709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Gravetat d'Einstein"
From Potatopedia
Tema 2. Gravetat d'Einstein (view source)
Revision as of 16:50, 22 November 2021
, 16:50, 22 November 2021Fi de la classe
(Fi de la classe) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 435: | Line 435: | ||
Millor aproximació de la mètrica local al voltant d'una galàxia: la de Schwarzschild (no expandeix). L'univers s'expandeix però les coses que hi ha dintre no (no tractem amb la mètrica de FLRW). | Millor aproximació de la mètrica local al voltant d'una galàxia: la de Schwarzschild (no expandeix). L'univers s'expandeix però les coses que hi ha dintre no (no tractem amb la mètrica de FLRW). | ||
=== Redshift === | |||
Substitut de la distància que no podem definir absolutament. | |||
Es defineix el redshift com: | |||
$$z := \frac{\Lambda_{em} - \Lambda_{obs}}{\Lambda_{obs}}; \quad (\lambda_{obs} > \lambda_{emi}).$$ | |||
Galàxia emissora: $p(r, \theta, \phi)$ (posem l'origen a l'observador). És comòbil (la velocitat peculiar és $v_{pec} = 0$). | |||
Distància pròpia: $\phi(t) = \text{Distància comòbil} \times a(t).$ | |||
Per als fotons: | |||
$$ds = d\tau = d\theta = d\phi = 0$$ | |||
$$0 = (c dt)^2 - a^2(t) \frac{dr^2}{1 - kr^2}$$ | |||
Distància comòbil viatjada pels fotons des de l'emissió: | |||
$$\chi = \int_{t_{emi}}^{t_{obs}} \frac{c dt'}{a(t)} = \int_r^0 \frac{dr'}{(1 - kr')^{1/2}} = f(r; k) = \text{const.},$$ | |||
on $dr'$ és la distància coordenada. | |||
$t'_{emi} = t_{emi} + \Delta t_{emi}$. | |||
$$\int_{t_e + \Delta t_{emi}}^{t_0 + \Delta t_0} \frac{c dt}{a(t)} = f(r; k) = \text{const.} \implies$$ | |||
$$\implies \frac{\Delta t_0}{a_0} = \frac{\Delta t_e}{a(t_e)}.$$ | |||
$$\int_{t_0 + \Delta t_0}^{t_0 + \Delta t_0} = \int_{t_0}^{t_e} + \int_{t_0}^{t_0 + \Delta t_0} | |||
- \int_{t_e}^{t_0 + \Delta t_e} \underset{\Delta t \ll 1}{\approx} \int_{t_0}^{t_e} + c \underbrace{\left[ \frac{\Delta t_0}{a_0} - \frac{\Delta t_e}{a(t_e)} \right]}_{\approx 0}$$ | |||
Per tant: | |||
$$\begin{cases} \nu_e a_e = \nu_0 a_0, \\ \frac{a_e}{\lambda_e} = \frac{a_0}{\lambda_0} \end{cases}$$ | |||
Tenim: | |||
$$1 + z = \frac{a_0}{a(t)} = \frac{1}{a(t)}.$$ | |||
La longitud d'ona de de Broglie és: | |||
$$\lambda_{dB} \equiv \frac{h}{p} \implies \frac{\lambda_0}{\lambda_e} = \frac{a_0}{a_e} = \frac{p_e}{p_0}.$$ | |||
Com $p \propto \frac{1}{v_{pec}}$ (moment lineal): | |||
$$p \propto v_{pec} \propto \frac{1}{\alpha}.$$ | |||
Fotons: | |||
$$h \nu = pc = E \propto \frac{1}{a},$$ | |||
és a dir, no perden velocitat sinó que el que perden és freqüència. | |||
Resumint: si les partícules tenen massa, l'expansió de l'univers esborra les seves velocitats peculiars. En el cas dels fotons, no es modifica aquesta velocitat. Li afecta disminuint la freqüència, que li treu energia. | |||
--- | |||
Fem $\Lambda = 0$. | |||
$$(1) \implies \frac{\dot{a}^2}{2} - \frac{4 \pi G}{3} \rho a^2 = - \frac{kc^2}{2} \iff$$ | |||
$$\iff \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 \left[ \frac{\rho}{\rho_{crit}} - 1 \right] = \frac{kc^2}{a^2},$$ | |||
amb la densitat crítica: | |||
$$\rho_{crit} := \frac{3}{8 \pi G} \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{3 H(t)^2}{8 \pi G}.$$ | |||
Depenent del seu valor tenim curvatura positiva, negativa o nul·la. | |||
Definim el '''paràmetre de densitat''': | |||
$$\Omega(t) := \frac{\rho(t)}{\rho_{crit}(t)}.$$ | |||
Amb aquesta definició, podem escriure l'eq. (1) com: | |||
$$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \left[ \Omega_{w0} \left( \frac{a_0}{a} \right)^{3 + 3w} + (1 - \Omega_{w0}) \right],$$ | |||
on $\Omega_{w0}$ és el paràmetre de densitat actual per a un fluid d'eq. d'estat $w$ ($\sum_{w_i} \Omega_i$ suma de fluids). | |||
També la podem escriure com: | |||
$$H^2(t) = H_0^2 \left[ \Omega_{w0} \left( \frac{a}{a_0} \right)^{3 + 3w} + (1 - \Omega_{w0}) \left( \frac{a_0}{a} \right)^2 \right].$$ | |||
Per primera vegada podem definir el paràmetre de densitat associada a la curvatura: | |||
$$\Omega_{k0} := 1 - \Omega_{w0} = - \frac{kc^2}{a_0^2 H_0^2}.$$ | |||
Això implica: | |||
$$\Omega_k + \sum_{w_i} \Omega_{w_i} = 1 \; \forall t.$$ | |||
$$\Omega_r(t) = - \frac{kc^2}{a^2 H^2}.$$ | |||
Comparant exponents: $2 = 3 + 3 w_k \implies w_k = - 1/3$. | |||
$$H^2(z) = H_0^2 \underbrace{[\Omega_{m0} (1 + z)^3 + \Omega_{r0} (1 + z)^4 + \Omega_{\Lambda 0} + \Omega_{k0}(1 + z)^2]}_{E^2(z)},$$ | |||
on $\Omega_{m0}$ correspon a la matèria, $\Omega_{r0}$ correspon a la radiació i partícules relativistes i definim $E(z)$ com el '''paràmetre reduït de Hubble'''. | |||
Aquesta equació ens dona l'ordre de les majors contribucions. | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
