt)}{\cancel{\gamma} (dt - v \, dx/c^2)} = \frac{dx/dt - v}{1 - (v/c^2) dx/dt} = \frac{u - v}{1 - uv/c^2}$$

$$u = \frac{dx}{dt} = \frac{\cancel{\gamma} (dx' + v \, dt')}{\cancel{\gamma} (dt' + v \, dx'/c^2)} = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2}$$

Observem que si $u, v \ll c$, aleshores recuperem el comportament galileà $u' \approx u - v$.

Un parell d'experiments

Dilatació temporal

Suposem que tenim dos vaixells. Un aturat al port i un altre que ens passarà per davant. Es decideix que cada capità va a mesurar el temps posant un mirall al terra i un altre al màstil fent rebotar un raig de llum de dalt a baix.

Cadascú veu el mateix al seu sistema.

@TODO: Inserir diagrama Google Drawings

Si $L = 1$, aleshores $d = \sqrt{2}$, i el temps en què el llum va cap a dalt i torna vist des de terra és $t = \sqrt{2}$ per mantindre la velocitat del raig constant, mentre que al vaixell es veu que triga $t = 1$.

Formació de muons a l'atmosfera

Muó: massa 3 ordres de magnitud més màssica que l'electró (és a dir, que pot decaure - transformar-se en partícules més lleugeres). Sabem que al voltant de 10.000 muons arriben a la superfície de la terra per metre quadrat en un cert interval de temps. Els muons es creen pels raigs còsmics que colisionen per sobre dels 10 km i creen aquestes partícules.

El temps de vida d'aquests muons en un laboratori és de 2.2 microsegons. Si es fan els càlculs, 10 km corresponen a 22 vegades la distància típica dels muons.

Muons: es mouen a prop de la velocitat de la llum. Per tant, el temps mig dels muons es dilata (desde el nostre punt de vista el muó que es mou a alta velocitat té un temps mig més alt al nostre sistema de referència que un muó que es queda quiet).

• SR del muó: $L = \frac{L_0}{\gamma}$, on $L_0$ és l'alçada de l'atmosfera en el SR de l'atmosfera.
• SR de l'atmosfera: $\tau = \tau_0 \cdot \gamma$.

$$v \approx c = \frac{L_0}{\tau} = \frac{L \gamma}{\tau_0 \gamma} = \frac{L}{\tau_0}$$

Anem a parlar de distàncies

Espai de la relativitat especial: espai de Minkowski.

• Cas cartesià:
  • Element de línia: $ds^2 = dr^2 = \delta_{ij} dx^i dx^j = dx^2 + dy^2 + dz^2$

$$[g_{ij}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

• Cas ortogonal:

$$[g_{ij}] = \begin{pmatrix} h_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & h_2^2 & 0 \\ 0 & 0 & h_3^3 \end{pmatrix},$$ on $h_i = \left| \partial_{x^i} \vec{r} \right| \quad \forall i \in \{ 1, 2, 3 \}$ (factors d'escala).

L'espai de Minkowski és "pla".

Relativitat general: a cada punt de l'espai que no sigui una singularitat li assigna un espai tangent de Minkowski.

En el cas de la mètrica de Minkowski, se li assigna la lletra $\eta$.

$$ds^2 = \eta_{\mu \nu} dX^\mu dX^\nu, \qquad \vec{X} =: \text{4-vector de posició}$$

$$\eta(\vec{v}, \vec{w}) \equiv \vec{v} \cdot \vec{w}$$

$$\eta_{\mu \nu} := \eta(e_\mu, e_\nu) = \pm \text{diag}(\overbrace{-1, +1, +1, +1}^{\scriptstyle \text{signatura}})$$

$$X^\mu = (ct, x^i) = (x^0, x^i)$$

A cosmologia, la signatura de la mètrica de Minkowski és $(+ \, - \, - \, -)$ (a matemàtiques es veu que normalment agafem els signes oposats).

Fixem-nos que $ds^2 = (c \, dt)^2 - (d\vec{r})^2$. Tenim diversos casos:

• $ds^2 > 0$: time-like,
• $ds^2 = 0$: light-like,
• $ds^2 < 0$: space-like.

Data: dimecres 10 de novembre

Recordem: $$\eta(\vec{v}, \vec{w}) = \vec{v} \cdot \vec{w} = \eta_{\mu \nu} V^\mu W^\nu = v^0 w^0 - v^1 w^1 - v^2 w^2 - v^3 w^3.$$

$$||\vec{v}|| = \sqrt{|\eta(\vec{v}, \vec{v})|}$$

Derivada covariant

$$\nabla_\alpha V^\gamma := \partial_\alpha V^\gamma + \Gamma_{\alpha \beta}^\gamma V^\beta,$$ on $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ són els símbols de Christoffel.

