Bloc 3 astrofísica

TODO: Canviar el nom de la pàgina pel nom del bloc.

Processos nuclears estel·lars

Conceptes bàsics

Si sabem que un estel està en equilibri tèrmic, necessita una font d'energia interna per mantenir la lluminositat a la seva superfície.

• Aquesta energia ve proporcionada per les reaccions nuclears al centre dels estels.
  • És un la T i la densitat són més elevades.

• En estels "normals" no degenerats: reactor nuclear molt estable.
  • Ritme de producció nuclear s'adapta: produeix exactament el que ve radiat a la superfície.
  • Determina quan de temps l'estel podrà sostindre aquesta lluminositat.
• Per estels degenerats: reaccions nuclears són inestables i poden donar lloc a "flaixos" (es crema sobtadament molt) i fins i tot explosions.

• Una altra conseqüència: canvi en la composició del gas que el forma. Els estels produeixen tots els elements presents a l'Univers més pesats que l'Heli (a través de la nucleosíntesi estel·lar).

Considerem una reacció en la qual un nucli [math]\displaystyle{ X }[/math] reacciona amb una partícula $a$ i produeix com a resultat un nucli $Y$ i una partícula b. $$X + a \rightarrow Y + b, \text{ o bé } X(a, b) Y$$

• En general la partícula $a$ serà un altre nucli
• En general, $b$ pot ser un nucli, o un fotó, o qualsevol altre tipus de partícula.

Algunes reaccions produeixen més d'una partícula (e.g. interaccions dèbils: produeixen electrons i anti-neutrins).

Un nucli es caracteritza pel seu nombre atòmic $Z_i$ i el seu nombre màssic $A_i$ (nombre total de nucleons: protons + neutrons).

Aquests nombres s'han de conservar: $$Z_X + Z_a = Z_y + Z_b, \quad A_x + A_a = A_Y + A_b.$$

Com a convenció, si les partícules $a$ i $b$ no són partícules nuclears, $A_i = 0$.

En reaccions nuclears on intervingui la força nuclear dèbil, també s'ha de mantindre el nombre leptònic (+1 pels leptons, i -1 pelsanti-leptons; es divideix en nombre electrònic $L_e$, nombre muònic $L_\mu$ i nombre tautònic $L_r$, que han de considerar-se separadament).

Producció d'energia nuclear

La massa-energia dels nuclis atòmics no correspon exactament a la suma de les masses dels seus nucleons! Perquè aquests estan lligats mitjançant la força nuclear forta.

Sigui $m_i$ la massa del nucli $i$. Llavors l'energia de lligam $E_B$ del nucli és: $$E_B = [(A_i - Z_i) m_n + Z_i m_p - m_i] c^2,$$ on $m_n, m_p$ són les masses d'un neutró i protò respectivament.

Tot i que $\sum A_i$ es conserva, la suma de les masses no.

TODO: Completar

---

L'energia alliberada per una reacció del tipus $X (a, b) Y$ és per tant: $$Q = (m_X + m_a - m_Y - m_b) c^2.$$

• $Q < 0$: reacció nuclear absorbeix energia (reacció endotèrmica)
• $Q > 0$: reacció exotèrmica

Deficit de massa: $$\Delta M_i = (m_i - A_i m_u) c^2,$$ on $m_u$ és l'unitat de massa atòmica (1/? d'un àtom de carboni-?).

TODO: Completar

Com $A_i$ es conserva: $$Q = \Delta M_X + \Delta M_a - \Delta M_Y - \Delta M_b$$

Les energies de lligam $E_B$ així com l'energia alliberada $Q$ s'expressen en MeV.

Per comparar diferents nuclis, s'usa l'energia de lligam per nucleó $E_B/A$, que ens dona més informació que no pas l'energia de lligam $E_B$.

TODO: inserir diagrama Beamer

• Excepte els elements més lleugers, els valors típics de $E_B/A$ són dels 8 MeV.
  • Perquè la força nuclear forta té n radi d'acció molt curt. Per tant $E_B/A$ satura en incrementar $A$.
• Existeix però un lleuger increment de $E_B/A$ en funció de $A$ fins arribar a l'àtom de ferro Fe-56 amb $E_B/A = 8.79 \text{MeV}$.
• Decau a partir del ferro perquè els nucleons estan carregats i experiencien una repulsió deguda a la força de Coulomb, que té un radi d'acció més llunyà i no se satura en créixer $A$.
• Els pics al diagrama són deguts a l'estructura en capes del nucli, amb efectes d'apantallament i d'aparellament intrínsecs a cada nucli.

