709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Espais vectorials"
From Potatopedia
Tema 2. Espais vectorials (view source)
Revision as of 21:36, 9 October 2017
, 21:36, 9 October 2017Afegit fins el Teorema de Steinitz
(Afegit fins al començament del dia 22/09) |
(Afegit fins el Teorema de Steinitz) |
||
| Line 310: | Line 310: | ||
<math>(i) \implies (ii)</math>: <math>\left.\begin{array}{r} \exists u_1, \ldots, u_n \in S \\ \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K \end{array}\right\} \text{tals que} \left\{\begin{array}{l} \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n u_n = \vec{0} \\ \text{podem suposar } \lambda_1 = 0 \end{array}\right\} \implies \\ \implies a_1 = \underbrace{- \frac{\lambda_2}{\lambda_1} u_2 - \frac{\lambda_3}{\lambda_1} u_3 - \ldots - \frac{\lambda_n}{\lambda_1} u_n}_{\text{combinació lineal de vectors de } S}</math> | <math>(i) \implies (ii)</math>: <math>\left.\begin{array}{r} \exists u_1, \ldots, u_n \in S \\ \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K \end{array}\right\} \text{tals que} \left\{\begin{array}{l} \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n u_n = \vec{0} \\ \text{podem suposar } \lambda_1 = 0 \end{array}\right\} \implies \\ \implies a_1 = \underbrace{- \frac{\lambda_2}{\lambda_1} u_2 - \frac{\lambda_3}{\lambda_1} u_3 - \ldots - \frac{\lambda_n}{\lambda_1} u_n}_{\text{combinació lineal de vectors de } S}</math> | ||
=== Base === | |||
{{Definició|Sigui E un K-e.v. Una base de E és un subconjunt <math>B \subseteq E</math> tq: | {{Definició|Sigui E un K-e.v. Una base de E és un subconjunt <math>B \subseteq E</math> tq: | ||
| Line 330: | Line 331: | ||
'''<u>Comentari:</u>''' Suposem que E K-e.v. f.g. | '''<u>Comentari:</u>''' Suposem que E K-e.v. f.g. | ||
# | # Tot conjunt finit de generadors conté una base finita de E. | ||
# Tot conjunt (arbitrari) de E també conté un conjunt finit de generadors i, per tant, una base finita d'E. | |||
# | # Per (2), totes les bases de E són finites i veurem que totes tenen el mateix cardinal (nº de vectors) ← [dimensió de E] | ||
'''<u>Justificació:</u>''' Suposem <math>\left\{\begin{array}{l} E = \langle T \rangle, amb T qualsevol \\ E = \langle S \rangle amb S finit \end{array}\right\}</math> | '''<u>Justificació:</u> (2)''' Suposem <math>\left\{\begin{array}{l} E = \langle T \rangle, \text{amb } T \text{ qualsevol} \\ E = \langle S \rangle, \text{amb } S \text{ finit} \end{array}\right\} S \subseteq \langle T \rangle \stackrel{\text{S finit}}{\implies} S \subseteq \langle T' \rangle \text{ amb} \begin{cases} T' \subseteq T \\ T' \text{ finit} \end{cases}</math> | ||
Així, <math>E = \langle S \rangle \subseteq \langle T' \rangle \implies E = \langle T' \rangle</math> | |||
=== Teorema de Steinitz === | |||
Sigui E un k-e.v. f.g. i sigui <math>\{ u_1, \ldots, u_n \}</math> un conjunt de <u>generadors</u> de E. Sigui <math>\{ w_1, \ldots, w_m \}</math> un conjunt <u>l.i.</u> de vectors de E. Aleshores: | |||
<math>m \leq n</math> i podem substituir m vectors del conjunt <math>\{ u_1, \ldots, u_n \}</math> pels m vectors de <math>\{ w_1, \ldots, w_m \}</math> de manera que el conjunt obtingut sigui també un conjunt de generadors de E. | |||
'''<u>Demostració:</u>''' (raonarem per inducció sobre "m") | |||
<u>Cas m=0:</u> OK. | |||
<u>Suposem que m>0:</u> | |||
Fem la <u>hipòtesi d'inducció</u>: | |||
<u>H.I:</u> Cas m-1 del teorema és cert. | |||
Volem veure que el <u>cas m</u> del teorema és cert. | |||
Siguin <math>\begin{array}{l} \{u_1, \ldots, u_n\} \text{ generadors de E i} \\ \{ w_1, \ldots, w_m \} \text{ l.i.} \end{array}</math> | |||
<math>\{ w_1, \ldots, w_{m-1} \} \text{ l.i.} \stackrel{\text{(H.I.)}}{\implies} \begin{cases} m-1 \leq n \\ \text{podem suposar que } E = \langle w_1, \ldots, w_{m-1}, u_m, \ldots, u_n \rangle \\ \text{ (renumerant } u_1, \ldots, u_n) \end{cases}</math> | |||
<math>w_m \in E = \langle w_1, \ldots, w_{m-1}, u_m, \ldots, u_n \rangle \implies w_m = \lambda_1 w_1 + \ldots + \lambda_{m-1} w_{m-1} + \mu_m u_m + \ldots + \mu_n u_n</math> però <math>\{ w_1, \ldots, w_{m-1}, w_m \} \text{ l.i.} \implies \begin{array}{l} \text{alguna } \mu \neq 0 \\ \text{i podem suposar } \mu_m \neq 0 \end{array}</math> | |||
Per tant, <math>\begin{cases} m \leq n \\ \text{aillant } m \text{ obtenim } u_m \in \end{cases}</math> | |||
<math>m \leq n</math> perquè si <math>\{u_1, \ldots, u_n\}</math> són generadors, no hi pot haver (n+1) vectors l.i. <!-- És cert això? --> | |||
== Referències == | == Referències == | ||