Geodèsica

Una geodèsica és una corba de distància extremal entre dos punts (normalment és la més curta).

Equació de les geodèsiques: $$\frac{d^2 x^\lambda}{dt^2} + \gamma_{\mu \nu}^\lambda \frac{dx^\mu}{dt} \frac{dx^\nu}{dt} = 0.$$

Element de línia

$$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2 dt^2 - d\vec{r} \cdot d\vec{r},$$ on $d\vec{r} = (x, y, z)$.

En el sistema de referència propi, $d\vec{r} = 0 \, \forall t$, així que $ds^2 = c^2 dt^2$. $\tau^2 = ds^2 / c^2$ és el temps propi al quadrat. Per tant, veiem que el temps propi és el mateix que el temps coordenat en aquest cas.

Per als fotons: $c dt = dr$ i per tant $ds^2 = 0$, així que $d \tau = ds / c = 0$.

Per derivar, hem de derivar respecte un cert temps. I l'únic temps que és universal és el temps propi, així que derivarem respecte aquest per mantenir el caràcter de "vectors".

---

$$\left( \frac{c d\tau}{c dt} \right)^2 = 1 - \left( \frac{d \vec{r}}{c dt} \cdot \frac{d\vec{r}}{c dt} \right) = 1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{c^2},$$ amb $\vec{u} := \frac{d\vec{r}}{dt}$ la 3-velocitat d'un objecte en el S.R. $S$.

Per tant: $$\left( \frac{c d\tau}{c dt} \right)^2 = \frac{1}{\gamma^2(\vec{u})},$$ amb $\gamma(\vec{u}) = \frac{1}{1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{u}}{c^2}}$.

Recordem: $dt = \gamma(\vec{u}) d\tau$.

Quadrivectors bàsics de la relativitat especial

La quadriposició (4-posició) és: $$\vec{X} := (ct, \vec{r}).$$

En forma diferencial: $$(c d\tau)^2 = ||\vec{X}||^2 = (c dt)^2 - d\vec{r} \cdot d\vec{r}.$$

La 4-velocitat és: $$\vec{U} := \frac{d \vec{X}}{d\tau} = \frac{d \vec{X}}{dt} \underbrace{\frac{dt}{d\tau}}_{\gamma(\vec{u})} = \gamma(\vec{u}) (c, \vec{u}).$$

Diem que $\gamma \vec{u}$ és la velocitat pròpia del SRI que es mou amb velocitat $\vec{u}$, ja que és igual a $d\vec{x}/d\tau$.

La seva norma és: $$||\vec{U}||^2 = \gamma(\vec{u})^2 (c^2 - \vec{u} \cdot \vec{u}) = c^2 \implies || \vec{U} || = c.$$

La massa inercial és: $$m(\vec{u}) := \gamma(\vec{u}) \cdot m_0, \quad \forall m_0 > 0$$ on $m_0$ és la massa en repós.

En el cas dels fotons, la seva massa en repòs és $m_0 = 0$, i es pot definir la seva massa inercial.

El 4-moment és: $$\vec{P} = m_0 \vec{U} = m_0 \gamma(\vec{u}) (c, \vec{u}) = (mc, m\vec{u}) = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right),$$ on $\vec{p}$ és el 3-moment relativista ($\vec{p} = \gamma m_0 \vec{u} = m \vec{u}$).

La 4-força és: $$\vec{F} = \frac{d \vec{P}}{d \tau} = \gamma(\vec{u}) \left( \frac{1}{c} \frac{dE}{dt}, \frac{d \vec{p}}{dt} \right) = \gamma(\vec{u}) \left( \frac{\vec{f} \cdot \vec{u}}{c}, \vec{f} \right),$$ on $\vec{f} := \frac{d\vec{p}}{dt}$ és la 3-força.

Efecte de localitat: les forces actuen de força local, i necessiten un cert temps per propagar els seus efectes. Principi rebutjat per la mecànica quàntica, però bàsica a la relativitat. Per això no acaben d'encaixar les 2 teories.

Data: dijous 11 de novembre de 2021

Treballant amb la 4-velocitat, tenim: $$\gamma c = \frac{d (ct)}{d \tau}.$$

Diagrames d'espai-temps

Diagrama espai temps on es mostra el con de llum, amb el passat, el present i el futur.

