Resum cosmologia

Gravetat d'Einstein

• Relativitat general: hi ha diferents distàncies, depenent de la definició.
• Constant cosmològica inicialment es va posar perquè s'esperava un univers estàtic i sota la solució d'Schwarzchild sense això no ho teníem.
• Principi cosmològic: l'univers ha de ser uniforme (homogeni i isòtrop) a grans escales.
  • Des de la Terra podem verificar isotropia pero no homogeneïtat.

Equacions de Friedmann

• Mètrica de Friedmann
• Factor d'escala còsmic: [math]\displaystyle{ a(t) := \frac{R(t)}{R_0} }[/math], escala de l'univers dividit entre l'escala de l'univers actual.
• Equació d'estat d'un fluid perfecte: $p = \omega \rho c^2$, $\omega \in [-1, 1]$.
• En la nostra etapa estem en una transició:
  • 30%: massa-energia associat a un fluid que és atractiu gravitatòriament:
    • 5%: barions
    • 25%: matèria fosca (def: matèria que no interacciona amb forces EM).
  • 70%: buit, que té efectes antigravitatoris.
• Normalment a les diferents etapes de l'univers es pot descriure amb només 1 fluid (això no vol dir que l'altre no existeixi).
• La $\Lambda$ té $w = -1$.

Univers de pols

• Einstein: pols és un fluid com el gas, però de menys pressió. P.t. $p = 0$, $w = 0$.
• Univers inestable.

Univers de Sitter

• S'imposa $p = \rho = 0$ (vacuum solution), $\Lambda \neq 0$, $k = 0$.

Definicions:

• Paràmetre de Hubble: $H(t) := \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}$.
• Constant de Hubble: $H(t = 0) = H_0$.

• En els univers de Sitter tenim $a(t) = A e^{Ht}$.
• Fixem-nos que en el cas de Sitter tenim $H(t) = H_0$ constant per tal com està definit $H(t)$ i el fet que aquest model dona una $a(t)$ exponencial.
• En el futur el nostre creixement serà de Sitter.

Redshift

$$z := \frac{\lambda_{em} - \lambda_{obx}}{\lambda_{obs}}.$$

• Distànica pròpia: $\phi(t) = \text{Distància comòbil} \times a(t)$.
• Resultat: $1 + z = \frac{1}{a(t)}$.
• El moment lineal és inversament proporcional a $a(t)$ i, per tant, les velocitats peculiars s'esborren.
  • Els fotons perden energia (i.e. freqüència) en comptes de moment lineal.

De les eqs. de Friedmann: $$\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 \left[ \frac{\rho}{\rho_{crit}} - 1 \right] = \frac{kc^2}{a^2}$$

• Podem definir densitat crítica: $\rho_{crit} = \frac{3 H(t)^2}{8 \pi G}$.
  • $\rho > \rho_{crit} \implies k > 0$.
  • $\rho = \rho_{crit} \implies k = 0$.
  • $\rho < \rho_{crit} \implies k < 0$.
• Paràmetre de densitat: $\rho(t) := \frac{\rho(t)}{\rho_{crit}(t)}$

Cosmologia física

• Temps de Hubble: $\tau := 1/H_0$.
• Radi de Hubble: $R_H := \frac{c}{H_0} = c \tau$.
  • Esfera de Hubble delimitada pel radi de Hubble delimita la regió de l'univers que s'està expandint a velocitats supralumíniques.
• Horitzó de partícules o cosmològic o causal: $R_c(t) = a(t) \int_0^{t} \frac{cdt'}{a(t')} = 3 \frac{1 + w}{1 + 3w} ct$. Si $w = 0$ (la matèria que dominava la major part del temps), $R_c(t) \approx 3 ct.$
• Horitzó d'esdeveniments: $R_e(t) = a(t) \int_{t}^{t_max = \infty} \frac{cdt'}{a(t')}$.
• Es compleix $16 \text{ Ga.l.} \sim R_e(t_0) < R_p(t_0) \sim 46 \text{ Ga.l.}$

Llei de Hubble-Lemaître

$$v_r = cz \approx H_0 d_P(t_0).$$

• Observació: $z = 1$ dona el radi de Hubble.

Cosmografia

• Look-back-time:

$$t_0 - t(z) = \frac{1}{H_0} \left[ z - \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) z^2 + O(z^3) \right]$$

$$r(z) = \frac{c}{a_0 H_0} \left[ z - \frac{1}{2} (1 + q_0) z^2 + O(z^3) \right]$$

Distàncies

• Distància de lluminositat: $d_L^2 := \frac{L_{emi}}{4 \pi f_{obs}} = (1 + z) d_P$.
• Distància geomètrica: $d_A := \frac{D_p}{\delta} = a(t) r = d_P$ ($D_p$ és la longitud intrínseca de l'objecte perpendicular, i $\delta$ l'angle observat d'aquesta longitud).
• Brillantor superficial: $\sigma_x \propto \frac{L_x^{obs}}{\theta^2} \propto (1 + z)^{-4}$, on $x$ és la banda espectral i $\theta$ l'àrea angular.

Models de Friedmann: solucions per a(t)

Equació d'estat de fluids perfectes:

• Pols: $w = 0$.
• Energia fosca (buit): $w = -1$.
• Geometria (k): $w = -1/3$.
• Fluid relativista: $w = 1/3$.