• Els nuclis més lligats són els propers al Ferro 56.
• L'energia per tant es pot aconseguir de 2 maneres:
  • Fusió nuclear d'elements lleugers més pesats mentre $E_B/A$ s'incrementi.
    • A partir del ferro, les reaccions de fusió són endotèrmiques. No es dona a la Natura.
  • Però per elements pesats, es pot allibrerar energia mitjançant fissió nuclear, que trenca elements pesats donant-ne més lleugers.
• Per tant el ferro marca el límit de les reaccions nuclears estel·lars.
  • S'han de donar condicions molt extremes per poder generar elements més enllà del ferro.
• Així doncs, s'aconsegueix una energia de 8.8 MeV per nucleó (dels quals 7.0 MeV s'aconsegueixen ja de H --> He).

Ritme de reaccions nuclears estel·lars

Donada la reacció nuclear $X(a, b)Y$. Suposem que les partícules $X$ són bombardejades per partícules $a$ que es mouen a velocitats $v$. El ritme amb què es donarà la reacció vindrà donada per la secció eficaç $\sigma$ de la mateixa: l'àrea efectiva de $X$ per interactuar amb $a$: $$\sigma = \frac{\text{nombre de reaccions termonuclears per segon}}{\text{flux de partícules incident a}}.$$ $\sigma$ té unitats de cm².

Ara identificarem "X" amb l'índex "i", i "a" amb l'índex "j". El flux incident de partícules a és llavors $n_j v$. El nombre de reaccions de la partícula $X$ llavors és $n_j v \sigma$. Per tant el nombre de reaccions per segon per unitat de volum vindrà donada per: $$\bar{r_{ij}} = n_i n_j v \sigma,$$ on "r" ve de rate.

Aquesta expressió és vàlida si "X" i "a" són diferents. Si són iguals, el nombre possible de parelles és $\frac{1}{2} n_i (n_i - 1) \approx \frac{1}{2} n_i^2$. Podem escriure per tant, en el cas més general: $$\bar{r_{ij}} = \frac{1}{1 + \delta_{ij}} n_i n_j v \sigma.$$

En general $\sigma = \sigma(v)$. Per al gas dins de l'estel, la distribució de velocitats $\psi(v)$ està normalitzada: $\int_0^\infty \psi(v) \, dv = 1$. El ritme de reaccions nuclears sea llavors: $$\bar{r_{ij}} = \frac{1}{\delta_{ij} + 1} n_i n_j \int_0^\infty \psi(v) \sigma(v) v dv = \frac{1}{1 + \delta_{ij}} n_i n_j \langle \sigma v \rangle.$$

Per un gas en LTE aquesta distribució ve donada per la distribució de Maxwell-Boltzmann.

TODO: Copiar expressió del Beamer.

Podem substituir la velocitat relativa $v$ per l'energia cinètica en el sistema de referència del centre de masses, $E = (1/2)mv$, i utilitzant $\psi(v) dv = \psi(E) dE$ obtenim: $$\langle \sigma v \rangle = \left( \frac{8}{\pi m} \right)^{1/2} ...$$

TODO: Completar

El ritme de les reaccions depèn doncs de la temperatura $T$ a través de l'expressió per $\langle \sigma v \rangle$ donada per l'anterior equació.

Seccions eficaces nuclears

$\sigma$ ens dona la mesura de la probabilitat que es doni una certa reacció nuclear donades les densitats dels nuclis reactius que hi participen.

El guany d'energia es pot calcular amb el deficit de massa, però determinar la secció eficaç és més complicat.

A la física clàssica, la secció eficaç és simplement una àrea geomètrica. Per una reacció entre els nuclis i i j amb radis $R_i, R_j$ ve donada per $\sigma = \pi(R_i + R_j)^2$. Una bona aproximació pel radi és el rang d'acció de la força nuclear forta: $$R_i = R_0 A_i^{1/3}, \quad R_0 = 1.44 \times 10^{-13} \text{ cm}.$$

Això donaria seccions eficaces de l'ordre de $[10^{-25}, 10^{-24}] \text{ cm}^2$.

Desde el punt de vista de la mecànica quàntica: cada partícula té associada una longitud d'ona de De Broglie i cadascuna es veu a l'altra en aquest rang: $$\lambda = \frac{\hbar}{p} = \frac{\hbar}{(2 m E)^{1/2}},$$ on $m, E$ són massa i energia cinètica reduïdes que ja hem definit. Suposem que no estem en el cas relativista (??? comprovar Beamer)

En aquest cas $\sigma = \pi \lambda^2$. És més gran que l'aproximació clàssica.

