Tema 3. Cosmologia física
Data: dimecres 24 de novembre de 2021
Temps de Hubble: $$\tau := \frac{1}{H_0}.$$
$$H_0 = \frac{\dot{a_0}}{a_0} \sim 70 \text{km/s/Mpc}.$$
Si fem la integral del tema anterior (mateix dia) amb límits diferents: $$\int_0^{a_0} da \implies t_0 = \frac{1}{H_0} \underbrace{F(\Omega_{r0}, \Omega_{m0}, \Omega_{\Lambda 0}, \ldots)}_{O(1)}.$$
WMAP (2015): probe més rica per tal d'extreure paràmetres cosmològics (és una probe que estudia el fons còsmic de microones). Resultats: $$(\Omega_{m0}, \Omega_{\Lambda 0}) = (0.3086, 0.6914).$$ En aquest cas, [math]\displaystyle{ F(\Omega_{m0}, \Omega_{\Lambda 0}) = 0.956 \implies H_0 \cdot t_0 \approx 1 }[/math] (això és casualitat).
Cas hipotètic: $F(1, 0) = 2/3$.
Anem a introduir un altre paràmetre relacionat amb el temps de Hubble, la longitud o radi de Hubble: $$R_H := \frac{c}{H_0}.$$
Interpretació física del radi de Hubble: l'esfera de Hubble separa la regió de l'univers que s'està expandint a velocitats supralumíniques de les que s'està expandint a velocitats sublumíniques (ho veurem el proper dia). Li hauríem de dir més aviat ritme i no velocitat.
NOTA: Recordem que es refereix a l'expansió en quant a la mètrica.
El radi de Hubble no s'ha de confondre amb l'horitzó de partícules o cosmològic: la màxima distància des de la qual qualsevol partícula (ex: fotons, o barions) ha viatjat cap a nosaltres en tota l'edat de l'univers. Per tant, l'horitzó de partícules ens defineix la mida de l'univers causal. Per això també s'anomena horitzó de l'univers causal.
Radi de l'horitzó de l'univers causal: $$R_c(t) = a(t) \int_0^t \frac{c dt'}{a(t')} = \frac{c}{H_0} \frac{a(t)}{a_0} \int_0^{a(t)} \frac{da'}{a' [\Omega_{w0} (a_0 / a')^{1 + 3w} + (1 - \Omega_{w0})]^{1/2}} \approx 3 \frac{1 + w}{1 + 3w} ct.$$
Com durant la major part del temps hem tingut $w \approx 0$ (la matèria dominava): $$R_c(t) \approx 3ct.$$
Data: dijous 25 de novembre de 2021
Nota: L'horitzó de l'univers casual té en compte l'efecte de l'expansió també!
L'horitzó d'esdeveniments representa el límit en l'espai-temps més enllà del qual els esdeveniments que passen a partir d'aquest límit no podran afectar a l'observador en el futur. És la mateixa integral que en l'horitzó de partícules, però entre el temps actual i el futur (temps límit). En un univers com el nostre podríem posar un infinit a l'integral.
L'horitzó de partícules vam veure que és: $$R_p(t_0) = a(t_0) \int_0^{t_0} \frac{c dt'}{a(t')} \sim 46 \text{ Ga.l. (giga anys llum)}.$$
L'horitzó d'esdeveniments és: $$R_E(t_0) = a(t_0) \int_{t_0}^{t_{max} = \infty} \frac{c dt'}{a(t')} \sim 16 \text{ Ga.l}.$$
Si passem l'última expressió a redshift: $z \sim 1.8$ (recordem que $z \in [0, \infty]$ i l'infinit és el del Big Bang). Per tant, els esdeveniments que passen ara no els rebrem per redshifts superiors a 1.8 (però actualment! Això no diu res d'esdeveniments passats).
Els valors de Giga anys llum són distàncies del radi dels punts actualment (tot i que sen's hagi enviat l'informació abans (en el cas de l'horitzó causal)).
Distància comòbil: constant durant el temps. Distància pròpia: distància comòbil multiplicada per $a$ per tal de tenir en compte que les rajoles s'expandeixen. (veure això)
@TODO: Inserir diagrames full.
El Hubble va donar les dades i veia que les galàxies s'allunyaven, però deixa als experts la interpretació de l'univers en expansió. Com vam dir convenç a l'Einstein posteriorment que l'univers s'està accelerant.
Llei de Hubble-Lemaître
Treballem en un entorn local.
La distància pròpia és: $$d_p(t) = a(t) f(r, k),$$ on $f(r, k)$ és la distància comòbil.
