Tema 2. Moviment atmosfèric

Variacions horitzontals de pressió

Quan dues superfícies tenen pressions diferents, això dona lloc a una força bàrica que va de la superfície amb alta pressió a la de baixa pressió.

Força del gradient de pressió

A l'equació hidrostàtica comuna, només tenim en compte únicament l'acceleració deguda a la gravetat.

[math]\displaystyle{ \frac{dp}{dz} = -\rho g \implies \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g \implies g = -\frac{1}{g} \frac{\partial p}{\partial z} = p_z }[/math] (component vertical de la força del gradient de pressió)

Anàlogament,

[math]\displaystyle{ \vec{p}_{\text{horitz.}} = -\frac{1}{\rho} \nabla p \implies \begin{cases} p_x = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} \\ p_y = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} \end{cases} }[/math]

Geopotencial Φ

Definició: El geopotencial a un punt d'altura z és el treball que cal fer contra la gravetat, elevant una massa de 1 kg fins a aquest punt z. Les seves unitats són [math]\displaystyle{ [\text{J kg}^{-1}] = [\text{m}^2 \text{ s}^2] }[/math]

Per elevar 1 kg de z a z+dz: [math]\displaystyle{ g \cdot dz }[/math]

[math]\displaystyle{ d\Phi \equiv g \cdot dz \implies g \, dz = -\frac{1}{\rho} dp }[/math] (equació hidrostàtica).

Així doncs, [math]\displaystyle{ d\Phi = -\frac{1}{\rho} dp }[/math]

• Geopotencial a z: [math]\displaystyle{ \Phi(z) = \int_0^z g \, dz }[/math]
• Conveni: [math]\displaystyle{ \Phi(0) = 0 }[/math]

Altura vs altitud

• Altura: distància geomètrica respecte un punt de referència
• Altitud: distància geomètrica respecte el nivell del mar

Altura geopotencial

Definició: L'altura geopotencial és [math]\displaystyle{ Z := \frac{\Phi(z)}{g_0} = \frac{1}{g} \int_0^z g \, dz [\text{mgp}] }[/math], on [math]\displaystyle{ g_0 = 9.81 \text{m s}^{-2} }[/math] (el valor mitjà de la gravetat en superfície). L'unitat és metres geopotencials (mgp).

Taula Z vs z

z (km)	Z (kmgp)	g (m s-2)
0	0	9.81
1	1.00	9.80
10	9.99	9.77
100	98.47	9.50
500	463.60	8.43

Geopotencial <-> gas ideal

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{rl} \text{Gas ideal:} & p = \rho R T \\ & g \, dz = -\frac{1}{\rho} dp\end{array}\right\} \implies \frac{\partial p}{\partial z} = -\frac{\rho g}{R T} \implies d\Phi \equiv g \, dz = -RT\frac{dp}{p} }[/math]

Altura patró

Considerem una atmosfera (o un estrat) amb T constant i altures Z₂ i Z₁.

Definició: L'altura patró és [math]\displaystyle{ H := \frac{RT}{g_0} = 29.3 T \; [\text{K}] }[/math], on T és la temperatura de l'estrat/atmosfera.

• [math]\displaystyle{ z_2 - z_1 = H \log\frac{p_1}{p_2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ p_2 = p_1 \cdot \exp\left( -\frac{z_2 - z_1}{H} \right) }[/math]

Synop

El format SYNOP és una manera de codificar dades meteorològiques en un mapa.

@TODO: Insertar imatge explicant el format synop

Alguns comentaris:

• 1 kt = 0.514 m/s
• Al pintar els vectors del vent: l'extrem del vector que té les barres que indiquen la velocitat del vent, també indica la direcció d'on ve el vent. Per exemple, parlem de "vent del sud-oest" per dir que el vent ve del sud-oest.
• Calma: vent inferior a 5 nusos.
  • Si es posa fletxa sense ratlles de nusos, és que el vent no és quiet, però la velocitat és inferior a 5 nusos.
  • Si no es posa fletxa, és que el vent està quiet.
• El símbol de les estrelletes per la neu són de 6 puntes.

Pressió en superfície

Mapa que mostra les corbes de nivell de la pressió en superfície (isòbares).

• Per tal de veure les diferències de pressió degudes al temps atmosfèric és necessari reduir-les a una superfície d'altitud fixa: el nivell del mar.
  • Això es pot fer mitjançant el procés descrit en la secció "Altura patró", que és molt simplificat, o es poden fer servir procesos més sofisticats.