En realitat, no és tan fàcil: hi ha una sèrie d'efectes que s'han de tenir presents a l'hora d'establir la secció eficaç per les reaccions nuclears dins de l'estel:

• Nuclis carregats experiencien força de Coulomb repulsiva. És més dèbil que la força nuclear forta, però el seu rang d'acció és més llarg.
  • Aquesta barrera de potencial impossibilitaria qualsevol reacció nuclear. Però existeix l'efecte túnel de la mecànica quàntica que ens ve a salvar.
  • La natura de la força involucrada en la reacció nuclear determina el tipus d'interacció que tindrà lloc. La partícula que s'emet pot ser un altre nucli, un fotó gamma, un parell electró-antineutrí o positó-neutrí.
    • Si és un altre nucli, només hi està involucrada la FNF. Es pot prendre la secció eficaç quàntica geomètrica.
    • Fotons gamma: força electromagnètica: implica secció eficaç més petita.
    • Parelles anteriors: força nuclear dèbil: secció eficaç encara més baixa.

La barrera de Coulomb i l'efecte túnel

A distàncies $r$ majors que l'acció de la força nuclear forta: dos nuclis amb càrregues $Z_i, Z_j$ experimenten un potencial: $$V(r) = \frac{Z_i Z_j e^2}{r} = 1.44 \frac{Z_i Z_j}{r/10^{13} \text{cm}} \text{MeV}.$$

Per tal de sentir l'atracció donada per la força nuclear forta, les partícules s'han d'aproximar a $r_n \sim A^{1/3} R_0$.

Per tant han de superar la barrera de Coulomb: $E_C = V(r_n) \approx Z_1 Z_2 \text{MeV}$. Si superen, el potencial cau $V_0 \approx -30 \text{ MeV}$.

TODO: Inserir gràfic de la barrera de Coulomb.

Data: 13 d'octubre de 2021

TODO: Completar tot el que falta pel mig

Efectes de l'estructura nuclear en la secció eficaç

Quan s'ha atravessat la barrera Coulombiana, els dos nuclis poden formar el que s'anomena com a nucli compost, molt inestable, i que decau al cap d'un temps relativament curt en els productes finals: $$X + a \rightarrow C^* \rightarrow Y + b$$

L'energia involucrada determina la natura dels productes resultants:

• $C^* \rightarrow X + a$: ens quedem amb les partícules originals.
• $C^* \rightarrow C + \gamma$: es tracta d'un decaïment a un nivell energètic estable de $C$ amb l'emissió d'un fotó gamma $\gamma$. (mateixos productes i fotó)
• $C^* \rightarrow Y_1 + b_1, \rightarrow Y_2 + b_2, \ldots$, on les partícules $b_1, b_2, \ldots$ poden ser protons, neutrons o partícules alfa (nuclis d'He, 2p + 2n).

NOTA: les reaccions que involucren electrons i neutrins no compten amb un estat intermedi $C^*$, ja que els decaïments-beta (e.g. $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}$ o $p \rightarrow n + e^+ + \nu$) són massa lents per procedir d'aquesta manera.

El decaïment de $C^*$ ha de conservar tant l'energia com el moment i el moment angular, així com les simetries nuclears.

Aquest excés d'energia pot escapar-se en forma de fotó (2n cas anterior) o en energia cinètica de les partícules resultants, que ràpidament termalitza les partícules del seu entorn (excepció: neutrins, escapen sense interactuar).

Els nivells energètics de $C^*$ juguen un paper fonamental en determinar la secció eficaç de la reacció.

$E_{min}$: energia mín. per extreure un nucleó de l'estat energètic més baix del compost $C^*$ fins a l'infinit. Per sota de $E_{min}$ els estats de l'àtom són lligats. Només decauen a través del decaïment-gamma (on s'emet un fotó en el rang $\gamma$+ altres ...)

TODO: Completar

Per $E > E_{min}$ també es poden emetre partícules, per canals que tenen una probabilitat més gran que el decaïment-$\gamma$. Aquests nivells són per tant "quasi-estacionaris", amb temps de vida finits marcats per un eventual escapament en travessar la barrera Coulombiana per l'efecte túnel.