Els diagrames de l'espai-temps també s'anomenen diagrames de Minkowski.

"If U is the unit length on the axes of ct and x, then the unit length on the axes of ct' and x' is:" $$U' = U \sqrt{\frac{1 + \beta^2}{1 - \beta^2}}$$

Hipèrboles del diagrama espai-temps: mateix temps propi (però fixem-nos que el temps coordenat —en el SRI S— és diferent).

@TODO: Inserir diagrama de temps 2

Com comparem vectors ens espais corbats?

• En espais corbats no podem simplement afegir o restar vectors ubicats en 2 punts diferents perquè els vectors de la base varien de punt a punt en l'espai.
• Per comparar 2 vectors en punts diferents hem de fer el transport paral·lel d'un vector a l'altre.
• En l'espai euclidià quan un vector es transporta paral·lelament al llarg d'una corba, tant les seves components $v^\alpha$ com els vectors de la base $e_\alpha$ queden inalterats.

• En un espai corbat usarem la mateixa idea que d'espais euclidians i les traslladarem als espais corbats. En aquest cas hem de tenir en compte la variació de la base de punt a punt i, per tant, hem d'usar la derivada covariant.
• Transport paral·lel: manera de transportar dades geomètriques per corbes suaus a una varietat. Si la varietat té una connexió afí (una derivada covariant) això permet transportar ...

@TODO: Completar. O no. Són coses matemàtiques que probablement no usarem :)

En un transport paral·lel el transport és depenent del camí (ex: a una esfera és evident).

• Conseqüència de la impossibilitat de definir direccions: en un espai corbat no podem establir vectors posició entre 2 esdeveniments (punts de l'espai), a diferència de l'espai euclidià o l'espai de Minkowski.
• Tampoc fa sentit mesurar distàncies entre dos punts com el mòdul del vector posició entre ambdós. Tampoc es pot derivar temporalment el vector de posició.
• Si l'espai és corbat ni tan sols podem utilitzar la longitud de la geodèsica que uneix els dos punts per definir distàncies.
  • La distància a una galàxia és de 1 milió anys-llum: estem establint una relació física/distància entre 2 esdeveniments (llum surt de la galàxia, llum arriba aquí). La llum descriu una geodèsica nul·la.
• Per evitar aquestes contradiccions: haurem de traslladar al llenguatge de la geometria diferencial els principis (clàssics) utilitzats per calcular les magnituds físiques, per poder fer física en un espai-temps corbat (i.e. en una mètrica general Riemanniana).
  • En el cas de les distàncies un principi serà comparar brillantors absolutes amb aparents. Veurem (tema 3) que diferents principis porten a resultats diferents (això no passa clàssicament, on la definició de distància és única). Definirem distàncies de lluminositats i distàncies angulars (definides amb la relació entre radi aparent, i l'angle que sosté l'objecte).

Data: dilluns 15 de novembre de 2021

• Llum: sospitaven que no tenia massa. Però està afectada per la gravetat! I les eqs. de Newton diuen que la gravetat té efecte només quan hi ha massa.
• Relativitat general parteix d'un principi (o idea): el camp gravitatori ve donada per la distribució de massa, però qualsevol partícula, independentment de la massa, es veu afectada.
• Massa gravitatòria i massa inercial no tenen per què ser el mateix. Però experimentalment s'ha vist que fins a certa precisió sí, i aquest és el 3r principi en què es basa la relativitat general.

• Einstein: cada punt de l'espai té una curvatura que està associada a la densitat d'energia.
• Forces en relativitat general: qualsevol altra força que no sigui gravetat (ja que aquesta ja està contemplada dins de la curvatura).

• Aquells observadors que estan en caiguda lliure (per únic efecte de la gravetat) s'anomenen observadors fonamentals.

Resumint: a la teoria d'Einstein de la relativitat general substitueix la de Newton. Aproximació de Newton en molts casos correcte (evidentment, l'utilitzem tota l'estona). La gravetat es geometritza (és la curvatura de l'espai-temps, i la curvatura vol dir acceleració). La curvatura ve definida per la presència de massa i energia que hi hagi.

El fluid relativista fa més gravetat que un fluid quiet: té més energia.

La massa del protó: 99% l'energia de lligadura dels quarks.

• No existeix solució general per l'equació de camp d'Einstein. Hi ha algunes explícites en uns pocs casos concrets.
  • Solució d'Schwarzchild: forat negre sense rotació.
  • Solució de Kerr: forat negre amb rotació.