Nivells en altura

• Per saber les condicions atmosfèriques no val només saber el que passa a la superfície. Hem de tenir en compte el que passa a tota la troposfera.
• Així doncs, existeixen diversos mapes d'isòbares a altituds constants.
  • Es fan interpolant les dades que recullen les estacions de ràdio-sondatge.
• Tot i això, és més comú fer servir nivells a pressió constant i representar les altituds (o altures geopotencials).
  • És a dir, per una pressió específica, es fa un gràfic de les altituds que tenen aquesta pressió.

Mapes d'isòbares

• Centres d'acció: baixes i altes pressions.
  • Ens controlen el flux a gran escala.
• Fronts: fronteres entre masses d'aire que tenen característiques diferents. (ho farem més endavant)
  • Fronts freds: blau
  • Fronts càlids: vermell
  • Fronts oclusos: lila

• Analysis chart: mapa mostrant les observacions
• Forecast chart: mapa generat per models numèrics

Intertropical convergence zone (ITCZ)

• Línia a prop de l'equador on hi ha baixes pressió localment.
• A l'hivern de l'hemisferi nord està per sota de l'equador, i a l'estiu a l'inrevés.

Masses d'aire

• Definició: Una massa d'aire a l'atmosfera es defineix com un volum de grans dimensions (milers de km² a l'horitzontal i alguns km a la vertical) amb unes característiques de temperatura i humitat similars.
• Es formen en estar prou temps en contacte en una regió font.

Exercici per fer a casa (composició de l'atmosfera): càlcul de la massa molecular equivalent de l'aire sec Md
[math]\displaystyle{ pV = R^*T }[/math] [math]\displaystyle{ pV = nR^*T }[/math] (no n és el nombre de mols de gas) Barreja de gasos ideals (cas aire sec) [W-H, dry air]: Md (on la d significa sec (dry en anglés)) [math]\displaystyle{ M_d = \frac{\sum m_i}{\sum \frac{m_i}{M_i}} }[/math] Considerem aire sec: 79% N2, MN = 14 g/mol 21% O2, MO = 16 g/mol

• Les masses d'aire es caracteritzen segons:
  • Si són continentals o marítimes.
  • La latitud d'on provenen.

@TODO: Inserir taula de "valors indicatius de temperatura i humitat de les masses d'aire" per tipus.

• Estabilitat: explicarà amb més detall què és en el futur.
• Les zones costaneres estan molt influides per les masses d'aire de l'oceà.

Fronts

Definició: Un front és una zona de transició (frontera) entre dues mases d'aire amb diferents densitats (diferents temperatures o humitat). Són àrees relativament estretes, 25-150 km de gruix, on les variables meteorològiques varien ràpidament. La superfície frontal és l'extensió vertical d'un front.

@TODO: Insert https://www.dreamstime.com/stock-illustration-weather-fronts-warm-front-cold-front-warm-front-passes-air-becomes-noticeably-warmer-more-humid-than-image42341631

• Front fred: tenim una massa d'aire freda desplaçant-se contra una altra menys freda.
  • Si ho veiem en l'espai tridimensional i no com una projecció del front a un mapa, veuríem que la massa d'aire fred és una falca que està introduint-se a sota de la massa més calent.
  • Això fa que la massa calenta també es desplaci
  • Pot produir nuvolositat i precipitacions.
• Front càlid: tenim una massa d'aire més càlida desplaçant-se cap una altra més freda.
  • Com la massa és més càlida (la densitat és menor), tenim la situació contrària a l'altra (el front càlid va avançant més ràpid per dalt).
  • També pot produir nuvolositat i precipitacions.
• Front oclús: parteixen típicament d'una depressió. En el front s'està produint una barreja de les característiques de les dues masses d'aire (?)
  • Típicament la massa freda avança més ràpida que la calenta. Aleshores si s'atrapen un fred càlid i un fred, es genera aquest front oclús.
• Front estacionari: la frontera entre dues masses d'aire que no tenen moviment relatiu. Quan es mou passa a ser algun dels altres tipus de front.

• Els fronts tenen "kinks": un descens de pressió local. És per aquest motiu que quan s'apropa un front tenim una baixa de pressió.
• Els fronts càlids tenen precipitacions més llargues que les dels fronts freds, que solen ser més puntuals/curtes.

Localització de fronts en mapes de pressió en superfície

Mirar document de la pràctica 1.

Teoria del front polar

Teoria que es va fer al segle XX per l'escola Bergen després d'analitzar els canvis de pressions.

• Sistema frontal: conjunt d'un front càlid i un de fred.

