Tema 4. Del Big Bang al model concordant ΛCDM

Introducció

1a Guerra Mundial: es talla flux de notícies a Rússia (fins llavors Einstein sonava a tothom). Va haver expedicions al 1919 per comprovar que la llum era deflectada (resultat de la relativitat general).

• Solner: llum es desvia (però per això es necessitava massa).
• Einstein: va repetir el mateix càlcul però sense massa. Va obtenir el mateix resultat (però es va equivocar! Realment hauria d'haver sortit el doble).

Problema: mesurar l'angle de deflexió d'una estrella pel Sol implica que no es veu pq el Sol emet llum. Però epa! Hi ha eclipses! Els aprofitem per mesurar-ho.

Einstein s'adona que va fer un error al 1911 fent el càlcul: amb la RG aquest angle és doble. Això és el que fa que hi haguessin les expedicions per comprovar aquest nou resultat que dona el doble.

Versió de Newton: pren mètrica de Minkowski ($ds^2 = c^2 dt^2 - dr^2 = 0$ per fotons). Això dona un angle de deflexió de: $$\theta_N = \frac{2 GM}{c^2 b},$$ on $b$ és el paràmetre d'impacte (distància mínima al Sol de la trajectòria del fotó). [math]\displaystyle{ \theta_{N, \odot} \approx 0.875'' }[/math].

Amb la mètrica de Schwarzchild pel cas de $\phi_{grav}/c^2 \ll 1$: $$ds^2 = \left( 1 + \frac{2 \phi}{c^2} \right) c^2 dt^2 - \left( 1 - \frac{2 \phi}{c^2} \right) dr^2 = 0.$$ $$\theta_E = \frac{4 G M}{c^2 b} = \frac{2 R_s}{b} \approx 1.8 \text{ segons d'arc}$$

Dóna el doble perquè tant l'energia com el moment contribueixen a l'angle.

Data: dijous 2 de desembre de 2021

1919: Friedmann per fi (vivia a Rússia i 1a guerra mundial, cositas) va rebre notícies de la primera expedició exitosa que va observar l'eclipsi i corroborava la desviació de la llum relativista (doble del valor).

Comentaris de coses pasades:

• Diferència entre $\Omega$'s: localment les evolucions d'$a$ respecte el temps per totes les òmegues són bastants similars. Ens hem d'anar a les supernoves (red-shift $z = 1$) per veure on estem sense moltes barres d'error (la Terra localment és plana, hem d'allunyar-nos per apreciar que és esfèrica).

• Tots els models amb un fluid tenen edats de l'univers (respecte l'actualitat) més petites que la que surt de $\Omega_M = 0.3, \Omega_\Lambda = 0.7$ (amb matèria fosca). Els geòlegs estimaven l'edat de la Terra amb tècniques radioactives. Sortien coses grans, més que si només consideràvem 1 fluid.

• La frontera d'un 3-torus dins de 4D té curvatura 0 i també es compatible amb les equacions de la relativitat general. Les equacions de la RG NO ens diuen res de la topologia de l'espai, només de la curvatura.
• Si l'espai és infinit, ho ha de ser sempre, i el mateix si és finit. Ningú ha demostrat que l'univers és infinit.

Continuem amb el tema:

Lemaître va usar dades dels primers que havien fet observacions amb espectres de galàxies (no sabien que eren galàxies llavors!) on hi havia desplaçament de les línies que permetien calcular velocitats radials. Va trobar una relació lineal. Ho va publicar en una revista belga, i no va passar res.

Hubble va publicar-ho després a una revista popu i es va convertir en mafiós (quan ho hauria d'haver sigut el Lemaître).

Hamasson: matxaca del Hubble. El van posar de la neteja al laboratori i l'agafaven per fer coses perquè li agradava molt. Va acabar sent membre de l'staff i ajudant al Hubble.

Llei de Hubble: a distàncies curtes les velocitats pesen més que les velocitats d'expansió de l'univers i, per tant, hi ha desviacions.