Equacions de camp d'Einstein (EFE)

Sigui $R_{\mu \nu}$ el tensor de curvatura de Ricci (covariant: índexs a sota), $g_{\mu \nu}$ la mètrica (incògnites), $R = \text{Tr}(R_{\mu \nu})$ la curvatura de l'espai-temps (escalar) i $T_{\mu \nu}$ el tensor impuls-energia.

$$R_{\mu \nu} + \alpha g_{\mu \nu} R + \beta g_{\mu \nu} = \gamma T_{\mu \nu}$$

Equació de Poisson (clàssica): $$\nabla^2 \phi = 4 \pi G \rho,$$ on $\phi$ és el camp gravitatori i $\rho$ la densitat de massa.

EFE: $$\boxed{R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + g_{\mu \nu} \Lambda = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}.}$$

Nota: $\mu, \nu \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$ (índexs grecs).

$\Lambda$ és la constant cosmològica. Al principi no la posava, però llavors la solució de Schwartzchild (la primera que va sortir, es diu també equació del buit perquè només hi ha un punt i tot lo altre està buit) no deixava un univers quiet, s'expandia o s'encogia. S'esperava un univers estàtic, i d'aquí el terme per arreglar-ho. Actua com d'antigravetat.

Si el camp gravitatori és intens, com el terme de la constant cosmològic és feble, és com si no hi fos. Però a nivell de tot l'univers, on la densitat mitja és de 4 protons per metre cúbic (i és tan baixa) la constant juga un paper i frena l'expansió/contracció de l'univers.

Data: 17 de novembre de 2021

L'expansió de l'univers està sent accelerada realment, així que la constant cosmològica no és 0.

Fluids perfectes, als que podem atribuir una equació d'estat. No soporta esforços tallants (shear stresses, esfuerzos de cizalladura), així que $T_{\mu \nu}$ serà simètric i diagonal.

Definició: el tensor d'Einstein és $G_{\mu \nu} := R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R = 8 \pi T_{\mu \nu}$ (suposant que el terme de la constant cosmològica no està present).

Exemple Terra:

$$\frac{1}{R_c} = \frac{g_\oplus}{c^2} = \frac{G M_\oplus}{c^2 R_\oplus^2} = \frac{R_S}{2 R_\oplus^2},$$ on $R_S$ és el radi de Schwarzschild: $$c^2 = v_{cir}^2 = \frac{GM}{R_S} \implies R_S = \frac{GM}{c^2}$$

En el cas de la Terra, $R_{S, \oplus} \sim 9 \text{ mm}$, $R_{c, \oplus} \sim 9 \times 10^{12} \text{ km}$.

---

Principi cosmològic: l'univers ha de ser uniforme (homogeni i isòtrop) a les grans escales.

• Homogeni: mateixes propietats independentment de l'espai, isòtrop: independent de la direcció.
  • Des de la Terra podem verificar la isotropia, però no l'homogeneïtat. Però recuperem el principi copernicà que no som el centre del món, així que en qualsevol altre punt també hem de tenir homogeneïtat.
• Per què a les grans escales? Perquè a petites escales evidentment no ho tenim.

La mètrica Freedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Per obligació, ens movem en relació amb el fluid (punt de vista lagrangià), ja que no tenim cap volum extern a l'univers on estigui embedit i poguem fer referència a ell.

Observadors fonamentals: $ds^2 = c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2$ (no es mou respecte l'espai).

$t$ acabarà sent un temps cosmològic comú a tots (ens podem posar d'acord en un temps universal! :D)

La mètrica permet separar la component espacial de la temporal. Podem estudiar l'univers amb talls a certs temps, i estudiar l'univers a un temps fixat doncs.

La mètrica és: $$ds^2 = c^2 dt^2 - R^2(t) \underbrace{\left[ \frac{dr'^2}{1 - k' r'^2} + r'^2 (\overbrace{d\theta^2 + \sin^2 \theta d\psi^2}^{d \Theta^2}) \right]}_{d \Sigma^2}$$ $R^2(t)$ té unitats de $L^2$ (escala de l'univers), $\psi \in [0, 2 \pi)$, $\theta \in [0, \pi]$, $r' := \frac{r}{R_0}$, on $R_0$ és l'escala actual; $k' \in \{ +1, 0, -1 \}$ és l'índex de curvatura espacial (adimensional, ens diu si la curvatura és positiva, nul·la o negativa).

Notació: totes les variables que portin sub-0 es refereixen a valors actuals!

Les incògnites seran l'escala de l'univers i l'índex de curvatura espacial (que serà un paràmetre, i podrem estudiar les solucions en funció d'aquest índex).