Si derivem respecte del temps coordenat, tenim la velocitat radial (també anomenada velocitat de recessió): $$v_r = \dot{a}(t) f(r, k).$$
Com estem treballant localment, tenim $k = 0$ (localment Minkowski) i per l'efecte Doppler (local) $v_r = c z \approx \dot{a}(t_0) r$. Multiplicant per $a_0/a_0$ tenim: $$\boxed{v_r = c z \approx H_0 d_p(t_0).} \; \text{(llei de Hubble)}$$
Pregunta: si $z = 1$, quina és la velocitat de recessió de les galàxies? Velocitat de la llum (ens dona el radi de Hubble).
NOTA: No és una velocitat peculiar, la galàxia està enganxada a la "malla".
Les galàxies tenen velocitat local $v_{local} \ll c$. Els fotons tenen $v_{local} = c$. L'esfera de Hubble va creixent i el fotó es va apropant i, per tant, hi ha un moment que el fotó travessa el radi de Hubble arribant a l'esfera subluminal.
Conclusió: el fet que un objecte estigui a la regió súperluminal no vol dir que no es pugui veure (els seus fotons sí que poden travessar el radi de Hubble).
Hem estat parlant de 3 distàncies:
- Coordenada
- Comòbil
- Pròpia
Demà introduirem 2 distàncies físiques, i ara farem els preliminars per tal de poder-les introduir.
$$H^2 = \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{k c^2}{a^2},$$ $$\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4 \pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) = - \frac{4 \pi G}{3} \rho (1 + 3w).$$
$$\rho_w(t) = \rho_{w0} a^{-3 (1 + w)}.$$
Cosmografia
La cosmografia és fer una cosmologia local :)
Al voltant de la nostra posició: $$a(t) = a_0 + \frac{1}{1!} \left.\frac{da}{dt}\right|_{t = t_0} (t - t_0) + \frac{1}{2!} \left. \frac{d^2 a}{dt^2} \right|_{t = t_0} (t - t_0)^2 + O(t^3).$$
Ens quedarem en primer ordre.
Introduïm una quantitat (això és històric). Ja sabíem que $H_0 = \dot{a}_0 / a_0$. El paràmetre de decelaració és: $$q_0 := - \frac{\ddot{a}_0 a_0}{\dot{a}_0^2}.$$
De fet, això és equivalent a les $\Omega$'s, però històricament s'utilitzava $q_0$ perquè només hi havia un fluid i com només era matèria, l'univers s'expandia desacceleradament (d'aquí el menys). Posteriorment veurem la relació entre els 2 paràmetres.
Aleshores, podem escriure l'$a(t)$ com: $$a(t) = a_0 [1 + (t - t_0)H_0 - \frac{(t - t_0)^2}{2} q_0 H_0^2 + \ldots].$$
També sabem $1 + z = a_0/a$, i $a_0 = 1$. Per tant: $$1 + z = a^{-1} = [1 + \underbrace{(t - t_0)H_0 - \frac{(t - t_0)^2}{2} q_0 H_0^2 + \ldots}_{x \ll 1}]^{-1}.$$
Anomenem $x$ al terme subratllat (variable per fer la substitució només, no té cap significat). Aleshores, com $(1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 + \ldots$ ($x \ll 1$): $$z = H_0 (t_0 - t) + \frac{(t_0 - t)^2}{2} q_0 H_0^2 + \ldots + (t_0 - t)^2 H_0^2 + \ldots =$$ $$= H_0 (t_0 - t) + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0^2 (t_0 - t)^2 + O(t^3) \implies$$ $$\boxed{= H_0 (t_0 - t) \left[ 1 + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0 (t_0 - t) + \ldots \right] \implies}$$ $$\implies t_0 - t = \frac{z}{H_0} \left[ 1 + \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0 (t_0 - t) + \ldots}_{\tilde{x}} \right]^{-1}.$$
De nou amb la mateixa aproximació ($\tilde{x} \ll 1$): $$ \boxed{t_0 - t(z) = \frac{1}{H_0} \left[ z - \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) z^2 + O(z^3) \right]} $$ que s'anomena look back time o temps d'observació.