La probabilitat d'escapament s'incrementa per energies corresponentment més altes, fins que l'amplada $\Gamma$ d'aquests nivells esdevé més gran que la diferència d'energia entre nivells, resultant en un continu de nivells energètics per sobre una certa energia llindar.

La presència de nivells energètics discrets per sobre de $E = E_{min}$ dona lloc al que s'anomenen ressonàncies nuclears, que comporten una...

TODO: Completar

El "factor astrofísic" de la secció eficaç

Per energies $E \approx E_{res}$ la secció eficaç depèn de $E$ com: $$\xi(E) \propto \frac{1}{(E - E_{res})^2 + (\Gamma/2)^2}.$$

Per $E = E_{res}$, $\sigma(E)$ és propera a la geomètrica, $\sigma \approx \pi \lambda^2$, amb $\lambda = \lambda_{\text{de Broglie}}$, i podem posar doncs: $$\sigma(E) \propto \pi \lambda^2 P(E) \xi(E).$$

Si prenem ara $\lambda \propto 1/E$, $P(e) \propto \exp(-b E^{-1/2})$, podem expressar la secció eficaç mitjançant l'anomenat factor astrofísic $S(E)$: $$\sigma(e) = S(E) \frac{\exp(-b E^{-1/2})}{E}.$$

El factor astrofísic té en compte tots els factors intrínsecs de l'estructura nuclear i també dels derivats de les possibles ressonàncies a les energies rellevants.

$S(E)$ es determina amb mesures fetes al laboratori per a les seccions eficaces. La dificultat en les mesures rau en el fet que són només factibles per energies relativament grans ($E > 0.1 \text{ MeV}$). Per sota d'aquestes energies, $\sigma(E)$ esdevé massa petita per mesurar-la experimentalment.

Aquesta energia mínima és aprox. un ordre de magnitud més gran que les energies típiques en les quals es donen les reaccions nuclears als estels. Per tant, $S(E)$ s'ha d'extrapolar a les energies rellevants.

A vegades les interpolacions són precises, i a vegades no. Depèn. (TODO: de què depèn?)

Dependència de $T$ del ritme de les reaccions nuclears

De seccions anteriors: $$\langle \sigma v \rangle = (8/\pi m)^{1/2} (kT)^{-3/2} \int_0^\infty S(E) \exp\left( - \frac{E}{kT} \frac{b}{E^{1/2}} \right) dE.$$

TODO: Completar

La funció $f(E)$ mostra un màxim anomenat el pic de Gamow a $E = E_0$, mentre que $f(E)$ decau fortament lluny del pic.

TODO: Insertar diagrama.

Comentari del diagrama: El pic de Gamow com la seva amplada té una dependència amb la temperatura brutal. També dependència brutal amb la càrrega del nucli.

Com que s'assumeix que $S(E)$ és aprox. constant, podem escriure l'eq. prenent $S(E) \approx S(E_0)$, quedant per tant:

$$\langle \sigma v \rangle = (8/\pi m)^{1/2} (kT)^{-3/2} S(E_0) \int_0^\infty f(E) dE.$$

Prenent el màxim: $$E_0 = \left( \frac{1}{2} b k T \right)^{2/3} = 5.665(Z_i^2 Z_j^2 A T_7^2)^{1/3},$$ on $T_7 := T/10^7 \text{K}$.

TODO: Completar amb el Beamer

La dependència en la càrrega i nombre màssic: $b \propto Z_1 Z_2 A^{1/2}$. Per la mateixa temperatura, reaccions amb nuclis pesats (A, Z grans): ...

TODO: Completar un munt de diapositives.

Les reaccions termonuclears representen un dels processos en Física experimental on més fortament varien en funció de les variables que els governen, en aquest cas la temperatura $T$. Hi ha reaccions termonuclears que poden arribar a dependre de $T^{40}$.

Apantallament electrònic

Efecte que ens ajuda una miqueta. El fet de tenir electrons al voltant dels nuclis ens fa la barrera de Coulomb una miqueta més baixa: apantallament electrònic.

Derivació una miqueta difícil (veure Kippenhahn, secció 18.4). En l'aproximació...

TODO: Completar :(((

A cert punt, per $\rho \gsim 10^6 \text{ g cm}^{-3}$ (densitat de degeneració dels electrons) l'efecte d'apantallament és tant important que esdevé el factor dominant en $\langle \sigma v \rangle$.

En aquesta situació les reaccions nuclears poden donar-se inclús en temperatures baixes (pycnonuclear reactions) i poden tenir un rol decisiu en els estadis finals de l'evolució estel·lar.