Simplifiquem la forma de treballar: fem un factor d'escala còsmic (de l'univers) adimensional:

Definició: factor d'escala còsmic $a(t)$ és: $$a(t) := \frac{R(t)}{R_0},$$ que estarà entre 0 i 1 en el passat (1 actualment).

$$ds^2 = c^2 dt^2 - a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 d\Theta^2 \right],$$ on $k = k' / R_0^2$. Al final, de la $k$ només ens interessa el signe perquè la $R_0$ és arbitrària, i doncs $k$ també és arbitrari.

En 4D (proposició): $$R = \frac{6}{r^2 a^2} (\ddot{a} a + \dot{a}^2 + k r^2),$$ on $k$ és la curvatura 3D-espacial (que veurem que és 0!). És a dir, la curvatura de l'univers al final serà positiva, però la de l'espai és 0 (ja ho veurem!).

---

Parlem 4 minutets del tensor impuls-energia $T_{\mu \nu}$.

Ja hem dit que serà simètric, i que com serà format per fluids perfectes (no shear stress), no només serà simètric sinó que serà diagonal.

$$T_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{pmatrix}.$$ El que conté el tensor són les incògnites.

Després hi ha l'eq. d'estat del fluid que ens dona una relació $p = f(\rho)$.

---

Data: 18 de novembre de 2021

Tenim com a tensor impuls-energia: $$T_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} \rho_0 c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p_0 \end{pmatrix},$$ on $\rho_0$ és la densitat mesurada en el sistema de referència i $p_0$ la pressió mesurada en el SR. Veurem després que de fet $\rho_0 = \rho$. En forma covariant: $$T^{\mu \nu} = \left( \rho_0 + \frac{p_0}{c^2} \right) U^\mu U^\nu - p_0 \eta^{\mu \nu}.$$

En el cas general, tenim: $$T^{\mu \nu} = \left( \rho_0 + \frac{p_0}{c^2} \right) U^\mu U^\nu - p_0 g^{\mu \nu}.$$ Recordem que $g^{\mu \nu}$ són les coordenades del tensor $g^{-1}$.

Exemple de baixar/pujar índexos (passar d'índexos contravariants a covariants i a la inversa): $$U_\mu = g_{\mu \nu} U^\nu, \quad T_{\mu \nu} = g_{\mu \alpha} g_{\nu \beta} T^{\alpha \beta}.$$

Eqs. de Friedmann

$$\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 + \frac{K c^2}{a^2} - \frac{\Lambda c^2}{3} = \frac{8 \pi G}{3} \rho, \quad \text{(component 0,0)},$$ $$2 \frac{\ddot{a}}{a} + \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 + \frac{kc^2}{a^2} - \Lambda c^2 = - \frac{8 \pi G}{c^2} p, \quad \text{(components diagonal)}.$$

Això es pot expressar també com:

$$\dot{a}^2 + kc^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho a^2 + \frac{\Lambda c^2 a^2}{3}, \; \text{(1)}$$ $$\ddot{a} = - \frac{4 \pi}{3} G \left( \rho + 3 \frac{p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2 a}{3}. \; \text{(2)}$$

@TODO: NOTA: Crec que falta una "a" després de "(... 3p/c^2)*a".

(2) és l'equació del moviment, i (1) la integral primera (com a molts llocs, tindrem que és l'energia del sistema).

Notem que diverses de les variables depenen del temps ($a, \rho, p$). La constant cosmològica no la considerarem depenent del temps (per alguna cosa es diu constant :) ). Les incògnites són les $a(t), k$ però al final de la $k$ només ens interessa saber si és positiva, negativa o 0.

Sovint la primera equació, utilitzant la 1a llei de la termodinàmica ($dU = T dS - p dV$), s'expressa d'una altra manera (suposem que $\Lambda = 0$).

Com és una expansió adiabàtica (béeee cuidado! Realment no ho és perquè l'entropia sempre augmenta, però globalment ho podem suposar), tenim $T dS = 0$, així que: $$dU = - p dV \implies d(\rho c^2 a^3) = - p d a^3 \implies$$ $$ \implies \dot{\rho} = - 3 \frac{\dot{a}}{a} \left( \rho + \frac{p}{c^2} \right). \; (3)$$

També tenim: $$3 \frac{p}{c^2} a \dot{a} = - 3 \rho a \dot{a} - \dot{\rho} a^2.$$

De l'equació (3) també obtenim: $$\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \dot{a}^2 = \frac{d}{dt} \left( \frac{4 \pi}{3} G \rho a^2 \right) \rightarrow (1)$$

Hem suposat que $\Lambda = 0$, però la podríem haver absorbit també dins d'una altra de les altres variables per tal de conservar-la (és a dir, no perdem generalitat).