Red-shift d'Andromeda: realment és un blue-shift perquè s'està apropant a nosaltres (bé, en realitat nosaltres a Andromeda ja que és més massiva Andromeda hehe).

Amb la distància el que hi ha és dispersió per errors d'observació, no perquè té efectes la velocitat peculiar.

Paràmetre de Hubble: el Hubble va treure'l a partir de les Cefeides (ara sabem que hi ha diversos tipus), però els càlculs eren amb un tipus i donava un resultat erroni.

1950: Walter Buddle (?) descobreix els tipus de Cefeides i ja comencen a obtenir valors que no conflicteixen tant amb l'edat de la Terra.

1960: Ja es comença a veure que $H_0 \in [50, 100]$. La distribució és bimodal (hi ha una moda al 50 i una altra al 100, dos pics de la distribució).

Inici de la cosmologia de precisió: quan es va baixar la precisió de l'$H_0$ al 10%. Les mesures es van començar a centrar al voltant del $H_0 = 70 \text{km/s/Mpc}$.

The Hubble Tension: més de 3 sigmes de discrepància en les mesures d'$H_0$! HST+GAIA, P+24 tenen 2 valors diferents. Passa el mateix que abans amb 50 i 100! I abrocha el cinturón, que ara amb les ones gravitacionals (BNS) hi ha la previsió que ens surti un valor en mig dels 2 pics actuals.

@TODO: Inserir https://www.researchgate.net/publication/345989751/figure/fig3/AS:959065047982083@1605670334536/Measured-H-0-value-as-a-function-of-time-from-Ezquiaga-and-Zumalacarregui-2017-The_W640.jpg (font: https://www.researchgate.net/publication/345989751_Testing_and_Emulating_Modified_Gravity_on_Cosmological_Scales/figures?lo=1)

Desenvolupament modern

Matèria fosca

Algú va tenir la idea que faltava matèria a la nostra galàxia per descriure els seus moviments (ho dedueix erròniament). Després, Zwicky (1937) estudia un el cúmul de glàxies de Coma i mesurant les velocitats calcula la massa de cada galàxia. Però no funciona perquè amb aquelles masses el cúmul s'hagués dispersat. No quadrava. Per tant dedueix (erròniament) que la galàxia hauria de tenir 400 vegades més massa de les que tenia (era una exageració). Per tant, primers indicis de matèria fosca (que no es veu).

Dins dels cúmuls de galàxies: on podem trobar les velocitats més grans de tot l'univers (perquè no col·lapsi, però alhora tampoc escapi, $v \sim 10^3 \text{km/s}$).

Velocitats radials d'una galàxia

1975: Vera Rubin. A les galàxies, hauria de passar: $$\frac{v^2}{R} = \frac{GM(<R)}{R^2} \iff v \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$$

Kepler: $v \propto R^{-1/2}$. Si a l'equació anterior fem $v$ constant, obtenim: $$M \propto R$$

Tal com podem veure a la gràfica de la dreta, ens fa falta matèria/massa d'algun lloc.

Data: divendres 3 de desembre de 2021

Corbes de velocitats: la part del principi i el pic està ben explicat pels barions. Però llavors a la part de fora hauria de decaure, i en realitat es manté constant. Va haver una explicació del model MOND (Modified Newton Dynamics) però realment el que ho explica és l'halo.

Efecte lent gravitatòria

Efecte lent gravitatòria: distorsiona la imatge, però també fa que arribi més llum (abans arribava un raig directe, ara arriben més raigs per l'efecte de la lent).

• Aquest efecte permet obtenir no només la massa de la galàxia fins a cert radi sinó el perfil de densitats (integrant fins diferents radis).
• Einstein ring: deformació perfecte d'un objecte que està just darrere de la galàxia i es forma un anell al voltant de la galàxia.
• Efecte de microlent: no s'arriba a veure la forma de l'objecte (i per tant tampoc la seva deformació) sinó només l'increment del flux.