• Els fronts (un de fred i un de calent) es creen per inhomogeneïtats.
• Es forma una baixa.
• El front fred s'acosta cap al calent.
• Es forma el front oclús.

• Gota freda: massa d'aire freda (a escala sinòptica) que queda aïllada per una altra massa d'aire càlida.

Introducció al moviment atmosfèric

@TODO: Insertar esquema coordenades

Sovint substituïm distància per angles.

• x: distància a l'est del meridià de G.
• y: distància al N de l'equador
• r: distància al centre de la terra (Radi terrestre mitjà: 6370 km)

• [math]\displaystyle{ dx \equiv r \, d\lambda \, \cos \Phi }[/math]
• [math]\displaystyle{ dy \equiv r \, d\Phi }[/math]

• 1 grau de latitud = 111 km (60 milles nàutiques)

Principis bàsics

• Lleis de conservació:
  • Massa (m),
  • Moment (p),
  • Energia (E);
• aplicats a:
  • volums infinitessimals del fluid atmosfèric;
• considerant balanços:
  • sistema eulerià
  • sistema lagrangià

Sistema de referència eulerià

• Fix respecte el sistema de coordenades
• Els balanços es descriuen en funció dels fluxos a través del volum
• Les variables dependents es descriuen coma derivades parcials respecte (x, y, z, t) ([math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial \cdot} }[/math])

Sistema de referència lagrangià

• n fix partícules o volums considerats (p. ex. 1)
• El sistema segueix el volum
• Útil per a derivar lleis de conservació (per exemple una unitat de massa)
• Per una magnitud donada el canvi en el temps ve donat per la derivada material ([math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} }[/math])

Exemple: temperatura

Considerem la variable T (temperatura), on [math]\displaystyle{ T = f(x, y, z, t) }[/math]. En un indret i moment donat: [math]\displaystyle{ (x_0, y_0, z_0, t_0) }[/math], [math]\displaystyle{ T = T_0 }[/math]. Canvis respecte posicions inicials: [math]\displaystyle{ \begin{cases} T_0 + \delta t \\ x_0 + \delta x \\ y_0 + \delta y \\ z_0 + \delta z \end{cases} }[/math] [math]\displaystyle{ \delta T = \left( \frac{\partial T}{\partial t} \right) \delta t + \left( \frac{\partial T}{\partial x} \right) \delta x + \left( \frac{\partial T}{\partial y} \right) \delta y + \left( \frac{\partial T}{\partial z} \right) \delta z + \text{ termes d'ordre superior} \implies }[/math] [math]\displaystyle{ \implies \frac{\delta T}{\delta t} = \left( \frac{\partial T}{\partial t} \right) + \left( \frac{\partial T}{\partial x} \right) \frac{\delta x}{\delta t} + \left( \frac{\partial T}{\partial y} \right) \frac{\delta y}{\delta t} + \left( \frac{\partial T}{\partial z} \right) \frac{\delta z}{\delta t} \implies }[/math] [math]\displaystyle{ \xrightarrow{\delta t \rightarrow 0} \frac{d T}{d t} = \left( \frac{\partial T}{\partial t} \right) + \left( \frac{\partial T}{\partial x} \right) \underbrace{\frac{d x}{d t}}_u + \left( \frac{\partial T}{\partial y} \right) \underbrace{\frac{d y}{d t}}_v + \left( \frac{\partial T}{\partial z} \right) \underbrace{\frac{d z}{d t}}_w }[/math] Conveni vent a l'atmosfera: [math]\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = u }[/math] (vent de l'oest) s'anomena vent zonal (o component zonal del vent). En latituds mitjanes el vent és pràcticament zonal. [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dt} = v }[/math] (vent del sud) s'anomena vent meridional (o component meridional del vent). La component meridional és transitòria. [math]\displaystyle{ \frac{dz}{dt} = w }[/math]: component vertical del vent. Considerant longituds característiques [math]\displaystyle{ L \approx 100 \text{ km} }[/math], [math]\displaystyle{ \sqrt{u^2 + v^2} \gt \gt w }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{dT}{dt} = \frac{\partial T}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla T; \quad \nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z} \right) \; \text{ºC/km} \implies \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{dT}{dt} - \vec{v} \nabla T }[/math]

Exemple: advecció freda i advecció calida
Considerem un camp de temperatura perpendicular al vent. @TODO: Inserir esquemes d'advecció freda i càlida. Advecció freda: Vent bufa de la regió més freda a la més càlida. [math]\displaystyle{ A_T \lt 0 }[/math]: contribució negativa a la T local. Advecció càlida: Vent bufa de la regió més càlida a la més freda. [math]\displaystyle{ A_T \gt 0 }[/math]: contribució positiva a la T local.