---

L'equació d'estat d'un fluid perfecte s'escriu com: $$p = w \rho c^2,$$ on $w$ és un paràmetre adimensional que va normalment de -1 a 1.

Amb aquesta assumpció, l'equació (2) es pot escriure com (suposem de nou $\Lambda = 0$): $$\frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4 \pi G}{3} (1 + 3w) \rho. \; (2')$$

La lambda formarà part de la pressió de fet (o w).

La diferència en eqs. d'estat està clar que en una època mana un fluid, en una altra un altre, etc. Ara està començant a emanar el fluid de la constant cosmològica (SPOILER: el buit!).

La nostra és una etapa anòmala perquè ara tenim:

• Un 30% de contingut de massa-energia associat a un fluid que és atractiu gravitatòriament
  • 5%: barions (la matèria de nosaltres, i tot el que ens envolta, estrelles i galàxies)
  • 25%: matèria fosca (def: matèria que no interacciona amb forces electromagnètiques; ex: neutrins, tot i que tot no pot ser neutrins perquè no explicaria algunes coses, així que deuen ser també altres tipus de partícules que no s'han descobert)).
• L'altre part (70%): el buit, que té efectes antigravitatoris!

Així doncs estem en una transició, i hem de tenir en compte els 2 fluids per poder descriure-ho, però en un futur no molt llunyà cosmològicament només parlarem de l'energia fosca. Això no vol dir que si predomina un no vol dir que no existeix l'altre tipus de massa-energia.

Però normalment les diferents etapes es poden explicar amb 1 sol fluid (ara estem en època rara, recordem!!).

La matèria fosca no es dilueix, però la matèria i energia fosca sí es dilueixen (com el cub a la inversa) i els fotons (a la cuarta potència inversa).

3 equacions d'estat que haurem de tenir en compte (en ordre de primordialitat per èpoques):

• Fotons
• Barions/matèria fosca
• Energia fosca

Data: 19 de novembre de 2021

Recomanació: les equacions que vam fer ahir i farem a partir d'ara aniria bé desenvolupar-les a casa per tal de practicar amb elles de cara a l'examen i també per veure d'on surten.

Amb $\Lambda \neq 0$, podem reescriure les equacions com:

$$\dot{a}^2 + kc^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho_{\text{eff}}, \; (1')$$ $$\ddot{a} = - \frac{4 \pi G}{3} \left( \rho_{\text{eff}} + 3 \frac{p_{\text{eff}}}{c^2} \right) a, \; \text{(2')}$$ amb: $$\left.\begin{array}{r} \rho_{eff} = \rho + \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G} = \rho + \rho_\Lambda, \\ p_{eff} = p - \frac{\Lambda c^4}{8 \pi G} = p + \underbrace{p_\Lambda}_{< 0}\end{array}\right\} \implies p_\Lambda = - \rho_\Lambda c^2 \implies w = -1 \text{!}$$

Recordem: la $w$ és la de l'equació d'estat $p = w \rho c^2$.

Model cosmològic actual: ΛCDM (la Lambda ve de la constant cosmològica).

Concepte de buit en la teoria quàntica de camps no és equivalent al "no res". Es defineix com que tots els camps estan en estat fonamental.

Eq. d'estat d'un camp escalar $\varphi$: $$w = \frac{\frac{1}{2}\dot{\varphi} - V(\varphi)}{\frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 + V(\varphi)}$$

Nota: si $\dot{\varphi} = 0$, llavors $w = -1$. Curioso, és el que ens ha sortit abans...

---

Si a les equacions de Friedmann imposem $\ddot{a} = \dot{a} = 0$, obtenim: $$\rho_{\text{eff}} = - \frac{3 p_{eff}}{c^2} = \frac{3 k c^2}{8 \pi G a^2}.$$

Univers de pols

Idea inicial Einstein: estem en un univers de pols: la pols és un fluid (comparat amb un gas, la pols té menys pressió). Per tant, podem simplificar i fer $p = 0$. Això és $w = 0$ (barions i CDM (Cold Dark Matter); el cold ve de que no es mouen a velocitats relativistes). Això ens dona com a densitat per la matèria ordinària: $$\rho = \frac{kc^2}{4 \pi G a^2} > 0 \implies K > 0,$$ $$\Lambda = \frac{K}{a^2} > 0.$$

Això ens dona la següent constant cosmològica de l'Einstein (no l'actual): $$\Lambda_E = \frac{4 \pi G}{c^2} \rho.$$

(Anècdota: la mateixa massa (o energia) de matèria té la meitat d'efectes gravitatoris que el mateix però amb fotons (tenen diferent equació d'estat).)

