709
edits
Difference between revisions of "Tema 1. Sèries numèriques i integrals impròpies"
From Potatopedia
Tema 1. Sèries numèriques i integrals impròpies (view source)
Revision as of 20:38, 24 September 2018
, 20:38, 24 September 2018Fet fins criteri de comparació al límit (falten exemples)
(Fet fins propietat d'associativitat (falta demo)) |
(Fet fins criteri de comparació al límit (falten exemples)) |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
== Introducció == | |||
{{Definició|Una <u>sèrie</u> de nombres reals és un parell de successions <math>(a_n)_{n \geq 0}, (s_n)_{n \geq 0}</math> relacionades per <math>s_n = \sum_{k=0}^n a_k</math> on: | {{Definició|Una <u>sèrie</u> de nombres reals és un parell de successions <math>(a_n)_{n \geq 0}, (s_n)_{n \geq 0}</math> relacionades per <math>s_n = \sum_{k=0}^n a_k</math> on: | ||
* <math>a_n</math> és el <u>terme</u> n-èssim | * <math>a_n</math> és el <u>terme</u> n-èssim | ||
| Line 42: | Line 43: | ||
{{Proposició|Si dues successions <math>(a_n), (b_n)</math> són iguals llevat d'un nombre finit de termes, aleshores les dues sèries <math>\sum a_n \text{ i } \sum b_n</math> tenen el mateix caràcter (les dues són convergents, divergents o oscil·lants).|Les dues són iguals llevat d'un nombre finit de termes, o sigui, a partir d'algun <math>n_0</math> les dues successions són iguals. | {{Proposició|Si dues successions <math>(a_n), (b_n)</math> són iguals llevat d'un nombre finit de termes, aleshores les dues sèries <math>\sum a_n \text{ i } \sum b_n</math> tenen el mateix caràcter (les dues són convergents, divergents o oscil·lants).|Les dues són iguals llevat d'un nombre finit de termes, o sigui, a partir d'algun <math>n_0</math> les dues successions són iguals. | ||
Per tant, si <math>n \geq n_0 | Per tant, si <math>n \geq n_0</math>, <math>\begin{array}{l} \sum_{k=0}^n a_k = \overbrace{\sum_{k=0}^{n_0 - 1} a_k}^{A} + \sum_{k=n_0}^n a_k \\ \sum_{k=0}^n b_k = \underbrace{\sum_{k=0}^{n_0 - 1} b_k}_{B} + \sum_{k=n_0}^n b_k \end{array} \underset{a_k = b_k \text{ si } k \geq n_0 \\ \text{i fem el límit}}{\implies} \begin{array}{l} \lim \sum_{k=0}^n a_k = A + \lim \sum_{k=n_0}^n a_k \\ \lim \sum_{k=0}^n b_k = B + \lim \sum_{k=n_0}^n a_k \end{array}</math>}} | ||
{{Proposició|(associativitat) Sigui <math>\sum_{n \geq 0} a_n</math> una sèrie i <math>(n_k)_{k \geq 0}</math> una successió estrictament creixent de nombres naturals. | {{Proposició|(associativitat) Sigui <math>\sum_{n \geq 0} a_n</math> una sèrie i <math>(n_k)_{k \geq 0}</math> una successió estrictament creixent de nombres naturals. | ||
| Line 48: | Line 49: | ||
Definim <math>b_0 = a_0 + \cdots + a_{n_0}</math> i, si <math>k > 0, b_k = a_{n_{k-1}+1} + \cdots + a_{n_k}</math>. | Definim <math>b_0 = a_0 + \cdots + a_{n_0}</math> i, si <math>k > 0, b_k = a_{n_{k-1}+1} + \cdots + a_{n_k}</math>. | ||
Aleshores, <math>\exists \sum_{n \geq 0} a_n \implies \exists \sum_{k \geq 0} b_k \text{ i } \sum_{n \geq 0} a_n = \sum_{k \geq 0} b_k</math>}} | Aleshores, <math>\exists \sum_{n \geq 0} a_n \implies \exists \sum_{k \geq 0} b_k \text{ i } \sum_{n \geq 0} a_n = \sum_{k \geq 0} b_k</math> | ||
El que estem fent és: <math>\sum a_n = \underbrace{(a_0 + a_1 + \cdots + a_{n_0})}_{b_0} + \underbrace{(a_{n_0+1} + \cdots + a_{n_1})}_{b_1} + \underbrace{(a_{n_1+1} + \cdots + a_{n_2})}_{b_2} + \cdots</math>| | |||
<math>\left.\begin{array}{r} A_n \text{ suma parcial d'}(a_n) \\ B_n \text{ suma parcial de }(b_n) \end{array}\right\} \implies B_k = A_{n_k} \quad (A_n) \text{ té limit} \underset{(B_k) \text{ successió} \\ \text{parcial d'} (A_n)}{\implies} (B_k) \text{ té límit i és el mateix}</math>}} | |||
{{Observació|El recíproc és fals. Per exemple: | |||
<math>\sum_{n \geq 0} (-1)^n = \begin{cases} (1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0 \\ 1-(1+1)-(1-1)-\cdots=1 \end{cases}</math>}} | |||
== Sèries de termes positius == | |||
Si una sèrie <math>\sum a_n</math> és de termes positius (<math>a_n \geq 0</math>), aleshores la successió de sumes parcials és creixent, i doncs sempre té límit (finit o infinit). | |||
