709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Gravetat d'Einstein"
From Potatopedia
Tema 2. Gravetat d'Einstein (view source)
Revision as of 16:52, 10 November 2021
, 16:52, 10 November 2021Fi de la classe
(Fi de la classe) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 70: | Line 70: | ||
* $ds^2 = 0$: light-like, | * $ds^2 = 0$: light-like, | ||
* $ds^2 < 0$: space-like. | * $ds^2 < 0$: space-like. | ||
''Data: dimecres 10 de novembre'' | |||
Recordem: | |||
$$\eta(\vec{v}, \vec{w}) = \vec{v} \cdot \vec{w} = \eta_{\mu \nu} V^\mu W^\nu = v^0 w^0 - v^1 w^1 - v^2 w^2 - v^3 w^3.$$ | |||
$$||\vec{v}|| = \sqrt{|\eta(\vec{v}, \vec{v})|}$$ | |||
=== Derivada covariant === | |||
$$\nabla_\alpha V^\gamma := \partial_\alpha V^\gamma + \Gamma_{\alpha \beta}^\gamma V^\beta,$$ | |||
on $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ són els símbols de Christoffel. | |||
=== Geodèsica === | |||
Una geodèsica és una corba de distància extremal entre dos punts (normalment és la més curta). | |||
Equació de les geodèsiques: | |||
$$\frac{d^2 x^\lambda}{dt^2} + \gamma_{\mu \nu}^\lambda \frac{dx^\mu}{dt} \frac{dx^\nu}{dt} = 0.$$ | |||
=== Element de línia === | |||
$$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2 dt^2 - d\vec{r} \cdot d\vec{r},$$ | |||
on $d\vec{r} = (x, y, z)$. | |||
En el sistema de referència propi, $d\vec{r} = 0 \, \forall t$, així que $ds^2 = c^2 dt^2$. $\tau^2 = ds^2 / c^2$ és el temps propi al quadrat. Per tant, veiem que el temps propi és el mateix que el temps coordenat en aquest cas. | |||
Per als fotons: $c dt = dr$ i per tant $ds^2 = 0$, així que $d \tau = ds / c = 0$. | |||
Per derivar, hem de derivar respecte un cert temps. I l'únic temps que és universal és el temps propi, així que derivarem respecte aquest per mantenir el caràcter de "vectors". | |||
--- | |||
$$\left( \frac{c d\tau}{c dt} \right)^2 = 1 - \left( \frac{d \vec{r}}{c dt} \cdot \frac{d\vec{r}}{c dt} \right) = 1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{c^2},$$ | |||
amb $\vec{u} := \frac{d\vec{r}}{dt}$ la 3-velocitat d'un objecte en el S.R. $S$. | |||
Per tant: | |||
$$\left( \frac{c d\tau}{c dt} \right)^2 = \frac{1}{\gamma^2(\vec{u})},$$ | |||
amb $\gamma(\vec{u}) = \frac{1}{1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{u}}{c^2}}$. | |||
Recordem: $dt = \gamma(\vec{u}) d\tau$. | |||
== Quadrivectors bàsics de la relativitat especial == | |||
La quadriposició (4-posició) és: | |||
$$\vec{X} := (ct, \vec{r}).$$ | |||
En forma diferencial: | |||
$$(c d\tau)^2 = ||\vec{X}||^2 = (c dt)^2 - d\vec{r} \cdot d\vec{r}.$$ | |||
La 4-velocitat és: | |||
$$\vec{U} := \frac{d \vec{X}}{d\tau} = \frac{d \vec{X}}{dt} \underbrace{\frac{dt}{d\tau}}_{\gamma(\vec{u})} = \gamma(\vec{u}) (c, \vec{u}).$$ | |||
La seva norma és: | |||
$$||\vec{U}||^2 = \gamma(\vec{u})^2 (c^2 - \vec{u} \cdot \vec{u}) = c^2 \implies || \vec{U} || = c.$$ | |||
La massa inercial és: | |||
$$m(\vec{u}) := \gamma(\vec{u}) \cdot m_0, \quad \forall m_0 > 0$$ | |||
on $m_0$ és la massa en repós. | |||
En el cas dels fotons, la seva massa en repòs és $m_0 = 0$, i es pot definir la seva massa inercial. | |||
El 4-moment és: | |||
$$\vec{P} = m_0 \vec{U} = m_0 \gamma(\vec{u}) (c, \vec{u}) = (mc, m\vec{u}) = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right),$$ | |||
on $\vec{p}$ és el 3-moment relativista ($\vec{p} = \gamma m_0 \vec{u} = m \vec{u}$). | |||
La 4-força és: | |||
$$\vec{F} = \frac{d \vec{P}}{d \tau} = \gamma(\vec{u}) \left( \frac{1}{c} \frac{dE}{dt}, \frac{d \vec{p}}{dt} \right) = \gamma(\vec{u}) \left( \frac{\vec{f} \cdot \vec{u}}{c}, \vec{f} \right),$$ | |||
on $\vec{f} := \frac{d\vec{p}}{dt}$ és la 3-força. | |||
Efecte de localitat: les forces actuen de força local, i necessiten un cert temps per propagar els seus efectes. Principi rebutjat per la mecànica quàntica, però bàsica a la relativitat. Per això no acaben d'encaixar les 2 teories. | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