Podem veure a aquesta fórmula que $\Lambda$ (qualsevol) té unitats $\text{L}^{-2}$.

Veient això, diem que l'escala de l'univers d'Einstein és de: $$r = \Lambda_E^{-1/2} = \frac{c}{(4 \pi G \rho)^{1/2}}$$

Per tant el volum de l'univers d'Einstein (àrea de la hípersuperfície 3D embedida a l'espai 4D) és: $$V = 2 \pi^2 r^3$$

L'Einstein va estar lluitant per mantenir aquest model cosmològic fins a finals dels anys 20. Va haver un article del Friedmann trobant solucions on l'univers natural s'expandia o es contreia. L'Einstein era referee i deia que estava malament. Després va acceptar que estava bé però que era un "divertimento" (ell es pensava que l'univers es comportava com ell deia).

Lemaître va establir reunió entre Edwin Hubble i Einstein perquè l'expliqués que les seves observacions apuntaven a l'expansió. D'aquí va sortir l'Einstein va sortir convençut que evidentment el seu model era erroni i l'univers s'estava expandint.

Una altra cosa que li van ensenyar és que aquest model és inestable. (nosaltres ho farem amb l'equació de Friedmann que és molt més senzill)

Si prenem $p = 0$ (com hem dit de l'univers de pols), i tenim (posant la Lambda d'Einstein): $$\frac{\ddot{a}}{a} = - 4 \pi G \left[ \rho + \frac{\Lambda c^3}{8 \pi G} - \frac{3}{c^2} \frac{\Lambda c^4}{8 \pi G} \right] = - \frac{4 \pi G}{3} \left[ \rho - \frac{\Lambda_E c^2}{4 \pi G} \right].$$ Si es disminueix una mica la $\rho$ la $\ddot{a}$ és positiva, i això té un efecte de feedback retroactiu que fa que la densitat disminueixi tota l'estona, és a dir, inestable.

Univers de Sitter (dS)

El model s'obté imposant: $p = \rho = 0$ (vacuum solution). Però per no arribar a la solució de Minkowski (buit de veritat), prenem $\Lambda \neq 0$. També imposa que $k = 0$.

$$\rho_{\text{eff}} = - \frac{p_{\text{eff}}}{c^2} = \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G} \underset{(1')}{\implies} \dot{a}^2 = \frac{1}{3} \Lambda c^2 a^2 \implies \Lambda > 0.$$

En aquest model en concret, això fa que $\ddot{a} > 0$.

$$a(t) = A \exp\left[ \left( \frac{1}{3} \Lambda \right)^{1/2} ct \right]$$

Paràmetre de Hubble: $$H(t) := \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} = c \left( \frac{\Lambda}{3} \right)^{1/2}.$$

La constant de Hubble és: $$H(t = 0) = H_0.$$

$$a(t) = A e^{H t}.$$

El paràmetre de Hubble és el ritme d'expansió de l'univers. Quan el creixement és exponencial, el paràmetre és constant (perquè el paràmetre està definit d'una manera "exponencial" i l'exponencial de l'expansió del model ho contrarresta).

En aquests moments tot indica que molt en el futur el nostre univers acabarà amb un comportament de Sitter.

Millor aproximació de la mètrica local al voltant d'una galàxia: la de Schwarzschild (no expandeix). L'univers s'expandeix però les coses que hi ha dintre no (no tractem amb la mètrica de FLRW).

Redshift

Substitut de la distància que no podem definir absolutament.

Es defineix el redshift com: $$z := \frac{\Lambda_{em} - \Lambda_{obs}}{\Lambda_{obs}}; \quad (\lambda_{obs} > \lambda_{emi}).$$

Galàxia emissora: $p(r, \theta, \phi)$ (posem l'origen a l'observador). És comòbil (la velocitat peculiar és $v_{pec} = 0$).

Distància pròpia: $\phi(t) = \text{Distància comòbil} \times a(t).$

Per als fotons: $$ds = d\tau = d\theta = d\phi = 0$$

$$0 = (c dt)^2 - a^2(t) \frac{dr^2}{1 - kr^2}$$

Distància comòbil viatjada pels fotons des de l'emissió: $$\chi = \int_{t_{emi}}^{t_{obs}} \frac{c dt'}{a(t)} = \int_r^0 \frac{dr'}{(1 - kr')^{1/2}} = f(r; k) = \text{const.},$$ on $dr'$ és la distància coordenada.