<math>\sum_{n \geq 0} a_n = \lim s_n = \sup s_n = \left\{\begin{array}{ll} L \in [0, +\infty[ & \text{convergent} \\ +\infty & \text{divergent} \end{array}\right.</math> | |||
{{Proposició|(criteri de comparació directa) Siguin <math>\sum a_n, \sum b_n</math> sèries de termes positius. Si <math>\exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tq } \forall n \geq n_0, a_n \leq b_n</math>, aleshores <math>\sum_{k=n_0}^\infty a_k \leq \sum_{k=n_0}^\infty b_k</math> | |||
Per tant: <math>\begin{array}{rcl} \sum b_k \text{ conv.} & \implies & \sum a_k \text{ conv.} \\ \sum a_k \text{ div.} & \implies & \sum b_k \text{ div.} \end{array}</math>|Trivial: <math>\sum_{k=n_0}^n a_k \leq \sum_{k=n_0}^n b_k \implies \lim \sum_{k=n_0}^n a_k \leq \lim \sum_{k=n_0}^n b_k</math>, ...}} | |||
== La sèrie harmònica i la sèrie de Riemann == | |||
{{Definició|Anomenem <u>sèrie harmònica generalitzada</u>, o <u>sèrie de Riemann</u> de paràmetre <math>p \in \mathbb{R}</math>, a la sèrie: <math>\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n^p}</math> | |||
Quan <math>p=1</math>, tenim la <u>sèrie harmònica</u>: <math>\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n}</math>}} | |||
{{Proposició|La sèrie de Riemann és convergent <math>\iff p>1</math>| | |||
* <math>p=1</math> (sèrie harmònica) | |||
Utilitzarem l'associatitivitat i la comparació directa: | |||
<math>\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + \cdots + (\frac{1}{2^{k-1}} + \cdots + \frac{1}{2^k}) + \cdots \\ \geq 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + \cdots = \\ = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots = + \infty</math> | |||
* <math> p < 1 \implies n^p \leq n \implies \frac{1}{n^p} \geq \frac{1}{n} \underset{\text{comparació}}{\implies} \text{divergent}</math> | |||
* <math>p > 1</math> | |||
<math>\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^p} = 1 + (\frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p}) + (\frac{1}{4^p} + \cdots + \frac{1}{7^p}) + \cdots \\ \leq 1 + (\frac{1}{2^p} + \frac{1}{2^p}) + (\frac{1}{4^p} + \cdots + \frac{1}{4^p}) = \\ = 1 + (\frac{1}{2^{p-1}}) + \frac{1}{2^{2(p-1)}} + \cdots + \frac{1}{2^{(n-1)(p-1)}} + ...</math> | |||
En aquest cas és una sèrie geomètrica de raó <math>\frac{1}{2^{p-1}} < 1</math>, així que pel criteri de comparació directa, <math>\sum\frac{1}{n^p}, p > 1</math> és convergent. | |||
* Demostració alternativa de la no convergència de la sèrie harmònica: | |||
Suposem <math>\sum \frac{1}{n} = s</math> convergent. | |||
Llavors <math>s = (1 + \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + \cdots > (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + \cdots = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = s</math> | |||
Com <math>s > s</math> és una contradicció, en realitat la suposició que la sèrie fos convergent és errònia.}} | |||
{{Proposició|(criteri de comparació en el límit) Siguin <math>\sum a_n, \sum b_n</math> sèries de termes estrictament positius, i suposem que <math>\exists \lim \frac{a_n}{b_n} = l \in [0, +\infty]</math> | |||
Aleshores: | |||
* Si <math>l < +\infty \text{: } \begin{array}{c} \sum b_n \text{ convergent} \implies \sum a_n \text{ convergent} \\ \sum a_n \text{ divergent} \implies \sum b_n \text{ divergent} \\ \end{array}</math> | |||
* Si <math>l > 0 \text{: } \begin{array}{c} \sum a_n \text{ convergent} \implies \sum b_n \text{ convergent} \\ \sum b_n \text{ divergent} \implies \sum a_n \text{ divergent} \\ \end{array}</math> | |||
* Si <math>0 < l < +\infty</math>: les dues sèries tenen el mateix caràcter.| | |||
* <math>l < +\infty</math> | |||
Fixada <math>\epsilon > 0</math>, per definició de límit <math>\exists n_0 \text{ tq } n \geq n_0 \implies \frac{a_n}{b_n} < l + \epsilon \implies a_n < (l + \epsilon)b_n</math> | |||
Per comparació directa, queden demostrades les dues implicacions. | |||
* <math>l > 0</math>: es dedueix de l'anterior i <math>\frac{b_n}{a_n} \longrightarrow \frac{1}{l}</math> | |||
* <math>0 < l < +\infty</math>: conjunció dels dos primers.}} | |||