En una galàxia podem veure arcs (altres galàxies que es veuen per l'efecte de la lent gravitatòria). Els arcs es veuen:

1. Distorsionats
2. Augmentats en brillantor

The "Bullet cluster": 2 núvols que estaven xocant. És l'exemple/evidència més directa de l'existència de matèria fosca. Hi ha 2 cúmuls que estan en la zona de la dreta, i 2 en la zona de l'esquerra. En colors vermellosos, hi ha gasos de raigs X (galàxies estan banyades en un gas molt diluit de ??? que està a temperatura $T = 10^8 \text{ K}$ i per tant emet en raigs X). El gas està en mig (gas vermellòs). La quantitat de massa en el gas és inclús superior a la massa de les galàxies. Amb tècniques de lent gravitatòria es busca on està el pic de massa, i està curiosament a les galàxies (que són les que aporten menys massa).

Per tant això ens indica que la matèria fosca és acol·lisional (secció eficaç molt baixa), perquè ha pogut interpenetrar-se sense cap tipus de col·lisió. Si no hi hagués això, veuríem el blau al mig de la foto.

@TODO: Inserir imatge https://www.esa.int/ESA_Multimedia/Images/2007/07/The_Bullet_Cluster2

MACHO project: MACHO vol dir Massive Compact Halo Object :) Quan s'alineïi un MACHO amb una estrella, veurem un flaix degut a l'efecte de lent gravitatòria. Aquest projecte va determinar que a l'halo de la galàxia no hi havia suficient MACHOs per cubrir tota la matèria que faltava a l'halo per explicar-lo.

Hi havia la teoria que els MACHOs aquests que podrien omplir el dèficit de massa podrien ser forats negres (primordial black holes, PBHs). No s'han vist suficients evidències. Per sota de $10^{-15}$ masses solars els PBHs per l'efecte de la radiació de Hawking s'evaporen. La gràfica mostra en l'eix vertical quina fracció de matèria fosca s'explicaria per forats negres d'aquelles massa solars. Hi ha 2 finestres possibles petites, però no sembla que siguin els principals contribuents de la matèria fosca.

@TODO: Inserir imatge https://francis.naukas.com/2017/02/10/la-materia-oscura-no-son-agujeros-negros-de-masa-estelar/dibujo20170207-black-hole-dark-matter-constraints-marco-cirelli-2016/

Dark matter

• The most common type of non-baryonic DM are exotic particles (partícules fora del model estàndard; tot i que al model estàndard hi ha neutrins que és matèria fosca, però es refereix a altres) created thermally in the first instances of the univers that do not interact with the electromagnetic force.
• Tenen una interacció molt baixa (secció eficaç molt baixa). Secció eficaç/probabilitat creix amb la densitat però també amb la velocitat relativa.
  • Per tant, quan les 2 galàxies de l'exemple anterior xocaven a velocitats relatives molt altes, podria arribar a autoanhiquilar-se matèria fosca. Hi ha algun resultat sobre això però no hi ha evidència d'autoanhiquilació d'aquest tipus.
• Masses de la matèria fosca: pot restringida, they span 60 orders of magnitude, from ultra-light bosons to massive primordial black holes.
• Històricament: s'havien definit 3 categories de matèria fosca. (això sen's ha de quedar) Representen com lluny es poden moure les partícules per moviments aleatoris des de la seva creació abans que es converteixen en no relativistes per l'expansió de l'univers (free-streaming length), que són les distàncies que poden pertorbar les inhomogeneitats per homogeneitzar-les. Les categories són les següents:
  • Freda (cold dark matter): amb free-streaming length d'escala menor que l'escala d'una protogalàxia
    • Exemples: WIMPs (Weakly Interactive Massive Particles) (són fermions), neutralins (són bosons), axions.
  • Tèbia: free-streaming length de l'escala d'una protogalàxia. Ordre del keV.
    • Exemples: neutrins estèrils, gravitons.
    • Els neutrins són left-handed, els antineutrins right-handed (spin i model lineal paral·lels en mateixa direcció). Els neutrins estèrils poden tenir qualsevol massa, i són els right-handed.
  • Calenta: free-streaming length d'escala major que l'escala d'una protogalàxia

Sabem que la formació de galàxies és bottom-up, no top-down (de petites estructures a més grans, no a l'inrevés, les galàxies no es trenquen en galàxies més petites perquè els temps d'escala de les formacions bottom-up són molt més petits que els de les top-down, que tenen temps d'escala inclús superiors a l'edat de l'univers).

