Tema 1. Successions i sèries de funcions

Introducció

[math]\displaystyle{ \forall n }[/math], es defineix [math]\displaystyle{ \begin{align} f_n: \; & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto f_n(x) \end{align} }[/math]

Per a cada punt [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math], tenim la successió [math]\displaystyle{ (f_n(x))_n }[/math].

Definició: Direm que [math]\displaystyle{ (f_n(x))_n }[/math] és convergent puntualment a [math]\displaystyle{ f_\infty(x) }[/math] si [math]\displaystyle{ \forall x, \forall \varepsilon \gt 0 \; \exists N_{\varepsilon, x} \text{ tq } |f_n(x) - f_\infty(x)| \lt \varepsilon \; \forall n \geq N_{\varepsilon, x} }[/math]

Exemple 1: [math]\displaystyle{ f_n(x) = x^n \quad x \in [0, 1] }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0, \quad x \neq 1 \\ 1, \quad x = 1 \end{cases} }[/math]

Exemple 2: [math]\displaystyle{ f_n(x) = \frac{x^2}{(1+x^2)^n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 0 }[/math]

Exemple 3: [math]\displaystyle{ f_n(x) = nx(1-x^2)^n, \quad x \in [0, 1] }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{r} f_n(0) = 0 \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \\ f_n(1) = 0 \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \\ x \notin \{0, 1\} \implies f_n(x) = nx(1-x^2)^n \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \end{array}\right\} \implies \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 0 }[/math]

Definició: Sigui [math]\displaystyle{ f_n: E \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} }[/math]. Diem que [math]\displaystyle{ (f_n(x))_n }[/math] convergeix uniformement a [math]\displaystyle{ f_\infty(x) }[/math] si [math]\displaystyle{ \forall x, \forall \varepsilon \quad \exists N_{\varepsilon, x} \; \text{ tq } \; |f_n(x) - f_\infty(x)| \lt \varepsilon \quad \forall n \geq N_{\varepsilon, x} }[/math]. Això és equivalent a que [math]\displaystyle{ \sup_{x \in E} |f_n(x) - f_\infty(x)| \lt \varepsilon \iff \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in E} |f_n(x) - f_\infty(x)|}_{\text{en aquest ordre, si no estudiaríem convergència puntual}} = 0 }[/math]

Exemple 1: [math]\displaystyle{ f_n(x) = x^n \overset{\text{punt.}}{\longrightarrow} \begin{cases} 0 & x \neq 1 \\ 1 & x = 1 \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f_\infty(x)| = \sup_{x \in [0, 1)} |f_n(x)| = \sup_{x \in [0, 1)} x^n = 1 \not\to 0 \implies }[/math] [math]\displaystyle{ \implies \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{[0, 1]} |f_n(x) - f_\infty(x)| = 1 \neq 0 \implies \text{No hi ha convergència uniforme a } [0, 1] }[/math] Notem [math]\displaystyle{ \begin{align} f_n: \; & [0, 1] \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^n \end{align} }[/math]. [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} x^n = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - 0| = \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} x^n = 1 }[/math] Si en canvi considerem [math]\displaystyle{ [0, a] \; a \lt 1 }[/math], tenim: [math]\displaystyle{ \begin{cases} f_n(x) \longrightarrow 0 \text{ punt.} \\ \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f_\infty(x)| = \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} x^n = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \end{cases} }[/math]

Exemple 2: [math]\displaystyle{ f_n(x) = nx(1 - x^2)^n \quad x \in [0, 1] }[/math]

[math]\displaystyle{ f_n(x) \longrightarrow f_\infty(x) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f_\infty(x)| = \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} nx(1-x^2) = \circledast }[/math] Abans, veiem quin és el valor màxim que pot prendre cada [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math]: [math]\displaystyle{ f'_n(x) = n[(1-x^2)^n + x \cdot n \cdot (1-x^2)^{n-1} \cdot (-2x)] = n[(1-x^2)^n - 2x^2n(1-x^2)^{n-1}] }[/math] [math]\displaystyle{ f'_n(x) = 0 \iff (1-x^2)^n = 2x^2n(1-x^2)^{n-1} \iff \begin{cases} x = 1 \\ 1 - x^2 = 2x^2n \iff x^2 = \frac{1}{2n + 1} \underset{x \in [0, 1]}{\iff} x = +\sqrt{\frac{1}{2n + 1}} \end{cases} }[/math] [math]\displaystyle{ \circledast = \lim_{n \rightarrow \infty} n\frac{1}{\sqrt{2n + 1}} \cdot \left(1 - \frac{1}{2n + 1}\right)^n \longrightarrow \infty \implies \text{No hi haurà conv. uniforme} }[/math] Hi haurà convergència uniforme a [math]\displaystyle{ [a, 1] \quad a \gt 0: \quad (\forall a \gt 0 \; \exists N \text{ tq } \frac{1}{\sqrt{2N + 1}} \lt a) }[/math]

Criteri de Cauchy

Definició: [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math] és uniformement de Cauchy si [math]\displaystyle{ \forall \varepsilon \gt 0 \; \exists N_\varepsilon \text{ tq } |f_n(x) - f_m(x)| \lt \varepsilon \quad \forall n, m \geq N_\varepsilon \quad \forall x }[/math].

Proposició: Sigui [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math] una successió de funcions tq [math]\displaystyle{ f_n(x) \longrightarrow f_\infty(x) }[/math] puntualment.