Sota aquestes condicions d'altes densitats i baixes T, però, s'ha de tenir en compte també altres efectes com la cristal·lització. (TODO: Completar aquest paràgraf)

Data: 14 d'octubre de 2021

Generació d'energia i canvis en la composició

La reacció nuclear allibera una quantitat d'energia $Q_{ij}$. L'energia generada per unitat de temps i volum és $Q_{ij} r_{ij}$ (r és el ritme amb què es donen les reaccions nuclears entre nuclis i i j).

Si ho volem per unitat de massa: $$\varepsilon_{ij} = \frac{Q_{ij} r_{ij}}{\rho}$$

Posant-ho en termes de les fraccions de massa $X_i$, $X_j$, i usant $n_i = X_i \rho/(A_i m_{ij})$ (densitat relativa), tenim: $$\varepsilon_{ij} = \frac{Q_{ij}}{(1 + \delta_{ij}) A_i A_j m_u^2} \rho X_i X_j = \frac{q_{ij}}{(1 + \delta_{ij}) A m_u} \rho X_i X_j \langle \sigma v \rangle_{ij},$$ amb $A = A_i A_j/(A_i + A_j)$ el nombre màssic reduït en unitats $m_u$, i $q_{ij}$ l'energia alliberada per unitat de massa per la reacció: $$q_{ij} = \frac{Q_{ij}}{m_i + m_j} = \ldots$$

TODO: Completar l'anterior equació

Si considerem que la dependència amb la temperatura donada per $\langle \rho v \rangle$: $$\langle \rho v\rangle = \langle \rho v_0 \rangle \left( \frac{T}{T_0} \right)^\nu,$$ obtenim el ritme de generació d'energia per la reacció entre els nuclis $i$ i $j$ per l'element de massa de l'estel considerat: $$\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{0, ij} X_i X_j \rho ^\nu$$ mentre que el ritme de generació d'energia total es troba sumant per totes les reaccions per un cert element de massa de l'estel: $$\varepsilon_{nuc} = \sum_{i, j} \varepsilon_{ij}$$ ($\varepsilon_{nuc}$ és el mateix terme que apareix a les equacions d'estructura tèrmica).

Canvis en la composició

Les eqs. pel ritme de reaccions ens serveix per estudiar el canvi de composició del gas. El ritmedel canvi de composició en $n_i$ dels nuclis $i$ amb reaccions amb nuclis $j$ és: $$\left( \frac{dn_i}{dt} \right)_j = - (1 + \delta_{ij}) r_{ij} = - n_i n_j \langle \sigma v \rangle_{ij},$$ on el terme $(1 + \delta_{ij})$ té en compte que una reacció entre el mateix tipus de nucli consumeix dos dels nuclis.

El temps escala nuclear de l'espècie "i" donades les reaccions amb l'espècie "j" és per tant: $$\tau_{i, j} \equiv \frac{n_i}{|(dn_i/dt)_j| \rho} = \frac{1}{n_j \langle \sigma v \rangle_{ij}},$$ que correspon al temps escala del canvi en l'abundància de l'element $i$ per aquesta reacció.

Atenció! Altres reaccions també poden consumir l'espècia $i$, i d'altres poden generar-ne. Denotem aquestes darreres com les reaccions entre les espècies $k$i $l$: $r_{kl, i}$. El canvi de composició net per $n_i$ és: $$\frac{dn_i}{dt} = - \sum_j (1 + \delta_{ij}) r_{ij} + \sum_{k, l} r_{kl, i}.$$

Si prenem $n_i = X_i \rho/(A_i m_u)$ (abundància) podem escriure el ritme de canvis en la fracció de massa com: $$\frac{dX_i}{dt} = A_i \frac{m_u}{\rho} \left( - \sum_j (1 + \delta_{ij}) r_{ij} + \sum_{k, l} r_{kl, i} \right).$$

Això es pot escriure per cada espècie $i$. En paral·lel, ha de comptar-se amb els efectes que la convecció pugui tenir en barrejar el gas, podent aportar/sostraure més material i afectar així a la composició.

Juntant un popurrí d'eqs. que teníem: $$r_{ij} = \frac{\varepsilon_{ij}}{q_{ij} (A_i + A_j)} \frac{\rho}{m_u}.$$

Substituint a l'eq. 44 del Beamer el darrer producte desapareix i queda una expressió pel ritme amb què canvia $X_i$ en els casos en què només tenim un tipus de reacció o bé una reacció que determina el ritme general en una cadena de reaccions (que és el que passarà a la pràctica).