L'òrbita de la terra respecte el pla galàctic està inclinada 60º, llavors degut al moviment de la Terra al voltant del Sol i del Sol al voltant de la galàxia, si vingués un vent de WIMP del centre de la galàxia tindríem un flux periòdic cada any. Hi ha evidències però res confirmat.

Neutrins primordials són tots no relativistes. Això és perquè tot i que es van crear relativistes, ja han perdut tots suficient velocitat degut a l'expansió. Ara mateix els relativistes venen del Sol. Tenim 50 vegades més neutrins primordials que els del Sol, però els primordials com tenen velocitats més baixes tenen menys probabilitat d'interacció i per tant més difícil de detectar.

Nota sobre la categorització de dark matter: si les partícules es mouen ràpidament, tenen longitud de difusió més gran. Al final les partícules segueixen un moviment brownià: són xocs, llavors es transmet informació, i aquests xocs són el que fa que s'homogenitzi l'espai.

Data: 13 de desembre de 2021

Com a mínim, si hi ha matèria fosca tipus WIMP, han de ser de l'ordre de 100 vegades la massa del protó.

• Cold Dark Matter: (com els WIMP) són multituds de petits halos, cadascun amb una galàxia satèl·lit. Però no s'observen tantes al voltant de la nostra galàxia: missing satellite problem.
• Warm Dark Matter: es difon més que la cold dark matter (però no excessivament). Tampoc sembla que acabi d'explicar la matèria fosca.
• Axions: podrien estar al voltant d'estels de neutrons no pulsant. Haurien de trobar-se a l'espectre de raigs X molt energètics (s'han teoritzat però no confirmat).

Les primeres simulacions cosmològiques de wavelike dark matter mostren que:

• LSS axions cosmic structure is statistically equivalent to standard CDM.
• Heavy supression of gravitational collapse on scales below one kpc (the De Broglie wavelength of particles with virial velocitites) due to Heisenberg's uncertainty principle, so the missing satellite problem is solved.
• Dwarf galaxy density profiles are dominated by flat, extended, and dense solitonic (stable and localized configurations of the bosonic field) cores.
• Denser, more massive and concentrated solitons dominate the central region of massive galaxies, providing a substantial seed to help explain early spheroid formation. At scales above 1 kpc halos of MW galaxies follow the NFW density profile.
• The onset of galaxy formation is substantially delayed relative to CDM, due to the supression of fluctuations, appearing at redshift $z \lsim 12$ (consistent with observations).

Most critical result of wavelike dark matter: tipus de partícula preferida: axions ultralleugers, els menys massius de tots (masses de $\lsim 10^{-22} \text{ eV}$). Això posa nerviós a la gent perquè és molt menys massiu que altres partícules (molts ordres de magnitud per sota).

Dark sector: fotons foscos, electromagnetisme fosc, etc. Les galàxies formen un disc per procesos, però això també pot passar amb la matèria fosca si hi ha fotons foscos, EM fosc, etc. S'ha confirmat amb Gaia (2017) que això està descartat a la nostra galàxia.

Nucleosíntesi primordial

Nucleosíntesi dels elements durant l'època inicial de l'univers.

