Tema 3. Cosmologia física

Data: dimecres 24 de novembre de 2021

Temps de Hubble: $$\tau := \frac{1}{H_0}.$$

$$H_0 = \frac{\dot{a_0}}{a_0} \sim 70 \text{km/s/Mpc}.$$

Si fem la integral del tema anterior (mateix dia) amb límits diferents: $$\int_0^{a_0} da \implies t_0 = \frac{1}{H_0} \underbrace{F(\Omega_{r0}, \Omega_{m0}, \Omega_{\Lambda 0}, \ldots)}_{O(1)}.$$

WMAP (2015): probe més rica per tal d'extreure paràmetres cosmològics (és una probe que estudia el fons còsmic de microones). Resultats: $$(\Omega_{m0}, \Omega_{\Lambda 0}) = (0.3086, 0.6914).$$ En aquest cas, [math]\displaystyle{ F(\Omega_{m0}, \Omega_{\Lambda 0}) = 0.956 \implies H_0 \cdot t_0 \approx 1 }[/math] (això és casualitat).

Cas hipotètic: $F(1, 0) = 2/3$.

Anem a introduir un altre paràmetre relacionat amb el temps de Hubble, la longitud o radi de Hubble: $$R_H := \frac{c}{H_0}.$$

Interpretació física del radi de Hubble: l'esfera de Hubble separa la regió de l'univers que s'està expandint a velocitats supralumíniques de les que s'està expandint a velocitats sublumíniques (ho veurem el proper dia). Li hauríem de dir més aviat ritme i no velocitat.

NOTA: Recordem que es refereix a l'expansió en quant a la mètrica.

El radi de Hubble no s'ha de confondre amb l'horitzó de partícules o cosmològic: la màxima distància des de la qual qualsevol partícula (ex: fotons, o barions) ha viatjat cap a nosaltres en tota l'edat de l'univers. Per tant, l'horitzó de partícules ens defineix la mida de l'univers causal. Per això també s'anomena horitzó de l'univers causal.

Radi de l'horitzó de l'univers causal: $$R_c(t) = a(t) \int_0^t \frac{c dt'}{a(t')} = \frac{c}{H_0} \frac{a(t)}{a_0} \int_0^{a(t)} \frac{da'}{a' [\Omega_{w0} (a_0 / a')^{1 + 3w} + (1 - \Omega_{w0})]^{1/2}} \approx 3 \frac{1 + w}{1 + 3w} ct.$$

Com durant la major part del temps hem tingut $w \approx 0$ (la matèria dominava): $$R_c(t) \approx 3ct.$$

Data: dijous 25 de novembre de 2021

Nota: L'horitzó de l'univers casual té en compte l'efecte de l'expansió també!

L'horitzó d'esdeveniments representa el límit en l'espai-temps més enllà del qual els esdeveniments que passen a partir d'aquest límit no podran afectar a l'observador en el futur. És la mateixa integral que en l'horitzó de partícules, però entre el temps actual i el futur (temps límit). En un univers com el nostre podríem posar un infinit a l'integral.

L'horitzó de partícules vam veure que és: $$R_p(t_0) = a(t_0) \int_0^{t_0} \frac{c dt'}{a(t')} \sim 46 \text{ Ga.l. (giga anys llum)}.$$

L'horitzó d'esdeveniments és: $$R_E(t_0) = a(t_0) \int_{t_0}^{t_{max} = \infty} \frac{c dt'}{a(t')} \sim 16 \text{ Ga.l}.$$

Si passem l'última expressió a redshift: $z \sim 1.8$ (recordem que $z \in [0, \infty]$ i l'infinit és el del Big Bang). Per tant, els esdeveniments que passen ara no els rebrem per redshifts superiors a 1.8 (però actualment! Això no diu res d'esdeveniments passats).

Els valors de Giga anys llum són distàncies del radi dels punts actualment (tot i que sen's hagi enviat l'informació abans (en el cas de l'horitzó causal)).

Distància comòbil: constant durant el temps. Distància pròpia: distància comòbil multiplicada per $a$ per tal de tenir en compte que les rajoles s'expandeixen. (veure això)

@TODO: Inserir diagrames full.

El Hubble va donar les dades i veia que les galàxies s'allunyaven, però deixa als experts la interpretació de l'univers en expansió. Com vam dir convenç a l'Einstein posteriorment que l'univers s'està accelerant.