Exemple: fusió de 4 ¹H en He, que és el resultat net d'una cadena de reaccions, es verifica que: $$\frac{dY}{dt} = - \frac{dX}{dt} = \frac{\varepsilon_H}{q_H}$$ on ...

TODO: Completar

Cicles de combustió principals

Per al càlcul de l'estructura i evolució estel·lar hi ha assumpcions que simplifiquen el tractament de les reaccions nuclears:

• Reaccions depenen fortament en la temperatura i densitat. Per tant, les reaccions per diferents espècies es donen en fases evolutives diferents. Els estels procedeixen seguint diferents cicles de fusió nuclears.
• Per cada cicle de fusió nuclear: només unes poques de les reaccions contribueixen quasi tot el gruix de la generació d'energia o canvis de composició.
  • En quant a controlar els temps per exemple.
• En una cadena de reaccions, la més lenta dictamina l'evolució/ritme global (el coll d'ampolla).

Fusió de l'Hidrogen

4 ¹ H $\rightarrow$ ⁴He + 2 e₊ + 2ν (2 neutrins).

• Energia total alliberada en aquest procés és de 26.734 MeV. Per crear un 4He es necessita convertir dos protons en dos neutrons. S'alliberen per tant 2 neutrins degut a l'interacció dèbil ($p \rightarrow n + e^- + \nu$), que escapen sense interactuar.
  • En general la contribució dels neutrins no serà significativa.
• Molt difícil juntar 4 nuclis d'H. Es necessita doncs fer-ho en cadena. Hi ha dos camins possibles: fusió de protons via la cadena ...

TODO: Completar

Cadena p-p

$$1H + 1H \rightarrow 2H + e^+ + \nu, \text{ o bé } p + p \rightarrow D + e^+ + \nu$$

Involucra simultàniament la interacció forta així com el decaïment beta d'un dels protons generant el neutró que conté el nucli de D. Són per tant molt poc probables ($\sigma$ és molt petita: $\sigma \sim 10^{-20}$ vegades menys probable que una interacció forta solament).

Els ritmes de reacció no es poden calcular al laboratori i es deriva només teoricament.

El deuteri D interactua ràpidament amb un altre protó per formar 3He i en segueixen ...

TODO: Completar

TODO: Inserir cadena de reaccions del Beamer

Aquestes cadenes tenen decaïments beta. Reaccions que involucren leptons (fet que fa que siguin poc probables).

TODO: Inserir diapositives.

Anotacions sobre coses que no estan a les diapositives:

• Coll d'ampolla: reacció que té el temps característic més gran i que és dependència d'altres reaccions.
• pp1: com s'usen més o menys els mateixos elements, $\delta = 1$. A pp2, pp3 $\delta = 0$.

Cicle CNO

Si tenim C, N, O al nostre gas (per exemple generades per altres reaccions nuclears o ja incorporava aquests elements) i temperatures prou altes, la fusió de l'H pot donar-se a través del cicle CNO (que actua de "catalitzador").

TODO: Inserir diagrama de les reaccions.

La cadena de sota (la que comença produint ¹⁶O + gamma) del diagrama és menys probable, però en tot cas quan passa retroalimenta la cadena.

Característiques:

• El carboni-12 retorna i per tant actua com a catalitzador.
• La reacció del mig té dos outcomes. Un (el del mig) més probable que l'altre (el de baix).
• A temperatures altes, totes les reaccions estan en equilibri (el ritme de producció de cada nucli és igual al ritme amb què es consumeixen).
  • Reacció més lenta (coll d'ampolla): reacció $\.^{14}N(p, \gamma) \.^{15}O$. Així doncs, s'acumula un munt de nitrogen-14.
• El ritme de generació d'energia per al cicle CNO en equilibri per tant es pot escriure com:

$$\varepsilon_{CNO} = q_H X X_{14} \frac{\rho}{m_u} \langle \sigma v \rangle_{pN}$$ $X$ és la fracció d'hidrogen, $Y$ per l'Heli i $Z$ per elements més pesats.

$X_{14}$ és propera a l'abundància total $X_{CNO}$ de nuclis de CNO quan el cicle està en equilibri (perquè són el coll d'ampolla).

• Energia alliberada per unitat de massa: $q_H = Q_H/4 m_u$, amb $Q_H = 24.97 \text{ MeV}$.

