Introducció a l'àlgebra lineal
From Potatopedia
Nombres naturals
[math]\displaystyle{ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\} }[/math]
Nombres enters
[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} = \{ ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... \} }[/math]
Als nombres enters i naturals existeix l'operació de la suma amb les següents propietats:
- Associativa
- Existència de l'element neutre: [math]\displaystyle{ \exists 0 \quad x+0=0+x=x \quad \forall x }[/math]
I només als nombres enters compleix les següents propietats:
- Tot element té oposat: [math]\displaystyle{ \forall x \quad \exists -x \quad x+(-x)=0=(-x)+x }[/math]
- Commutativa: [math]\displaystyle{ a+b=b+a \quad \forall a, b \in Z }[/math]
També existeix l'operació de la multiplicació que té les següents propietats:
- Associativa
- Neutre
- Commutativa
Nombres racionals
[math]\displaystyle{ \mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} | a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\} }[/math]
Els nombres racionals són un cos, ja que:
- [math]\displaystyle{ (\mathbb{Q}, +) }[/math] associativa, neutre, oposat, commutativa
- [math]\displaystyle{ (\mathbb{Q}, \cdot ) }[/math] associativa, neutre (unitat), invers (excepte el 0), commutativa
- Distributiva: [math]\displaystyle{ a(b+c)=ab+ac }[/math]
- Grup commutatiu: hi ha una operació que té les 3 propietats
- Cos: dues operacions amb aquelles propietats i la distributiva
Nombres reals
[math]\displaystyle{ \mathbb{R} = \{\text{decimals periòdics o no}\} }[/math]
[math]\displaystyle{ (\mathbb{R}, +, \cdot) }[/math] cos
- Una recta es pot modelar pel conjunt [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].
- [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 = \{(x, y) | x, y \in \mathbb{R}\} }[/math]