Data: divendres 26 de novembre de 2021
La distància comòbil és: $$\chi := f(r, k) = \int_t^{t_0} \frac{c dt'}{a(t')} = \int_0^r \frac{dr'}{(1 - kr'^2)^{1/2}} \underset{\scriptstyle \text{localment}}{=} \begin{cases} r + O(r^3), \\ r \, (k = 0), \\ r + O(r^3) \end{cases}$$
Per tant: $$\chi = \frac{c}{a_0} \int_t^{t_0} \left[ 1 + H_0(t_0 - t') + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0^2 (t_0 - t')^2 + \ldots \right] dt' = r + O(r^3)$$
$$r \approx \frac{c}{a_0} \left[ (t_0 - t) + \frac{1}{2} \underbrace{H_0 (t_0 - t)^2}_{\sim z^2/H_0} + \ldots \right].$$
Utilitzant una de les equacions que vam deduir ahir: $$r = \frac{c}{a_0} \left[ \frac{1}{H_0} \left[ z - \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) z^2 + \ldots \right] + \frac{1}{2} \frac{z^2}{H_0} + \ldots \right]$$ $$\boxed{r(z) = \frac{c}{a_0 H_0} \left[ z - \frac{1}{2} (1 + q_0) z^2 + O(z^3) \right]}$$
Distàncies
Distància de lluminositat
Definim la distància de lluminositat com: $$d_L^2 := \frac{L_{emi}}{4 \pi f_{obs}},$$ on $L_{emi}$ és la lluminositat (brillantor intrínseca, potència emesa per unitat de temps) i $f_{obs}$ el flux (el que ens arriba).
Observem que el flux observat és: $$f_{obs} = \frac{L_{obs}}{A(t_0)} = \frac{L_{obs}}{4 \pi a^2 r^2},$$ on utilitzem la distància pròpia $a \cdot r$ perquè és la distància física.
Anem a veure què passa amb la lluminositat. Recordem que els fotons van perdent energia: $\nu(t) a(t) = \nu_0 a_0$. Per tant: $\nu_{emi} = (1 + z) \nu_0$. També tenim $\frac{\Delta E}{\Delta t_0} = \frac{\Delta E}{\Delta t_e} \cdot \frac{a}{a_0}$. De tot això concloem: $$L_{obs} = L_{emi} \left( \frac{a}{a_0} \right)^2.$$
Per tant: $$f_{obs} = \frac{L_{emi} \left( \frac{a}{a_0} \right)^2}{4 \pi a_0^2 r^2}.$$
Finalment: $$d_L^2 = \frac{\cancel{L_{emi}} a_0^2 \cancel{4 \pi} a_0^2 r^2}{\cancel{4 \pi} \cancel{L_{emi}} a^2} \implies d_L = a_0^2 \frac{r}{a} = (1 + z) \underbrace{r a_0}_{d_p}.$$
Aquesta distància és important perquè va jugar un paper cabdal per descobrir l'expansió accelerada de l'univers. Vegem-ho: $$d_L = r a_0 \frac{a_0}{a} = \frac{c}{H_0} \left[ z - \frac{1}{2} (1 + q_0) z^2 + \ldots \right] (1 + z) = \frac{c}{H_0} \left[ z + \frac{1}{2} (1 - q_0) z^2 + O(z^3) \right].$$
Fins ara les supernoves es consideren com candeles estàndard (saps la potència intrínseca (watts) de la font). Això és perquè l'explosió es dona amb degeneració, i al voltant de la massa de Chandrasekhar. (Hi ha ara una persona que ha fet un paper dient que en realitat no són candeles estàndard, però bueno, és només una correcció). Llavors amb les supernoves es va trobar el valor de $q_0$ que indicava que s'estava expandint acceleradament.
Recordem l'equació de les magnituds (versió completa!): $$m^{corr}_X = \quad M_Y + 25 + 5 \log_{10} \left( \frac{d_L}{M_{pc}} \right) + K_{XY}.$$ $M$ és la magnitud intrínseca. $m$ ha d'estar corregida per les absorcions de la galàxia d'origen + la nostra. $K$ s'anomena correcció K, i és una correcció estadística per corregir el ¡ redshift. $X, Y$ són les finestres.
Anem a posar el bitxo de dalt a sota (i passem algunes variables que coneixem a l'esquerra): $$m_x^c - M_y - k_{xy} = 25 + 5 \log_{10} \left[ \frac{cz}{H_0} \left( 1 + \frac{1}{2} (1 - q_0) z + \ldots \right) \right].$$
Com $1 - q_0 \ll 0$, aproximarem $\log_{10} (1 + x) = \log_{10}(e) \log(1 + x) = \log_{10}(e) (x - x^2/2 + \ldots)$, i obtenim: $$\underbrace{m_X - M_y - k_{xy}}_{\scriptstyle \text{conegut}} = 25 - 5 \log_{10} (H_0) + 4 \log_{10} (cz) + 1.086 (1 - q_0) z + \ldots$$ $z$ s'observa a l'espectre, i es pren $H_0 = 70 \text{km/s/Mpc}$. D'aquí s'aïlla $q_0$ i s'obté un valor negatiu.