$t'_{emi} = t_{emi} + \Delta t_{emi}$. $$\int_{t_e + \Delta t_{emi}}^{t_0 + \Delta t_0} \frac{c dt}{a(t)} = f(r; k) = \text{const.} \implies$$ $$\implies \frac{\Delta t_0}{a_0} = \frac{\Delta t_e}{a(t_e)}.$$ $$\int_{t_0 + \Delta t_0}^{t_0 + \Delta t_0} = \int_{t_0}^{t_e} + \int_{t_0}^{t_0 + \Delta t_0} - \int_{t_e}^{t_0 + \Delta t_e} \underset{\Delta t \ll 1}{\approx} \int_{t_0}^{t_e} + c \underbrace{\left[ \frac{\Delta t_0}{a_0} - \frac{\Delta t_e}{a(t_e)} \right]}_{\approx 0}$$

Per tant: $$\begin{cases} \nu_e a_e = \nu_0 a_0, \\ \frac{a_e}{\lambda_e} = \frac{a_0}{\lambda_0} \end{cases}$$

Tenim: $$1 + z = \frac{a_0}{a(t)} = \frac{1}{a(t)}.$$

La longitud d'ona de de Broglie és: $$\lambda_{dB} \equiv \frac{h}{p} \implies \frac{\lambda_0}{\lambda_e} = \frac{a_0}{a_e} = \frac{p_e}{p_0}.$$

Com $p \propto \frac{1}{v_{pec}}$ (moment lineal): $$p \propto v_{pec} \propto \frac{1}{\alpha}.$$

Fotons: $$h \nu = pc = E \propto \frac{1}{a},$$ és a dir, no perden velocitat sinó que el que perden és freqüència.

Resumint: si les partícules tenen massa, l'expansió de l'univers esborra les seves velocitats peculiars. En el cas dels fotons, no es modifica aquesta velocitat. Li afecta disminuint la freqüència, que li treu energia.

---

Fem $\Lambda = 0$.

$$(1) \implies \frac{\dot{a}^2}{2} - \frac{4 \pi G}{3} \rho a^2 = - \frac{kc^2}{2} \iff$$ $$\iff \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 \left[ \frac{\rho}{\rho_{crit}} - 1 \right] = \frac{kc^2}{a^2},$$ amb la densitat crítica: $$\rho_{crit} := \frac{3}{8 \pi G} \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{3 H(t)^2}{8 \pi G}.$$

Depenent del seu valor tenim curvatura positiva, negativa o nul·la.

Definim el paràmetre de densitat: $$\Omega(t) := \frac{\rho(t)}{\rho_{crit}(t)}.$$

Amb aquesta definició, podem escriure l'eq. (1) com: $$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \left[ \Omega_{w0} \left( \frac{a_0}{a} \right)^{3 + 3w} + (1 - \Omega_{w0}) \right],$$ on $\Omega_{w0}$ és el paràmetre de densitat actual per a un fluid d'eq. d'estat $w$ ($\sum_{w_i} \Omega_i$ suma de fluids).

També la podem escriure com: $$H^2(t) = H_0^2 \left[ \Omega_{w0} \left( \frac{a}{a_0} \right)^{3 + 3w} + (1 - \Omega_{w0}) \left( \frac{a_0}{a} \right)^2 \right].$$

Per primera vegada podem definir el paràmetre de densitat associada a la curvatura: $$\Omega_{k0} := 1 - \Omega_{w0} = - \frac{kc^2}{a_0^2 H_0^2}.$$ Això implica: $$\Omega_k + \sum_{w_i} \Omega_{w_i} = 1 \; \forall t.$$

$$\Omega_r(t) = - \frac{kc^2}{a^2 H^2}.$$

Comparant exponents: $2 = 3 + 3 w_k \implies w_k = - 1/3$.

$$H^2(z) = H_0^2 \underbrace{[\Omega_{m0} (1 + z)^3 + \Omega_{r0} (1 + z)^4 + \Omega_{\Lambda 0} + \Omega_{k0}(1 + z)^2]}_{E^2(z)},$$ on $\Omega_{m0}$ correspon a la matèria, $\Omega_{r0}$ correspon a la radiació i partícules relativistes i definim $E(z)$ com el paràmetre reduït de Hubble.

Aquesta equació ens dona l'ordre de les majors contribucions.