TODO: Inserir gràfica del Beamer.

Indica quanta energia donen les 2 reaccions (P-P vs. CNO) en funció de la temperatura, i per tant quina és més important a cada rang.

Data: 15 d'octubre de 2021

Fusió de l'He

Consisteix en la fusió d'heli-4 en una barreja de carboni-12 i oxigen-16, que es dona per temperatures altes, que són degudes al fet que la barrera de Coulomb és més alta per l'He que pel H.

Dues etapes (no existeix un nucli estable amb 8 nucleons (A = 8)):

TODO: Copiar les reaccions del Beamer

• berili-8 decau al cap de $10^{-16} \text{s}$. Suficient per crear un curt estat d'equilibri de concentració d'aquest element.
• La segona reacció és ràpida, donada la ressonància just a energies properes al picde Gamow. En resulta un carboni-14 (??? TODO: comprovar que estigui bé), que decau en carboni-12 i un fotó.

L'efecte net de les dues reaccions s'anomena reacció triple-alfa:

TODO: Inserir reacció

que té $Q = 7.275 \text{ MeV}$. L'allibrerament d'energia per unitat de massa és $q_{3\alpha} = Q/m(\.^12 C) = 5.9 \times 10^{17} erg/g$, uns 10 cops menor que la fusió de l'hidrogen.

Com que han d'ocorrer quasi simultàniament, a efectes pràctics és com si haguéssim de tenir 3 partícules, i el seu ritme doncs és proporcional a $n_\alpha^3$.

Ritme de generació d'energia: $$\varepsilon_{3 \alpha} = q_{3 \alpha \xi_4^3 \rho^2 \lambda_{...}}$$

TODO: Completar

Quan una quantitat suficient de carboni-12 s'ha creat amb aquesta reacció, aquest pot capturar una altra vegada una partícula $\alpha$ per formar oxigen-16:

TODO: Inserir reacció

que allibera una energia Q = 7.162 MeV, o $q_{\alpha C} = 4.32 \times 10^{17} \text{erg per gram}$ de oxigen-18 produït (pel Sol és aprox. 10 ordres de magnitud més gran).

La reacció $\.^{12} C(\alpha, \gamma) \,^{16}O$ està fortament afectada per les ressonàncies (s'entén més o menys), i el seu ritme de producció és altament incert. Així doncs competeix amb la reacció triple-alfa per conseguir el heli-4 disponible. Per tant, la quantiat de carboni-12 vs oxigen-16 al final de la fusió de l'He és altament incerta.

Fusió del C i més enllà

En la barreja de gas (bàsicament carboni-12 i oxigen-16) si la temperatura és prou alta es poden donar més reaccions:

Fusió del carboni

$T_8 gsim 5$, la barrera Coulombiana pel carboni-12 + carboni-12 es pot superar (tenint en compte l'efecte túnel). Aquesta reacció dona com a resultat magnesi-24 que pot decaure després per altres canals:

TODO: Inserir reaccions

La probabilitat d'ambes reaccions és igual. Generen partícules alfa o protons que poden reaccionar quasi immediatament amb altres nuclis de la barreja (són com bales), donant lloc a reaccions que donen Neó, Magnesi, o cadenes que donen lloc mica a mica a neutrons lliures que també reaccionen quasi immediatament.

Ràtio neutrons va incrementant-se en aquestes reaccions. Pensem que al final podem tenir un estel de neutrons. És important perquè per poder produïr després elements més pesats es necessiten neutrons normalment.

En la suma de totes aquestes reaccions nuclears, s'alliberen $Q \approx 13 \text{ MeV}$ per cada reacció carboni-12 + carboni-12. Els productes finals de la combustió del carboni són: oxigen-16, neó-26, magnesi-24, que junts representen un 95% de la fracció de massa total del gas.

Tots els nuclis resultants tenen el mateix nombre de protons però algunes de les reaccions produeixen isòtops amb excés de neutrons. Això fa que després de la crema del C la composició general mantingui aquest excés de neutrons $n/p > 1$.

Fusió de l'oxigen

$T_9 gsim 2.0$. De nou, barrera de Coulomb, pic de Gamut, etc.

Hi ha diferents canals possibles, els més importants són:

TODO: Inserir reaccions des del power point

Els protons i partícules alfa que es generen de nou es capturen ràpidament per altres nuclis, donant lloc a múltiples reaccions, que tenen com a resultat una composició bàsicament de Si-28 i S-32 (junts fanun ~90% de la fracció de massa).