Aleshores: [math]\displaystyle{ f_n \longrightarrow \text{unif.} \implies f_n \text{ unif. de Cauchy} }[/math]

(O, equivalentment, [math]\displaystyle{ \sup | f_n(x) - f_m(x) | \lt \varepsilon \quad \forall n, m \geq N_\varepsilon }[/math])

Demostració

[math]\displaystyle{ \Rightarrow ] }[/math] [math]\displaystyle{ f_n \longrightarrow \text{ unif.} \implies \forall \varepsilon \gt 0 \; \exists N_\varepsilon \text{ tq } | f_n(x) - f_m(x) | \lt \varepsilon \quad \forall n, m \geq N_\varepsilon \quad \forall x \implies }[/math] [math]\displaystyle{ \implies | f_n(x) - f_m(x) | \leq | f_n(x) - f_\infty(x) | + | f_\infty(x) - f_m(x) | \lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \quad \forall n, m \geq n_\epsilon \forall x \implies (f_n) \text{ unif. de Cauchy} }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow ] }[/math] [math]\displaystyle{ (f_n) \text{ unif. de Cauchy } \implies (f_n(x)) \text{ és de Cauchy } \forall x \underset{\mathbb{R} \text{ complet}}{\implies} \exists \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f_\infty(x) }[/math] [math]\displaystyle{ (f_n) \text{ unif. de Cauchy} \implies \forall \varepsilon \gt 0 \; \exists N_\varepsilon \text{ tq } | f_n(x) - f_m(x) | \lt \frac{\varepsilon}{2} \quad \forall n, m \geq N_\varepsilon \quad \forall x \implies }[/math] [math]\displaystyle{ \implies -\frac{\varepsilon}{2} \lt f_n(x) - f_m(x) \lt \frac{\varepsilon}{2} \implies f_m(x) - \frac{\varepsilon}{2} \lt f_n(x) \lt f_m(x) + \frac{\varepsilon}{2} \implies }[/math] [math]\displaystyle{ \underset{\text{fent } n \rightarrow \infty}{\implies} f_\infty(x) - \frac{\varepsilon}{2} \leq f_n(x) \leq f_\infty(x) + \frac{\varepsilon}{2} \implies - \frac{\varepsilon}{2} \leq f_n(x) - f_\infty(x) \leq \frac{\varepsilon}{2} \implies }[/math] [math]\displaystyle{ \implies | f_n(x) - f_\infty(x) | \leq \frac{\varepsilon}{2} \lt \epsilon \quad \forall x, \quad \forall n \geq N_\varepsilon }[/math] ∎

Comentari: Si [math]\displaystyle{ f \in \mathcal(C)(\kappa, \mathbb{R}), \kappa \text{ compacte} }[/math], definim [math]\displaystyle{ || f ||_\infty = \sup_{x \in \kappa} | f(x) | }[/math]

Es pot veure (tema 2), que això és una norma (norma del suprem o norma de la convergència uniforme).

Tota norma indueix una distància: [math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{r} d(f, g) = || f - g ||_\infty \\ f_n \longrightarrow f \text{ unif.} \iff \underbrace{\sup | f_n(x) - f(x) |}_{= || f_n - f ||_\infty} \longrightarrow 0 \end{array}\right\} \implies (\mathcal{C}(\kappa, \mathbb{R}), || \cdot ||_\infty) \text{ és espai metric complet.} }[/math]

Teorema: (relació conv. uniforme i continuïtat) Si [math]\displaystyle{ f_n \longrightarrow f_\infty \text{ unif. i } f_n \text{ contínues } \forall x \in E \implies f \text{ contínua } \forall x \in E }[/math]

Demostració

[math]\displaystyle{ f_n \longrightarrow f_\infty \text{ unif.} \implies \forall \varepsilon \gt 0 \; \exists N_\varepsilon \text{ tq } | f_n(x) - f_\infty(x) | \lt \frac{\varepsilon}{3} \quad \forall x \in E \quad \forall n \geq N_\varepsilon }[/math] Sigui [math]\displaystyle{ a \in E }[/math]. [math]\displaystyle{ | f_\infty(x) - f_\infty(a) | \leq |f_\infty(x) - f_{N_\varepsilon}(x) | + | f_{N_\varepsilon} - f_{N_\varepsilon}(a) | + | f_{N_\varepsilon}(a) - f_\infty(a) | \lt \underbrace{\frac{\varepsilon}{3}}_{\text{unif.}} + \underbrace{\frac{\varepsilon}{3}}_{\text{continuïtat } f_{N_\epsilon}} + \underbrace{\frac{\varepsilon}{3}}_{\text{unif.}} = \varepsilon }[/math] ∎

Comentari:

1. Cal la convergència uniforme. Per exemple: [math]\displaystyle{ E = [0, 1]; f_n(x) = x^n \overset{\text{punt.}}{\longrightarrow} \begin{cases} 0 \quad x \neq 1 \\ 1 \quad x = 1 \end{cases} }[/math]. En aquest cas la convergència no és uniforme i la funció límit no és contínua.
2. Pot passar [math]\displaystyle{ f_\infty \text{ contínua}, f_n \longrightarrow f_\infty \text{ punt.} }[/math], però [math]\displaystyle{ f_n \not\to f_\infty \text{ unif.} }[/math]
   Per exemple: [math]\displaystyle{ f_n(x) = nx(1 - x^2)^n \longrightarrow f_\infty(x) = 0, \quad x \in [0, 1] }[/math] (és a dir, el recíproc no és cert).