Llei de Hubble-Lemaître

Treballem en un entorn local.

La distància pròpia és: $$d_p(t) = a(t) f(r, k),$$ on $f(r, k)$ és la distància comòbil.

Si derivem respecte del temps coordenat, tenim la velocitat radial (també anomenada velocitat de recessió): $$v_r = \dot{a}(t) f(r, k).$$

Com estem treballant localment, tenim $k = 0$ (localment Minkowski) i per l'efecte Doppler (local) $v_r = c z \approx \dot{a}(t_0) r$. Multiplicant per $a_0/a_0$ tenim: $$\boxed{v_r = c z \approx H_0 d_p(t_0).} \; \text{(llei de Hubble)}$$

Pregunta: si $z = 1$, quina és la velocitat de recessió de les galàxies? Velocitat de la llum (ens dona el radi de Hubble).

NOTA: No és una velocitat peculiar, la galàxia està enganxada a la "malla".

Les galàxies tenen velocitat local $v_{local} \ll c$. Els fotons tenen $v_{local} = c$. L'esfera de Hubble va creixent i el fotó es va apropant i, per tant, hi ha un moment que el fotó travessa el radi de Hubble arribant a l'esfera subluminal.

Conclusió: el fet que un objecte estigui a la regió súperluminal no vol dir que no es pugui veure (els seus fotons sí que poden travessar el radi de Hubble).

Hem estat parlant de 3 distàncies:

• Coordenada
• Comòbil
• Pròpia

Demà introduirem 2 distàncies físiques, i ara farem els preliminars per tal de poder-les introduir.

$$H^2 = \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{k c^2}{a^2},$$ $$\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4 \pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) = - \frac{4 \pi G}{3} \rho (1 + 3w).$$

$$\rho_w(t) = \rho_{w0} a^{-3 (1 + w)}.$$

Cosmografia

La cosmografia és fer una cosmologia local :)

Al voltant de la nostra posició: $$a(t) = a_0 + \frac{1}{1!} \left.\frac{da}{dt}\right|_{t = t_0} (t - t_0) + \frac{1}{2!} \left. \frac{d^2 a}{dt^2} \right|_{t = t_0} (t - t_0)^2 + O(t^3).$$

Ens quedarem en primer ordre.

Introduïm una quantitat (això és històric). Ja sabíem que $H_0 = \dot{a}_0 / a_0$. El paràmetre de decelaració és: $$q_0 := - \frac{\ddot{a}_0 a_0}{\dot{a}_0^2}.$$

De fet, això és equivalent a les $\Omega$'s, però històricament s'utilitzava $q_0$ perquè només hi havia un fluid i com només era matèria, l'univers s'expandia desacceleradament (d'aquí el menys). Posteriorment veurem la relació entre els 2 paràmetres.

Aleshores, podem escriure l'$a(t)$ com: $$a(t) = a_0 [1 + (t - t_0)H_0 - \frac{(t - t_0)^2}{2} q_0 H_0^2 + \ldots].$$

També sabem $1 + z = a_0/a$, i $a_0 = 1$. Per tant: $$1 + z = a^{-1} = [1 + \underbrace{(t - t_0)H_0 - \frac{(t - t_0)^2}{2} q_0 H_0^2 + \ldots}_{x \ll 1}]^{-1}.$$

Anomenem $x$ al terme subratllat (variable per fer la substitució només, no té cap significat). Aleshores, com $(1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 + \ldots$ ($x \ll 1$): $$z = H_0 (t_0 - t) + \frac{(t_0 - t)^2}{2} q_0 H_0^2 + \ldots + (t_0 - t)^2 H_0^2 + \ldots =$$ $$= H_0 (t_0 - t) + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0^2 (t_0 - t)^2 + \ldots + O(t^3) \implies$$ $$\boxed{= H_0 (t_0 - t) \left[ 1 + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0 (t_0 - t) + \ldots \right] \implies}$$ $$\implies t_0 - t = \frac{z}{H_0} \left[ 1 + \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0 (t_0 - t) + \ldots}_{\tilde{x}} \right]^{-1}.$$

De nou amb la mateixa aproximació ($\tilde{x} \ll 1$): $$ \boxed{t_0 - t(z) = \frac{1}{H_0} \left[ z - \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) z^2 + \ldots \right]} $$ que s'anomena look back time o temps d'observació.