Tema 1. Successions i sèries de funcions

Introducció

[math]\displaystyle{ \forall n }[/math], es defineix [math]\displaystyle{ \begin{align} f_n: \; & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto f_n(x) \end{align} }[/math]

Per a cada punt [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math], tenim la successió [math]\displaystyle{ (f_n(x))_n }[/math].

Definició: Direm que [math]\displaystyle{ (f_n(x))_n }[/math] és convergent puntualment a [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] si [math]\displaystyle{ \forall x, \forall \epsilon \gt 0 \; \exists N_{\epsilon, x} \text{ tq } |f_n(x) - f(x)| \lt \epsilon \; \forall n \geq N_{\epsilon, x} }[/math]

Exemple 1: [math]\displaystyle{ f_n(x) = x^n \quad x \in [0, 1] }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0, \quad x \neq 1 \\ 1, \quad x = 1 \end{cases} }[/math]