709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Gravetat d'Einstein"
From Potatopedia
Tema 2. Gravetat d'Einstein (view source)
Revision as of 16:54, 18 November 2021
, 16:54, 18 November 2021Fi de la classe
(Fi de la classe) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 236: | Line 236: | ||
--- | --- | ||
Principi cosmològic: l'univers ha de ser uniforme (homogeni i isòtrop) a les grans escales. | Principi cosmològic: l'univers ha de ser uniforme ('''homogeni''' i '''isòtrop''') <span style="color: red;">'''a les grans escales'''</span>. | ||
* Homogeni: mateixes propietats independentment de l'espai, isòtrop: independent de la direcció. | * Homogeni: mateixes propietats independentment de l'espai, isòtrop: independent de la direcció. | ||
| Line 282: | Line 282: | ||
Després hi ha l'eq. d'estat del fluid que ens dona una relació $p = f(\rho)$. | Després hi ha l'eq. d'estat del fluid que ens dona una relació $p = f(\rho)$. | ||
--- | |||
''Data: 18 de novembre de 2021'' | |||
Tenim com a tensor impuls-energia: | |||
$$T_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} \rho_0 c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p_0 \end{pmatrix},$$ | |||
on $\rho_0$ és la densitat mesurada en el sistema de referència i $p_0$ la pressió mesurada en el SR. Veurem després que de fet $\rho_0 = \rho$. En forma covariant: | |||
$$T^{\mu \nu} = \left( \rho_0 + \frac{p_0}{c^2} \right) U^\mu U^\nu - p_0 \eta^{\mu \nu}.$$ | |||
En el cas general, tenim: | |||
$$T^{\mu \nu} = \left( \rho_0 + \frac{p_0}{c^2} \right) U^\mu U^\nu - p_0 g^{\mu \nu}.$$ | |||
Recordem que $g^{\mu \nu}$ són les coordenades del tensor $g^{-1}$. | |||
Exemple de baixar/pujar índexos (passar d'índexos contravariants a covariants i a la inversa): | |||
$$U_\mu = g_{\mu \nu} U^\nu, \quad T_{\mu \nu} = g_{\mu \alpha} g_{\nu \beta} T^{\alpha \beta}.$$ | |||
=== Eqs. de Friedmann === | |||
$$\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 + \frac{K c^2}{a^2} - \frac{\Lambda c^2}{3} = \frac{8 \pi G}{3} \rho, \quad \text{(component 0,0)},$$ | |||
$$2 \frac{\ddot{a}}{a} + \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 + \frac{kc^2}{a^2} - \Lambda c^2 = - \frac{8 \pi G}{c^2} p, \quad \text{(components diagonal)}.$$ | |||
Això es pot expressar també com: | |||
$$\dot{a}^2 + kc^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho a^2 + \frac{\Lambda c^2 a^2}{3}, \; \text{(1)}$$ | |||
$$\ddot{a} = - \frac{4 \pi}{3} G \left( \rho + 3 \frac{p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2 a}{3}. \; \text{(2)}$$ | |||
(2) és l'equació del moviment, i (1) la integral primera (com a molts llocs, tindrem que és l'energia del sistema). | |||
Notem que diverses de les variables depenen del temps ($a, \rho, p$). La constant cosmològica no la considerarem depenent del temps (per alguna cosa es diu constant :) ). Les incògnites són les $a(t), k$ però al final de la $k$ només ens interessa saber si és positiva, negativa o 0. | |||
Sovint la primera equació, utilitzant la 1a llei de la termodinàmica ($dU = T dS - p dV$), s'expressa d'una altra manera (suposem que $\Lambda = 0$). | |||
Com és una expansió adiabàtica, tenim $T dS = 0$, així que: | |||
$$dU = - p dV \implies d(\rho c^2 a^3) = - p d a^3 \implies$$ | |||
$$ \implies \dot{\rho} = - 3 \frac{\dot{a}}{a} \left( \rho + \frac{p}{c^2} \right). \; (3)$$ | |||
També tenim: | |||
$$3 \frac{p}{c^2} a \dot{a} = - 3 \rho a \dot{a} - \dot{\rho} a^2.$$ | |||
De l'equació (3) també obtenim: | |||
$$\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \dot{a}^2 = \frac{d}{dt} \left( \frac{4 \pi}{3} G \rho a^2 \right) \rightarrow (1)$$ | |||
Hem suposat que $\Lambda = 0$, però la podríem haver absorbit també dins d'una altra de les altres variables per tal de conservar-la (és a dir, no perdem generalitat). | |||
--- | |||
L'equació d'estat d'un fluid perfecte s'escriu com: | |||
$$p = w \rho c^2,$$ | |||
on $w$ és un paràmetre adimensional que va normalment de -1 a 1. | |||
Amb aquesta assumpció, l'equació (2) es pot escriure com (suposem de nou $\Lambda = 0$): | |||
$$\frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4 \pi G}{3} (1 + 3w) \rho. \; (2')$$ | |||
La lambda formarà part de la pressió de fet (o w). | |||
La diferència en eqs. d'estat està clar que en una època mana un fluid, en una altra un altre, etc. Ara està començant a emanar el fluid de la constant cosmològica (SPOILER: el buit!). | |||
La nostra és una etapa anòmala perquè ara tenim: | |||
* Un 30% de contingut de massa-energia associat a un fluid que és atractiu gravitatòriament | |||
** 5%: barions (la matèria de nosaltres, i tot el que ens envolta, estrelles i galàxies) | |||
** 25%: matèria fosca (def: matèria que no interacciona amb forces electromagnètiques; ex: neutrins, tot i que tot no pot ser neutrins perquè no explicaria algunes coses, així que deuen ser també altres tipus de partícules que no s'han descobert)). | |||
* L'altre part (70%): el buit, que té efectes antigravitatoris! | |||
Així doncs estem en una transició, i hem de tenir en compte els 2 fluids per poder descriure-ho, però en un futur no molt llunyà cosmològicament només parlarem de l'energia fosca. Això no vol dir que si predomina un no vol dir que no existeix l'altre tipus de massa-energia. | |||
Però normalment les diferents etapes es poden explicar amb 1 sol fluid (ara estem en època rara, recordem!!). | |||
La matèria fosca no es dilueix, però la matèria i energia fosca sí es dilueixen (com el cub a la inversa) i els fotons (a la cuarta potència inversa). | |||
3 equacions d'estat que haurem de tenir en compte (en ordre de primordialitat per èpoques): | |||
* Fotons | |||
* Barions/matèria fosca | |||
* Energia fosca | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