Anys 40, dues escoles:

• Gamow: tots els elements es van crear durant les primeres èpoques de l'univers. Paper Alpher–Bethe–Gamow.
  • S'equivocava, només es creava Hidrogen, Heli, i alguns isòtops de Li, Be, C.
  • La composició de l'Univers en massa és: 75% Hidrogen, 25% Heli, 2% resta d'elements de la taula periòdica.
    • Tot l'heli és gairebé primordial. I les estrelles NO poden formar hidrogen (error de l'altre grup).
• Hoyle, Gold, Bondi, etc.: partidaris que tots els elements es formaven a les estrelles. Proposaven que l'H es formava a les estrelles, quan això no és així. Això no necessitaria big bang, per això proposaven una teoria de l'estat estacionari (no només és homogeni i isòtrop, sinó que és homogeni en el temps: l'univers no tenia un principi).
  • Grans pares i mares de la nuclesíntesi estel·lar.

Paràmetre $\eta$: ràtio barions-fotons. En funció de $\eta$ ... etc.

Model de l'estat estacionari

L'univers és homogeni i isòtrop per tot temps, per tant no té ni començament ni final. Un univers d'aquestes característiques té $k = 0$ i per tant paràmetre de Hubble constant. (I per tant s'està expandint exponencialment, és de Sitter!).

Cosa interessant d'aquest model que va fer que aguantés anys: el paràmetre de Hubble no té res a veure amb l'edat de les estrelles, i en aquella època teníem un valor de $H_0$ mesurat molt gran que no quadrava amb l'edat de les estrelles.

Quantitat de matèria per mantenir un univers d'aquestes característiques: 1 àtom d'hidrogen (o 0.1 nucleons) per metre cúbic per 100 bilions d'anys. Això és una miqueta per sobre del valor crític de la densitat.

Per què es refuta aquest model?

• Les revisions del paràmetre de Hubble comencen a parlar de $H_0$ per sota de 100. No fa necessària l'existència d'un univers etern.
• Als 60: millora tècnica dels telescopis: es veuen galàxies més detalladament. Es veu que les galàxies evolucionen.
• 1965: Cosmic Microwave Background Radiation (CMBR) predita per la teoria del Big Bang.
  • Difícilment explicable amb aquest model.

Radiació còsmica de fons de microones

Universitat propera: buscant radiació còsmica de microones. Uns enginyers amb una antena la troben de casualitat, ho van saber interpretar.

Per sota de l'atmosfera es detecta una part molt petita de l'espectre d'aquesta radiació. Millores als finals del 80: COBE (Cosmic Background Explorer), va observar fora de l'atmosfera.

Primers moments de l'univers: tot acoblat termodinàmicament. En principi hi hauria d'haver hagut simetria matèria-antimatèria.

Batalla de 2 forces: pressió dels fotons, gravetat de matèria. Mentre està acoblada hi ha oscil·lacions on guanya una o una altra alternadament.

Moment en què comença a observar-se CMBR: redshift 1100, així que l'univers era 1100 vegades més petit que avui en dia, i tenia 379,000 anys. És el moment en què es comencen a formar àtoms neutres. Abans la radiació estava atrapada (interaccionava amb la matèria fosca o neutrins o barions, etc.).

CMBS: "cos negre més perfecte que existeix". Es determina la seva temperatura amb una precisió molt alta amb el COBE ($T = 2.725 \text{ K}$).

Data: dimecres, 15 de desembre de 2021

Imatges del COBE. A dalt la que mostra que la terra té velocitat dins del SR. Aquestes imatges van ser portada d'una revista important.

Resultat encara més relevant: si en un univers governa la matèria fosca, la variació de temperatura ha de ser mooolt petita. COBE a l'any 1992 va detectar aquesta anisotropia intrínseca del nivell d'una part en 10,000.

Terra: aprox. 600 km/s respecte el SR del CMBR, per tant es pot veure la diferència en temperatures per aquesta velocitat. En el CMBR, substraient aquesta correcció per la nostra velocitat dins del SR, veiem que hi ha una banda horitzontal. Això és degut a que la nostra galàxia emet en microones.

Per fer mesures més precises, es van llançar 2 satèl·lits més (el que va fer les primeres imatges no tenia refrigerant i això incloia molta incertesa a la foto): després del COBE: WMAP i Planck, cadascuna amb més resolució.

