709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Gravetat d'Einstein"
From Potatopedia
Tema 2. Gravetat d'Einstein (view source)
Revision as of 16:52, 17 November 2021
, 16:52, 17 November 2021Fi de la classe
(Fi de la classe) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 201: | Line 201: | ||
== Equacions de camp d'Einstein (EFE) == | == Equacions de camp d'Einstein (EFE) == | ||
Sigui $R_{\mu \nu}$ el tensor de curvatura de Ricci (covariant: índexs a sota), $g_{\mu \nu}$ la mètrica (incògnites), $R$ la curvatura de l'espai-temps (escalar) i $T_{\mu \nu}$ el tensor impuls-energia. | Sigui $R_{\mu \nu}$ el tensor de curvatura de Ricci (covariant: índexs a sota), $g_{\mu \nu}$ la mètrica (incògnites), $R = \text{Tr}(R_{\mu \nu})$ la curvatura de l'espai-temps (escalar) i $T_{\mu \nu}$ el tensor impuls-energia. | ||
$$R_{\mu \nu} + \alpha g_{\mu \nu} R + \beta g_{\mu \nu} = \gamma T_{\ | $$R_{\mu \nu} + \alpha g_{\mu \nu} R + \beta g_{\mu \nu} = \gamma T_{\mu \nu}$$ | ||
Equació de Poisson (clàssica): | Equació de Poisson (clàssica): | ||
| Line 217: | Line 217: | ||
Si el camp gravitatori és intens, com el terme de la constant cosmològic és feble, és com si no hi fos. Però a nivell de tot l'univers, on la densitat mitja és de 4 protons per metre cúbic (i és tan baixa) la constant juga un paper i frena l'expansió/contracció de l'univers. | Si el camp gravitatori és intens, com el terme de la constant cosmològic és feble, és com si no hi fos. Però a nivell de tot l'univers, on la densitat mitja és de 4 protons per metre cúbic (i és tan baixa) la constant juga un paper i frena l'expansió/contracció de l'univers. | ||
''Data: 17 de novembre de 2021'' | |||
L'expansió de l'univers està sent accelerada realment, així que la constant cosmològica no és 0. | |||
Fluids perfectes, als que podem atribuir una equació d'estat. No soporta esforços tallants (shear stresses, esfuerzos de cizalladura), així que $T_{\mu \nu}$ serà simètric i diagonal. | |||
Definició: el tensor d'Einstein és $G_{\mu \nu} := R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R = 8 \pi T_{\mu \nu}$ (suposant que el terme de la constant cosmològica no està present). | |||
Exemple Terra: | |||
$$\frac{1}{R_c} = \frac{g_\oplus}{c^2} = \frac{G M_\oplus}{c^2 R_\oplus^2} = \frac{R_S}{2 R_\oplus^2},$$ | |||
on $R_S$ és el radi de Schwarzschild: | |||
$$c^2 = v_{cir}^2 = \frac{GM}{R_S} \implies R_S = \frac{GM}{c^2}$$ | |||
En el cas de la Terra, $R_{S, \oplus} \sim 9 \text{ mm}$, $R_{c, \oplus} \sim 9 \times 10^{12} \text{ km}$. | |||
--- | |||
Principi cosmològic: l'univers ha de ser uniforme (homogeni i isòtrop) a les grans escales. | |||
* Homogeni: mateixes propietats independentment de l'espai, isòtrop: independent de la direcció. | |||
** Des de la Terra podem verificar la isotropia, però no l'homogeneïtat. Però recuperem el principi copernicà que no som el centre del món, així que en qualsevol altre punt també hem de tenir homogeneïtat. | |||
* Per què a les grans escales? Perquè a petites escales evidentment no ho tenim. | |||
=== La mètrica Freedmann-Lemaître-Robertson-Walker === | |||
Per obligació, ens movem en relació amb el fluid (punt de vista lagrangià), ja que no tenim cap volum extern a l'univers on estigui embedit i poguem fer referència a ell. | |||
Observadors fonamentals: $ds^2 = c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2$ (no es mou respecte l'espai). | |||
$t$ acabarà sent un temps cosmològic comú a tots (ens podem posar d'acord en un temps universal! :D) | |||
La mètrica permet separar la component espacial de la temporal. Podem estudiar l'univers amb talls a certs temps, i estudiar l'univers a un temps fixat doncs. | |||
La mètrica és: | |||
$$ds^2 = c^2 dt^2 - R^2(t) \underbrace{\left[ \frac{dr'^2}{1 - k' r'^2} + r'^2 (\overbrace{d\theta^2 + \sin^2 \theta d\psi^2}^{d \Theta^2}) \right]}_{d \Sigma^2}$$ | |||
$R^2(t)$ té unitats de $L^2$ (escala de l'univers), $\psi \in [0, 2 \pi)$, $\theta \in [0, \pi]$, $r' := \frac{r}{R_0}$, on $R_0$ és l'escala actual; $k' \in \{ +1, 0, -1 \}$ és l'índex de curvatura espacial (adimensional, ens diu si la curvatura és positiva, nul·la o negativa). | |||
'''Notació:''' totes les variables que portin sub-0 es refereixen a valors actuals! | |||
Les incògnites seran l'escala de l'univers i l'índex de curvatura espacial (que serà un paràmetre, i podrem estudiar les solucions en funció d'aquest índex). | |||
Simplifiquem la forma de treballar: fem un factor d'escala còsmic (de l'univers) adimensional: | |||
'''Definició:''' factor d'escala còsmic $a(t)$ és: | |||
$$a(t) := \frac{R(t)}{R_0},$$ | |||
que estarà entre 0 i 1 en el passat (1 actualment). | |||
$$ds^2 = c^2 dt^2 - a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 d\Theta^2 \right],$$ | |||
on $k = k' / R_0^2$. Al final, de la $k$ només ens interessa el signe perquè la $R_0$ és arbitrària, i doncs $k$ també és arbitrari. | |||
En 4D (proposició): | |||
$$R = \frac{6}{r^2 a^2} (\ddot{a} a + \dot{a}^2 + k r^2),$$ | |||
on $k$ és la curvatura 3D-espacial (que veurem que és 0!). És a dir, la curvatura de l'univers al final serà positiva, però la de l'espai és 0 (ja ho veurem!). | |||
--- | |||
Parlem 4 minutets del tensor impuls-energia $T_{\mu \nu}$. | |||
Ja hem dit que serà simètric, i que com serà format per fluids perfectes (no shear stress), no només serà simètric sinó que serà diagonal. | |||
$$T_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{pmatrix}.$$ | |||
El que conté el tensor són les incògnites. | |||
Després hi ha l'eq. d'estat del fluid que ens dona una relació $p = f(\rho)$. | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
