Mètode per trobar una segona solució d'una EDO si en sabem una

Sigui [math]\displaystyle{ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 }[/math] una EDO de segon ordre, i sigui [math]\displaystyle{ y_1(x) }[/math] una solució d'aquesta EDO.

Intentarem trobar una segona solució del tipus [math]\displaystyle{ y_2(x) = u(x) y_1(x) }[/math]

Substituint a l'EDO tenim [math]\displaystyle{ (u y_1)'' + p \cdot (u y_1)' + q \cdot u \cdot y_1 = 0 \implies }[/math]

[math]\displaystyle{ \implies u'' y_1 + 2 u' y_1' + u y_1'' + p u' y_1 + p u y_1' + q \cdot u \cdot y_1 = 0 \implies }[/math]

[math]\displaystyle{ \implies u'' y_1 + 2 u' y_1' + p u' y_1 + u(y_1'' + p y_1' + q y_1) = 0 \implies }[/math]

[math]\displaystyle{ \implies u_1'' y_1 + 2 u' y_1' + p u' y_1 = 0 }[/math]

Dividim l'equació entre [math]\displaystyle{ u' y_1 }[/math], i tenim: [math]\displaystyle{ \frac{u''}{u'} + \frac{2 y_1'}{y_1} + p = 0 }[/math]

Definint [math]\displaystyle{ v(x) = u'(x) }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{v'}{v} + \frac{2y_1}{y_1'} + p = 0 \implies }[/math]

[math]\displaystyle{ \implies \frac{v'}{v} = -2 \frac{y_1'}{y_1} - p \implies }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{dv}{v} = -2 \frac{dy_1}{y_1} - p \, dx \implies }[/math]

[math]\displaystyle{ \implies \int \frac{dv}{v} = -2 \int \frac{dy_1}{y_1} - \int p dx \implies }[/math]

[math]\displaystyle{ \implies \log v(x) = -2 \log y_1(x) - \int p dx \implies }[/math]

[math]\displaystyle{ \implies v(x) = \frac{1}{y_1(x)^2} e^{-\int p dx} \implies }[/math]

[math]\displaystyle{ \implies u'(x) = \frac{1}{y_1(x)^2} e^{-\int p(s) ds} \implies }[/math]

[math]\displaystyle{ \implies u(x) = c_1 \int\frac{1}{y_1(t)^2} e^{-\int p(s) ds} dt + c_2 }[/math]

Així doncs, concloem que [math]\displaystyle{ y_2(x) = y_1(x) u(x) = c_1 y_1(x) \int\frac{1}{y_1(t)^2} e^{-\int p(s) ds} dt }[/math]

La solució general és: [math]\displaystyle{ y(x) = y_1(x) + y_2(x) = c_1 y_1(x) \int \frac{e^{-\int p(s) ds}}{y_1(t)^2} dt + y_1(x) }[/math]

Exemple 1: EDO lineal de segon ordre amb coeficients constants [math]\displaystyle{ y'' - 4y' + 4y = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ y_1(x) = e^{kx} }[/math] [math]\displaystyle{ y_1'(x) = ke^{kx} }[/math] [math]\displaystyle{ y_1''(x) = k^2 e^{kx} }[/math] [math]\displaystyle{ k^2 e^{kx} - 4 k e^{kx} + 4 e^{kx} = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ k^2 - 4k + 4 = 0 }[/math] (equació característica) [math]\displaystyle{ (k - 2)^2 = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ k = 2 \implies y_1(x) = e^{2x} }[/math] [math]\displaystyle{ y_2(x) = u(x) y_1(x) = u(x) \cdot e^{2x} = c e^{2x} \int\frac{1}{e^{4t}} e^{-\int -4 ds} dt \implies }[/math] [math]\displaystyle{ y_2(x) = c e^{2x} \int\frac{e^{4t}}{e^{4t}} dt = c e^{2x} \int 1 = c \, x \, e^{2x} }[/math]

Exemple 2: EDO lineal de segon ordre amb coeficients constants [math]\displaystyle{ y'' - 6y' + 9y = 0 }[/math]

Probem amb la solució [math]\displaystyle{ y_1(x) = e^{kx} }[/math] [math]\displaystyle{ k^2 - 6k + 9 = 0 \implies }[/math] [math]\displaystyle{ \implies (k - 3)^2 = 0 \implies }[/math] [math]\displaystyle{ k = 3 }[/math] [math]\displaystyle{ y_2(x) = u(x) y_1(x) = u(x) \cdot e^{3x} = c e^{3x} \int\frac{1}{e^{6t}} e^{-\int -6 ds} dt \implies }[/math] [math]\displaystyle{ y_2(x) = c e^{3x} \int\frac{e^{6t}}{e^{6t}} dt = c e^{3x} \int 1 = c \, x \, e^{3x} }[/math]

Exemple 3: EDO lineal de tercer ordre amb coeficients constants [math]\displaystyle{ y''' - y'' - y' + y = 0 }[/math]

De l'equació característica obtenim dues solucions: [math]\displaystyle{ \begin{cases} y_1(x) = e^x \\ y_2(x) = e^{-x} \end{cases} }[/math] Suposem que la solució és del tipus [math]\displaystyle{ y_3(x) = u(x) e^x }[/math]. [math]\displaystyle{ y_3'(x) = u' e^x + u e^x }[/math] [math]\displaystyle{ y_3''(x) = u'' e^x + 2 u' e^x + u e^x }[/math] [math]\displaystyle{ y_3'''(x) = u''' e^x + 3 u'' e^x + 3 u' e^x + u e^x }[/math] Substituint a l'EDO: [math]\displaystyle{ u''' e^x + 3 u'' e^x + \cancel{3 u' e^x} + \cancel{u e^x} - (u'' e^x + \cancel{2 u' e^x} + \cancel{u e^x}) - (\cancel{u' e^x} + \cancel{u e^x}) + \cancel{u(x) e^x} = 0 \iff }[/math] [math]\displaystyle{ \iff u''' + 2 u'' = 0 }[/math] Aleshores, tenim la solució [math]\displaystyle{ u''(x) = c_1 e^{-2x} }[/math]. [math]\displaystyle{ u'(x) = \int c_1 e^{-2x} = -\frac{c_1}{2} e^{-2x} + c_2 }[/math] [math]\displaystyle{ u(x) = \int \left( -\frac{c_1}{2} e^{-2x} + c_2 \right) dx = \frac{c_1}{4}e^{-2x} + c_2x + c_3 }[/math] [math]\displaystyle{ y_3(x) = u(x) e^x = \frac{c_1}{4}e^{-x} + c_2xe^x + c_3e^x }[/math]