709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Gravetat d'Einstein"
From Potatopedia
Tema 2. Gravetat d'Einstein (view source)
Revision as of 16:22, 24 November 2021
, 16:22, 24 November 2021Partial save
(Fi de la classe) |
(Partial save) |
||
| Line 513: | Line 513: | ||
Aquesta equació ens dona l'ordre de les majors contribucions. | Aquesta equació ens dona l'ordre de les majors contribucions. | ||
''Data: dimecres 24 de novembre de 2021'' | |||
Tenim: | |||
$$H(z) = H_0 E(z).$$ | |||
$$E(z) = \sqrt{\rho_{crit}(z)}{\rho_{crit}(z_0)}$$ | |||
@TODO: Inserir $\Omega_{\Lambda 0}$. | |||
Teníem que $\frac{\dot{a}}{a} = \frac{\frac{da}{dt}}{a}$. | |||
$$t = \int_0^a \frac{da}{a H} = \frac{1}{H_0} \int_z^\infty \frac{dz'}{(1 + z') E(z')} = \frac{1}{H_0} \int_0^a \frac{da}{a (\Omega_{m0} a^{-3} + \Omega_{r0} a^{-4} + \Omega_{\Lambda o} + \Omega_k a^{-2})^{1/2}}.$$ | |||
És una integral el·líptica de 3a espècie (no té solució analítica, però a un dels següents temes ho desenvoluparem localment). | |||
{| class="wikitable" | |||
|+ Espècies i factor d'escala | |||
|- | |||
! Espècie !! $a(t) \propto$ | |||
|- | |||
| Radiació || $t^{1/2}$ | |||
|- | |||
| Matèria || $t^{2/3}$ | |||
|- | |||
| Curvatura || $t$ | |||
|- | |||
| Buit ($\Lambda$) || $\exp(H t)$ ($H$ constant) | |||
|} | |||
'''Chalton-Turner:''' si $k = 0$ ($\Omega_m + \Omega_\Lambda = 1$, la radiació té contribució negligible), llavors tenim una solució analítica: | |||
$$H_0 t(z) = \frac{2}{3} \frac{1}{(1 - \Omega_{m0})^{1/2}} \log \left[ \frac{Y^{1/2} + (Y + \Omega_{m0})^{1/2}}{\Omega_{m0}^{1/2}} \right],$$ | |||
amb $Y := \Omega_{\Lambda 0} (1 + z)^{-3}$. | |||
Per totes les '''omegas''' tenim: | |||
$$\Omega(z) - 1 = (\Omega_0 - 1) \frac{(1 + z)^2}{E^2(z)}.$$ | |||
Si volem, podem considerar $\Omega(z) = \sum_i \Omega_{w_i}$ (llevat de la curvatura). | |||
En el límit de l'anterior expressió: | |||
$$\lim_{z \to \infty} \Omega(z) = 1.$$ | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
