709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Gravetat d'Einstein"
From Potatopedia
Tema 2. Gravetat d'Einstein (view source)
Revision as of 16:50, 11 November 2021
, 16:50, 11 November 2021Fi de la classe
(Fi de la classe) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 118: | Line 118: | ||
La 4-velocitat és: | La 4-velocitat és: | ||
$$\vec{U} := \frac{d \vec{X}}{d\tau} = \frac{d \vec{X}}{dt} \underbrace{\frac{dt}{d\tau}}_{\gamma(\vec{u})} = \gamma(\vec{u}) (c, \vec{u}).$$ | $$\vec{U} := \frac{d \vec{X}}{d\tau} = \frac{d \vec{X}}{dt} \underbrace{\frac{dt}{d\tau}}_{\gamma(\vec{u})} = \gamma(\vec{u}) (c, \vec{u}).$$ | ||
Diem que $\gamma \vec{u}$ és la velocitat pròpia del SRI que es mou amb velocitat $\vec{u}$, ja que és igual a $d\vec{x}/d\tau$. | |||
La seva norma és: | La seva norma és: | ||
| Line 137: | Line 139: | ||
Efecte de localitat: les forces actuen de força local, i necessiten un cert temps per propagar els seus efectes. Principi rebutjat per la mecànica quàntica, però bàsica a la relativitat. Per això no acaben d'encaixar les 2 teories. | Efecte de localitat: les forces actuen de força local, i necessiten un cert temps per propagar els seus efectes. Principi rebutjat per la mecànica quàntica, però bàsica a la relativitat. Per això no acaben d'encaixar les 2 teories. | ||
''Data: dijous 11 de novembre de 2021'' | |||
Treballant amb la 4-velocitat, tenim: | |||
$$\gamma c = \frac{d (ct)}{d \tau}.$$ | |||
== Diagrames d'espai-temps == | |||
[[File:Cosmo diagrama espai temps 1.svg|thumb|Diagrama espai temps on es mostra el con de llum, amb el passat, el present i el futur.]] | |||
Els diagrames de l'espai-temps també s'anomenen diagrames de Minkowski. | |||
"If U is the unit length on the axes of ct and x, then the unit length on the axes of ct' and x' is:" | |||
$$U' = U \sqrt{\frac{1 + \beta^2}{1 - \beta^2}}$$ | |||
[[File:Spacetime diagram of invariant hyperbola.png|thumb]] | |||
Hipèrboles del diagrama espai-temps: mateix temps propi (però fixem-nos que el temps coordenat —en el SRI S— és diferent). | |||
@TODO: Inserir diagrama de temps 2 | |||
'''Com comparem vectors ens espais corbats?''' | |||
* En espais corbats no podem simplement afegir o restar vectors ubicats en 2 punts diferents perquè els vectors de la base varien de punt a punt en l'espai. | |||
* Per comparar 2 vectors en punts diferents hem de fer el transport paral·lel d'un vector a l'altre. | |||
* En l'espai euclidià quan un vector es transporta paral·lelament al llarg d'una corba, tant les seves components $v^\alpha$ com els vectors de la base $e_\alpha$ queden inalterats. | |||
* En un espai corbat usarem la mateixa idea que d'espais euclidians i les traslladarem als espais corbats. En aquest cas hem de tenir en compte la variació de la base de punt a punt i, per tant, hem d'usar la derivada covariant. | |||
* Transport paral·lel: manera de transportar dades geomètriques per corbes suaus a una varietat. Si la varietat té una connexió afí (una derivada covariant) això permet transportar ... | |||
@TODO: Completar. O no. Són coses matemàtiques que probablement no usarem :) | |||
En un transport paral·lel el transport és depenent del camí (ex: a una esfera és evident). | |||
* Conseqüència de la impossibilitat de definir direccions: en un espai corbat no podem establir vectors posició entre 2 esdeveniments (punts de l'espai), a diferència de l'espai euclidià o l'espai de Minkowski. | |||
* Tampoc fa sentit mesurar distàncies entre dos punts com el mòdul del vector posició entre ambdós. Tampoc es pot derivar temporalment el vector de posició. | |||
* Si l'espai és corbat ni tan sols podem utilitzar la longitud de la geodèsica que uneix els dos punts per definir distàncies. | |||
** La distància a una galàxia és de 1 milió anys-llum: estem establint una relació física/distància entre 2 esdeveniments (llum surt de la galàxia, llum arriba aquí). La llum descriu una geodèsica nul·la. | |||
* Per evitar aquestes contradiccions: haurem de traslladar al llenguatge de la geometria diferencial els principis (clàssics) utilitzats per calcular les magnituds físiques, per poder fer física en un espai-temps corbat (i.e. en una mètrica general Riemanniana). | |||
** En el cas de les distàncies un principi serà comparar brillantors absolutes amb aparents. Veurem (tema 3) que diferents principis porten a resultats diferents (això no passa clàssicament, on la definició de distància és única). Definirem distàncies de lluminositats i distàncies angulars (definides amb la relació entre radi aparent, i l'angle que sosté l'objecte). | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