Electrons lligats als àtoms (pels metalls): donen més opacitat. En el cas dels no metalls donen menys opacitat.

Pics acústics: per les oscil·lacions de ???? (mirar apunts pq no m'he enterat d'aquesta part). Hi ha un diffusion dumping així que per moments multipolars més grans no es veuen tant.

Les alçades relatives dels pics acústics ens donen valors de l'$\Omega_{matter}$ i $\Omega_{bariònica}$.

@TODO: Inserir diagrames https://ned.ipac.caltech.edu/level5/March05/Scott/Scott4.html, https://francis.naukas.com/dibujo20130321-planck-satellite-multiple-moment-angular-power-spectrum-primary-cmb/ (ve de https://francis.naukas.com/2013/03/21/los-datos-del-satelite-planck-de-la-esa-sobre-el-fondo-cosmico-de-microondas/). L'eix esquerre és la potència.

El diagrama ens diu que la curvatura és 0 (no he entès per què).

@TODO: Omega matter oberta/tancada (copiar diapos). Bàsicament els dos diagrames tenint open (omega_matter = 0.3, omega_lambda = 0.7) i closed (omega_matter = 0.3, omega_lambda = 0) són molt similars.

@TODO: Copiar diapo següent. Amb el de l'esquerra podem calcular curvatura i amb el de la dreta quantitat de barions.

@TODO: La següent diapo ensenya com varia el diagrama quan varien diferents paràmetres, emfatitzant lo d'abans. Copiar-la aquí també.

De tots els paràmetres cosmològics, el més imprecís de tot és el $\Omega_\lambda$ perquè la variació del diagrama anterior amb aquest paràmetre és molt menor que amb els altres paràmetres, que són molt més sensibles.

A theoretical path to the standard Big Bang model

1979/1980: un dels problemes que hi ha és que han d'existir monopols magnètics (no entrem en detall). Alan Gouth: diu que l'univers ha passat per una fase que comença en la GUT transition ($t_0 \sim 10^{-36} \text{ s}$ si posem el Big Bang a 0), quan la força forta se separa de les altres forces. I l'univers comença en una fase de Sitter on comença a expandir-se exponencialment, que dura $10^{-34} \text{ s}$. Els càlculs mostren que la inflació va causar un increment de $a(t)$ de $10^{26}$ vegades. Aquesta porció de l'univers passa d'un volum menor que la mida d'un protó a la mida d'una uva. (s'inflama al principi perquè un camp domina).

L'Alan diu que l'univers s'ha expandit tant que els monopols s'han diluït. Llavors diu que ara mateix només hauríem de detectar un monopol magnètic.

Conseqüències de la inflació còsmica:

• Explica l'expansió de l'univers. Es podria entendre com el Big Bang. Ara mateix seguim expandint-nos però cada cop més lent. Després l'energia fosca tornarà a dominar i tornarà a accelerar.
• Explica la homogeneïtat i isotropia de l'univers observable.
• Soluciona el problema del monopol, problema de l'horitzó cosmològic, problema pla, etc.
• Dona la semilla inicial d'on les estructures còsmiques com galàxies, planetes, i la vida han surgit. Si hi havia inhomogeneïtats abans, s'esborren per la inflació (tot s'expandeix molt!).

Timeline de l'unviers:

• Inflació
• Recalentament
• Big Bang Nucleosynthesis
• Recombinació
• Edat fosca de l'univers (no hi ha estrelles)
• Reionització
• Formació galàctica
• Energia fosca

La inflació genera ones gravitacionals/gravitatòries que ens permetran observar l'univers fins al principi de l'època inflacionària. De moment no és possible per precisió, però s'espera que es pugui fer en el futur. És com si tinguéssim un micro però no pot detectar per sota de certs decibels, i tot i que hem pogut detectar ones gravitatòries generades per forats negres, les primordials de la inflació tindrien un to més baix indetectable. A més està tapada d'un munt de soroll.

Les ones gravitatòries són generades per masses accelerades (com les EM càrregues accelerades).