A més, es pot veure que $$q_w = \frac{\Omega_w}{2} (1 + 3w),$$ on la part esquerra és la definició clàssica, i a la dreta la moderna. Es necessitava una altra $\Omega$, que van treure de les equacions de camp d'Einstein: $$q_0 = \sum_{w_i} q{w_i, 0} = \frac{1}{z} \sum_i \Omega_{i0} (1 + 3 w_i) = \frac{1}{2} \Omega_{m0} - \Omega_{\Lambda 0}.$$
A aquella època admetien $\Omega_{m0} = 0.3 \pm 1$. Per tant $\Omega_{\Lambda 0} = 0.7$.
Distància geomètrica
@TODO: Inserir diagrama que he dibuixat en paper. Il·lustra les variables.
$$d_A := \frac{D_p}{\delta},$$ on $D_p$ és la distància pròpia (intrínseca) i $\delta$ és observat.
$$D_p = a(t) \cdot r \cdot \delta \iff \delta = \frac{D_p}{a(t) \cdot r}$$ Posem $a(t)$ i no $a(t_0)$ perquè es la $t$ quan van sortir els fotons. Substituint a la definició obtenim: $$d_A = a(t) \cdot r.$$
Observem que: $$\frac{d_A}{d_L} = \frac{a^2}{a_0^2} = (1 + z)^{-2}.$$
Brillantor superficial
Si la brillantor superficial no depèn del redshift estem en el cas clàssic (funciona localment). Es va veure que depèn com $(1 + z)^{-4}$, així que sí que hi ha expansió.
Data: dilluns 29 de novembre de 2021
Es defineix la brillantor superficial com: $$\Sigma_x \propto \frac{L_x^{obs}}{\theta^2} \propto \frac{(1 + z)^{-2}}{(1 + z)^2} \propto (1 + z)^{-4},$$ on $x$ és la banda espectral i $\theta$ és l'àrea angular ($\theta \propto \frac{1}{d_A} \propto (1 + z)$).
Comentaris amb fotografies
Ens vam oblidar de definir la següent constant: $$h := \frac{H_0}{100 \text{km/s/Mpc}}.$$
El paràmetre $\tau$ no l'hem vist i té a veure amb la segona reionització de l'hidrogen neutre de l'univers.
Ara s'ha afinat molt la determinació d'aquests paràmetres i diferents models donen valors diferents que discrepen (3 sigmes de diferència per exemple!).
@TODO: Afegir gràfica distàncies del power point. (l'eix horitzontal és el redshift z)
Models de Friedmann: solucions per $a(t)$
Recordem: equació d'estat dels fluids perfectes: $$p = w \rho c^2, \quad w \in [0, 1]$$
Interval de Zel'dovich (??)
Alguns exemples de $w$:
- Pols: $w = 0$.
- Energia fosca (buit): $w = -1$.
- Geometria ($k$): $w = -1/3$.
- Fluis relativista: $w = 1/3$ ($p = \frac{1}{3} \rho c^2$).
$p = c_s^2 \rho$, on $c_s := (\partial_\rho p)_S^{1/2}$ velocitat del so adiabàtica.
Si $w > 1$, aleshores $c_s > c$ (així que no pot ser).
$$\rho_w a^{3(1 + w)} = ct.$$
Si $w = 1/3$ (gas relativista): (????) $$\rho a^4 = const.$$ $$\rho a^3 = const.$$
$\Lambda = 0$.
Equacions de Friedmann: $$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \left[ \Omega_{w0} \left( \frac{a_0}{a} \right)^{1 + 3w} + (1 - \Omega_{w0}) \right].$$
$\ddot{a} < 0 \iff \rho + \frac{3 p}{c^2} > 0$. Si $\rho > 0$, l'anterior és equivalent a $1 + 3w > 0$.
Models plans (Einstein-de Sitter)
Aquí el $\Omega_w = 1 \, \forall w$. El primer model d'aquestes característiques es va fer per $w = 0$ (pols): el model d'Einstein-de Sitter. Tot i que aquest model també es refereix a altres valors de $w$.