Dinàmica del flux horitzontal (W.H. 7.2)

• 2a llei de Newton en un sistema de referència inercial (no accelerat): [math]\displaystyle{ a = \frac{1}{m} \sum F }[/math]
  • També vàlida per sistemes de referència no inercials introduint forces aparents.
  • A vegades durant el curs es mencionarà força per referir-se a una acceleració (aix aquests meteoròlegs :()
• En un sistema en rotació hi ha dues forces aparents a considerar:
  • Força de coriolis
  • Força centrífuga

@TODO: Insert "Dinàmica del flux horitzontal"

[math]\displaystyle{ g = g^* + \underbrace{\Omega^2 R_A}_{\text{Acc. centrífuga}} }[/math], on g és la gravetat efectiva i g* la acceleració de la gravetat.

Exercici: Evaluar el rang de variació de l'acceleració centrífuga terrestre

[math]\displaystyle{ a_c = \Omega^2 }[/math], on [math]\displaystyle{ R_A }[/math] és la distància a l'eix de rotació. [math]\displaystyle{ \Omega = \frac{2 \pi \text{ rad}}{24 \text{ h}} \approx 7.27 \cdot 10^{-5} \text{ rad s}^{-1} }[/math] [math]\displaystyle{ R_{\text{eq}} = 6378 \text{ km} }[/math] A l'equador: [math]\displaystyle{ a_c = \Omega^2 R_A = 0.034 \text{m s}^{-2} \ll 9.81 \text{ m s}^{-2} }[/math] Al pol: [math]\displaystyle{ R_A = 0 \implies a_c = 0 }[/math]

Exemple 1: Cos desplaçant-se del pol nord a l'equador
@TODO: "Insert exemple 1" Hi ha desplaçament cap a la dreta respecte la velocitat original.

Exemple 2
@TODO: Insert "exemple 2" Suposem un cos movent-se amb moviment rectilini uniforme (sistema inercial). Suposem un nou sistema de referència en rotació amb eix de gir perpendicular al pla del moviment del cos.

Moviment zonal

@TODO:

Suposem un cos movent-se zonalment (cap a l'Est) amb velocitat [math]\displaystyle{ u }[/math], sense fricció, per una certa força impulsora, tal que inicialment la partícula estava en repòs.

Tenim una força centrífuga diferent.

[math]\displaystyle{ (\Omega + \frac{u}{R})^2 \vec{R} = \underbrace{\Omega^2 \vec{R}}_{F_{\text{cent.}} \text{ causada per la rot. terrestre}} + \underbrace{2 \Omega u \vec{R} + u^2 \frac{\vec{R}}{R^2}}_{\text{Forces deflectores (desvien)}} }[/math]

• A escala sinòptica, [math]\displaystyle{ |u| \ll \Omega R }[/math], així que l'últim terme tendeix a 0.
• El segon terme és la força de Coriolis pel moviment zonal.
• Al primer terme tenim una nova contribució a la rotació ([math]\displaystyle{ \frac{u}{R} }[/math]).

Tenim dues components en coordenades locals:

• Meridional: [math]\displaystyle{ \left( \frac{dv}{dt} \right)_{c_o} = -2 \Omega u \sin \Phi }[/math]
• Vertical: [math]\displaystyle{ \left( \frac{dw}{dt} \right)_{c_o} = -2 \Omega u \cos \Phi }[/math]

• Una partículamovent-se cap a l'E (resp. W) es desplaçarà relativament al S (resp. N) a l'hemisferi nord, per l'acceleració de Coriolis.
  • En tots dos cassos la desviació és "cap a la dreta" del moviment inicial.
• El component vertical varia [math]\displaystyle{ \ll }[/math] acceleració gravitatòria (???)

Moviment meridional

Conservació moment angular (la verifica perquè existeixen parells compensadors).

[math]\displaystyle{ \Omega R^2 = \left(\Omega + \frac{\delta u}{R + \delta R}\right) (R + \delta R)^2 = }[/math] (situació inicial)

[math]\displaystyle{ = \left(\Omega + \frac{\delta u}{R + \delta R}\right) (R^2 + 2 R \delta R + \delta R^2) \approx }[/math] (fent [math]\displaystyle{ \delta u \delta R \rightarrow 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{R^2}{R + \delta R} \rightarrow R }[/math])

[math]\displaystyle{ \approx \Omega R^2 + \delta u R + 2 \Omega R \delta R }[/math]

@TODO: Copiar el que queda de la foto que he fet a la pissarra