Data: dijous, 16 de desembre de 2021

Senyals de polarització de tipus B, polarització de tipus E. Les dues són febles però la primera ho és encara més. Les primeres tenen la informació de les ones gravitatòries.

El problema de l'horitzó: quan un mira el cel el fons de radiació de microones, veu que les regions d'1º mirant cap a un punt i cap a l'oposat tenen propietats iguals estadísticament (per ex. temperatura). Però actualment estan causalment desconnectades! Ens acaba d'arribar el llum de les dues parts, i encara no han arribat a l'altre part. Això vol dir que ara no estan connectades, però han hagut d'estar connectades en algun moment si comparteixen les mateixes propietats.

Com ho explica la inflació? Tot dins de l'horitzó de partícules. L'horitzó de partícules es manté constant quasi bé però la inflació fa que la regió en equilibri tèrmic es faci molt més gran que l'horitzó de partícules.

La inflació ens garanteix que ara mateix no podem veure curvatura (localment sembla $k = 0$). No sabem si existeix curvatura, per això, potser sí que hi ha curvatura.

The physics of standard inflationary models

@TODO: Inserir la diapositiva

Anotacions: $\dot{\phi}^2$ és l'energia cinètica, $V(\phi)$ potencial.

Un altre dia vam veure: $$\rho_\phi = \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + V(\phi), \quad p_\phi = \left[ \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 - V(\phi) \right] c^2$$

Negligint la $\dot{\rho}$: $$w = \frac{p}{\rho c^2} = -1.$$

@TODO: Inserir les altres diapos d'aquesta secció.

L'estat de l'univers era en equilibri estable del potencial $\phi$. De sobte del mínim estable es desdobla en 2 mínims i l'univers està en equilibri inestable, cau cap a un d'ells. Però ho ha de fer lentament per a que l'energia cinètica no sigui més gran que la potencial.

Fase de recalentament: després de la inflació arriba al mínim bo: allibera l'excés d'energia de caure a l'altre mínim. Moviment oscil·latori. Aquesta energia reescalfa l'univers. En els models originals es parla d'una transició de fase.

La temperatura: a la inflació decreix fortament, al recalentament es recupera el nivell inicial. La gràfica que posa a classe: es veu que la temperatura disminueix linealment, excepte a la inflació i reheating que se separa d'aquesta recta cap a baix sobtadament.

Data: divendres 17 de desembre, 2021 (offline)

Radi de Hubble: $R_H = \frac{c}{H}$. En unitats comòbils: $\frac{c}{aH}$ (en unitats naturals $c = 1$).

$$R_H \cdot a = \frac{c}{H} \implies R_H = \frac{c}{a H}$$

Suposem que des de que acaba la inflació l'univers està dominat per la radiació. Als apunts del tema 3 vam veure $H \propto a^{-2}, a \propto T^{-1}$.

Compararem els següents moments: moment just abans de la inflació ($i$), moment final de la inflació ($E$), moment actual??? ($0$).

Tenim: $$(a_i H_i)^{-1} \geq (a_0 H_0)^{-1}.$$

Deixem aparcat el $(a_i H_i)^{-1}$. $$\frac{a_0 H_0}{a_E H_E} \sim \frac{a_0}{a_E} \left( \frac{a_E}{a_0} \right)^2 = \frac{a_E}{a_0} \sim \frac{T_0}{T_E} \sim 10^{-28},$$ suposant $T_0 \sim 10^{16} \text{ GeV}$, $T_E \sim 10^{-3} \text{ eV}$.

Tornant al d'abans: $$(a_i H_i)^{-1} \geq (a_0 H_0)^{-1} \sim 10^{28} (a_E H_E)^{-1},$$

La inflació és de Sitter, i per tant $H_i = H_e$ constant, per tant: $$\boxed{\frac{a_E}{a_i} \geq 10^{28}} \iff \log\left( \frac{a_E}{a_i} \right) \geq 64.$$ Els 64 s'anomenen "e-folds" (unitats del 64).