L'alliberament total d'energia per aquesta reacció oxigen-6 + oxigen-6 és $Q \approx 16 \text{ MeV}$.

Algunes de les reaccions donen decaïments-betai captures electrponiques, l'excés de neutrons al gas continua incrementant-se.

Fusió del silici

(No ens ha posat la temperatura)

L'element més abundant després de la combustió de l'oxigen és el silici-28.

• Les reaccions succeeixen gràcies a foto-desintegracions $(\gamma, \alpha)$ i captures alfa $(\alpha, \gamma)$.
• Una part es transforma en elements lleugers, i part en elements més pesats.
• La major de la part de les reaccions estan en equilibri. Per temperatures altes (T > 4e9 K) el gas es troba en equilibri estadístic nuclear (els nuclis més abundants són aquells amb l'energia de lligam més baixa).

TODO: Completar

Així doncs, ja hem arribat al ferro!

Emissió de neutrins

Hem de considerar que podem tenir a part de la generació d'energia, pèrdua per exemple en forma de neutrins.

Energies de l'ordre de 1 MeV. Secció eficaça approx $10^{-44} \text{cm}^2$.

En un medi amb densitat $\rho = n \mu m_u, \mathcal{l}_\nu = 1/(n \sigma_\nu) \sim 2 \times 10^{20} cm/\rho$ per $\mu \approx 1$. Inclús prenent $\rho \sim 10^6 \text{g/cm^3}$, això dona $\mathcal{l}_\nu \sim 3000R_\odot$ i per tant s'escapen i l'energia que no s'emporten no es computa en $\varepsilon_{nuc}$ per al balanç energètic.

Hi ha també emissió espontània de neutrins que poden donar-se quan $\rho, T$ pugen, degut al resultat de processos d'interacció dèbil: per cada procés electrònic on s'emet un fotó hi ha una probabilitat que s'emeti un parell neutrí/anti-neutrí enlloc d'un fotó: $$\frac{P(\nu \bar{\nu})}{P(\gamma)} \approx 3 \times 10^{-18} \left( \frac{E_\nu}{m_e c^2} \right)^{...}$$

TODO: Completar

Els neutrins es poden produir per:

• Foto-neutrins: en la dispersió electrònica en què un fotó és dispersat per $e^-$ lliure hi ha una probabilitat finita que el fotó emergent sigui substituït per un parell neutrí/anti-neutrí.
  • Energia que s'escapa d'aquests neutrins: extremadament sensible amb la temperatura. Per tant, és molt rellevant per $T \gsim 2e8 K$.
• Neutrins per aniquilació de parelles: per temperatures altes (+10e9 K) els fotons poden produir parelles $e^+/e^-$ que ràpidament s'aniquilen donant lloc a dos fotons. Per cada ~1e19 casos l'aniquilació produeix en canvi una parella neutrí/anti-neutrí.
  • L'energia d'aquests encara depèn més fortament de T, però en canvi és $\propto 1/\rho$.
• Neutrins de plasma: ona e.m. dins de plasma: pot generar oscil·lacions col·lectives dels electrons (Maxwell). L'energia d'aquestesones està quantitzada en plasmons. Decauen en fotons o, en alguns casos, un altre cop la parella neutrí/anti-neutrí.
  • L'energia perduda domina per densitats altes (ex. quan el gas és degenerat).
• Neutrins Bremsstrahlung: el procés Bremsstrahlung es dona quan s'emetun fotó degut a un electró que és frenat per un camp Coulombià d'un nucli proper. De nou hi ha probabilitat de generar una parella neutrí/anti-neutrí.
  • Requereix una alta densitat de nuclis, així que és més eficaç per un gas dens i relativament poc calent, amb presència d'elements pesats ja que el ritme d'emissió de neutrins és $\propto Z^2/A$.
• El procés Urca: involucra transformacions nuclears. Alguns tipus de nuclis (Z, A) poden capturar un electró i sofrir un decaïment-beta que els porta altra vegada al nucli original + 2 neutrins.

TODO: Inserir equació

• • En general només alguns nuclis poden seguir aquest procés:
    • Nucli (Z-1, A) ha de ser inestable sota decaïment-beta, i tenir energia en repòs lleugerament superior al nucli (Z, A).
    • L'electró capturat ha de tenir prou energia per fer la primera transició.
  • Són bastant restrictives

• • Resultat: es recuperen pa

Proper dia comencem bloc 3. (això no era el bloc 3!!!)