Quadratures

[math]\displaystyle{ I = \int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=0}^n w_i f(x_i) }[/math], on [math]\displaystyle{ w_i }[/math] són els pesos i [math]\displaystyle{ f(x_i) }[/math] són els punts.

Newton-Cotes

• Tenim fixats [math]\displaystyle{ x_i = a + h_i, \quad h = \frac{b-a}{n} }[/math]
• Trobar [math]\displaystyle{ w_i }[/math] per integrar pol. fins a grau n.

• n+1 pesos
• n+1 pol. a integrar
• quadratura lineal en [math]\displaystyle{ w_i }[/math]

Així doncs, resoldrem un sistema lineal:

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \int_a^b 1 = \sum w_i \cdot 1 \\ \int_a^b x = \sum w_i \cdot x_i \\ \vdots \\ \int_a^b x^n = \sum w_i \cdot x^n \end{array} \right\} \implies \begin{bmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ x_0 & \cdots & x_n \\ \vdots & & \vdots \\ x_0^n & \cdots & x_n^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_0 \\ w_1 \\ \vdots \\ w_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \int_a^b 1 \\ \int_a^b x \\ \vdots \\ \int_a^b x^n \end{bmatrix} }[/math]

Però no tindrem la convergència assegurada.

Gauss

• Trobar ambdós [math]\displaystyle{ x_i }[/math] i [math]\displaystyle{ w_i }[/math] per integrar el grau més alt possible.
• Problema no lineal.
• Ordre de quadratura: [math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math]
• Conv. assegurada
• Us la donarem a [math]\displaystyle{ [-1, 1] \rightarrow \text{canvi de variable} }[/math]