709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Espais vectorials"
From Potatopedia
Tema 2. Espais vectorials (view source)
Revision as of 20:31, 4 October 2017
, 20:31, 4 October 2017Canviats els {{Collapse top}} per {{Example top}} i afegida informació fins al 5é exemple d'espais vectorials
m (Afegit espai) |
(Canviats els {{Collapse top}} per {{Example top}} i afegida informació fins al 5é exemple d'espais vectorials) |
||
| Line 31: | Line 31: | ||
Notació: <math>\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} = \{\text{conjunt de classes de congrüència mòdul n}\}</math> (es llegeix "zeta mòdul n") | Notació: <math>\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} = \{\text{conjunt de classes de congrüència mòdul n}\}</math> (es llegeix "zeta mòdul n") | ||
{{ | {{Example top|Exemple: <math>n=5</math>}} | ||
<math>\frac{\mathbb{Z}}{5\mathbb{Z}} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}\}</math> | <math>\frac{\mathbb{Z}}{5\mathbb{Z}} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}\}</math> | ||
| Line 38: | Line 38: | ||
{{Collapse bottom}} | {{Collapse bottom}} | ||
{{ | {{Example top|Exercici: Comproveu que les operacions suma i producte estan ben definides a <math>\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math>}} | ||
<math>\begin{cases} \bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b} \\ | <math>\begin{cases} \bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b} \\ | ||
\bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{a \cdot b} \end{cases} en \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math> | \bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{a \cdot b} \end{cases} en \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math> | ||
| Line 93: | Line 93: | ||
Els elements de <math>K</math> s'anomenen <u>escalars</u>. | Els elements de <math>K</math> s'anomenen <u>escalars</u>. | ||
{{Example top|Exemple 1: <math>K^n = \{\text{conjunt de } n\text{-tuples amb coeficients en } K\} = \{(a_1, ..., a_n) \mid a_i \in K\}</math>}} | |||
<math>K_n</math> és K-e.v. amb les <u>operacions naturals</u>: | |||
<math>\begin{cases} (a_1, ..., a_n) + (b_1, ..., b_n) = (a_1 + b_1, ..., a_n + b_n) \\ \lambda(a_1, ..., a_n) = (\lambda a_1, ..., \lambda a_n) \end{cases}</math> | |||
{{Collapse bottom}} | |||
{{Example top|Exemple 2: <math>M_{m \times n}(k) = \{\text{matrius } m \times n \text{ amb coeficients en } K\}</math>}} | |||
Són matrius que tenen m files i n columnes, amb elements de la forma <math>(a_{ij}) \mid a_{ij} \in K, i \in \{1, ..., n\}, j \in \{1, ..., m\}</math>, on <math>ij</math> és el coeficient amb posició. | |||
<math>M_{m \times n}(K)</math> és un K-e.v. amb les <u>operacions naturals</u>: | |||
<math>\begin{cases} (a_{ij}) + (b_{ij}) = (a_{ij} + b_{ij}) \\ \lambda(a_{ij}) = (\lambda a_{ij}) \end{cases}</math> | |||
{{Collapse bottom}} | |||
{{Example top|Exemple 3: <math>K_n[x] = \{\text{polinomis de } K[x] \text{ de grau} \leq n\}</math>}} | |||
Són tots els polinomis de la forma <math>\{a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n \mid a_i \in K\}</math>. | |||
És un K-e.v. amb les <u>operacions naturals</u>. | |||
{{Collapse bottom}} | |||
'''<u>Comentari:</u>''' un mateix conjunt pot ser E.V. respecte operacions diferents i, de fet, respecte cosos diferents també. | |||
'''<u>Exemple:</u>''' <div style="display: inline-block; vertical-align:top;"><math>\begin{array}{rl} E = \mathbb{C}^2 & \text{és } \mathbb{C}\text{-e.v.} \\ & \text{és } \mathbb{R}\text{-e.v.} \\ & \text{és } \mathbb{Q}\text{-e.v.}\end{array}</math></div> | |||
{{Example top|Exemple 4: <math>E = K[x] = \{\text{polinomis amb coeficients en } K\}</math>}} | |||
És k-e.v. amb les <u>operacions naturals</u>. | |||
{{Collapse bottom}} | |||
{{Example top|Exemple 5: <math>E = \zeta([a, b]) = \{\text{funcions contínues } f: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R}\}</math>}} | |||
És <math>\mathbb{R}\text{-e.v.}</math> amb <u>operacions naturals</u>: | |||
<math>\begin{cases} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \\ (\lambda f)(x) = \lambda \cdot f(x) \end{cases}</math> | |||
{{Collapse bottom}} | |||
== Referències == | == Referències == | ||