Notem que $\Omega_w = 1 \implies k = 0, \Omega_k = 0$. Per tant: $$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \left( \frac{a_0}{a} \right)^{1 + 3w} = H_0^2 (1 + z)^{1 + 3w}.$$ $$\left( \frac{a}{a_0} \right)^{(1 + 3w)/2} \, d \left( \frac{a}{a_0} \right) = H_0 \, dt \implies \boxed{a(t) = a_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{2/[3(1 + w)]}},$$ $$\dot{a}(t) = a_0 \frac{2}{3(1 + w)t}, \quad \ddot{a}(t) = a \left[ - \frac{1 + 3w}{3(1 + w)} \right] \frac{1}{t^2}.$$
$$H = \frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3(1 + w)t} = H_0 \frac{t_0}{t} \iff H \cdot t = \text{const.}$$
$$q_w = - \frac{a \ddot{a}}{\dot{a}^2} = \frac{1 + 3w}{2} = q_{w0} = \text{const.}$$
Corol·lari: aquests models tenen acceleració o desacceleració constant.
Data: dimecres 1 de desembre de 2021
Seguint les equacions de l'altre dia:
$$t_0 = \frac{2}{3(1 + w) H_0}, \quad \rho_{w0} t_0^2 = \rho_{\text{crit}, 0} t_0^2 = \frac{3 H_0^2}{8 \pi G} \left[ \frac{2}{3(1 + w)H_0} \right]^2 = \frac{1}{6 (1 + w)^2 \pi G} \implies$$ $$\implies \rho_w (t) = \rho_{w0}\left( \frac{t}{t_0} \right)^{-2} = \frac{1}{6 (1 + w)^2 \pi G t^2}.$$
Hem utilitzat $k = 0 \implies \rho_{w, 0} = \rho_{crit, 0}$.
Univers de pols
En el cas de l'univers de pols ($w = 0$):
$$a(t) = a_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{2/3},$$ $$t = t_0 (1 + z)^{-3/2},$$ $$H = \frac{2}{3t} \iff H \propto a^{-3/2},$$ $$q_0 = \frac{1}{2} \, ( > 0 \text{deceleració}),$$ $$\rho_{mat} = \frac{1}{6 \pi G t^2}.$$
Univers de radiació
En el cas de l'univers de radiació ($w = 1/3$), i suposant $t \lll t_0$:
$$a(t) = a_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{1/2},$$ $$t = t_0 (1 + z)^{-2},$$ $$H = \frac{1}{2t} \iff H \propto a^{-2},$$ $$q_0 = 1$$ $$\rho_{rad} = \frac{3}{32 \pi G t^2}.$$
Models amb $k \neq 0$
En aquest cas o bé $\Omega_w < 1$ (el que ens pensàvem fa temps) o $\Omega_w > 1$.
Recordem: $$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \left[ \Omega_{w0} \left( \frac{a_0}{a} \right)^{1 + 3w} + (1 - \Omega_{w0}) \right].$$
En l'anterior secció fèiem servir que $$\Omega_{k0} = 1 - \Omega_{w0} = 0$$. Ara serà aquest terme el que domini sobre l'altre (ara $\Omega_{k0} \neq 0$!).
Definim: $$a^* := a_0 \left( \frac{\Omega_{w0}}{1 - \Omega_{w0}} \right)^{1/(1 + 3w)}.$$
Parèntesi: en el cas de la pols ($w = 0$): $$a^* \propto \frac{1}{1 + z^*}$$ $$1 + z^* = \frac{1 - \Omega_0}{\Omega_0} = \frac{1}{\Omega_0},$$ si suposem $\Omega_0 \ll 1$ (això ens dona el red-shift de quan començaria a dominar la curvatura).
Cas $t \lll t_0$:
Aquest cas és equivalent a demanar $0 < a \ll a^*$. En aquest cas: $$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \Omega_{w0} \left( \frac{a_0}{a} \right)^{1 + 3w}.$$
Cas $t \leq t_0$
És equivalent a demanar $a \gg a^*$.
$$\dot{a} \approx a_0 H_0 (1 - \Omega_{w0})^{1/2} = a_0 H_0 \Omega_{w0}^{1/2} \left( \frac{a_0}{a^*} \right)^{(1 + 3w)/2} = const.$$
$$\dot{a} = \frac{a}{t} = const.$$ $$a = a_0 H_0 (1 - \Omega_{w0})^{1/2} t = a^* \frac{2}{3 (1 + w)} \frac{t}{t^*} = a^* \frac{t}{t^*}$$
$$H = \frac{\dot{a}}{a} = t^{-1}$$
Com $\dot{a}$ és constant, $q = 0$.
$$\rho = \frac{\rho_{crit, 0} \Omega_{w0}}{[H_0 (1 - \Omega_{w0})^{1/2} t]^{3(1 + w)}}.$$
