709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Espais vectorials"
From Potatopedia
Tema 2. Espais vectorials (view source)
Revision as of 21:29, 4 October 2017
, 21:29, 4 October 2017Afegits apunts fins al 18/09/2017 (excepte últims exemples)
(Canviats els {{Collapse top}} per {{Example top}} i afegida informació fins al 5é exemple d'espais vectorials) |
(Afegits apunts fins al 18/09/2017 (excepte últims exemples)) |
||
| Line 125: | Line 125: | ||
<math>\begin{cases} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \\ (\lambda f)(x) = \lambda \cdot f(x) \end{cases}</math> | <math>\begin{cases} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \\ (\lambda f)(x) = \lambda \cdot f(x) \end{cases}</math> | ||
{{Collapse bottom}} | |||
'''<u>Observacions:</u>''' Les notacions <math>\begin{cases} O_E \\ -u \end{cases}</math> són consistents perquè: | |||
# El neutre de la suma és únic. | |||
# L'invers d'un <math>u \in E</math> qualsevol és únic. | |||
'''<u>Justificació:</u>''' | |||
# Suposem que no és únic: <math>O_E + \tilde{O_E} = O_E = \tilde{O_E}</math> | |||
# Si <math>\left.\begin{array}{r} u + w_1 = O_E \\ u + w_2 = O_E \end{array} \right\rbrace \implies u+w_2+w_1 = w_2 + O_E \iff O_E + w_1 = w_2 \iff w_1 = w_2</math> | |||
Essencialment: <math>u+w = w+v \implies w=v</math> | |||
'''<u>Propietat:</u>''' Sigui E un K-e.v. | |||
Siguin <math>\left\{ \begin{array}{l} u, v, w \in E \\ \lambda, \mu \in K \end{array} \right\}</math>. Aleshores: | |||
# <math>\lambda(u-v) = \lambda u - \lambda v, \quad (\lambda - \mu)u = \lambda u - \mu u</math> | |||
# <math>0 \cdot u = \overrightarrow{0} = \lambda \cdot \overrightarrow{0}</math> | |||
# <math>-(\lambda u) = (-\lambda) u = \lambda(-u)</math> | |||
# En particular <math>(-1)u = -u</math> | |||
# <math>\lambda u = 0 \iff \left\{ \begin{array}{l} \lambda = 0 \\ _\text{o bé} \\ u = \overrightarrow{0} \end{array} \right\}</math> | |||
# <math>\begin{cases} \lambda \neq 0 \\ \lambda \cdot u = \lambda \cdot v \end{cases} \implies u=v</math> | |||
# <math>\begin{cases} u \neq 0 \\ \lambda \cdot u = \mu \cdot u \end{cases} \implies \lambda = \mu</math> | |||
{{Example top|Demostració}} | |||
'''(1)''' <math>\lambda (u-v) = \lambda u - \lambda v \text{ ?} \\ \\ \lambda (u-v) + \lambda v = \lambda u + \lambda(-v) + \lambda v = \lambda u + \lambda (-u + u) = \lambda(u + \overrightarrow{0}) = \lambda u \implies \\ \lambda (u-v) = \lambda u - \lambda v</math> | |||
'''(2)''' <math>0 \cdot u + 0 \cdot u = (0+0) u = 0 \cdot u \stackrel{\text{sumant l'inv.}}{\implies} \\ 0 \cdot u + 0 \cdot u - 0 \cdot u = 0 \cdot u - 0 \cdot u \implies \\ 0 \cdot u = \overrightarrow{0}</math> | |||
'''(3)''' <div style="display: inline-block; vertical-align: top;"><math>\left. \begin{array}{l} -(\lambda u) + \lambda u = \overrightarrow{0} \\ (-\lambda) u + \lambda u = (-\lambda + \lambda)u = 0 \cdot u = \overrightarrow{0} \end{array} \right\} \stackrel{\text{unicitat de l'inv.}}{\implies} \\ (-\lambda) u = -\lambda u</math></div> | |||
'''{4}''' | |||
* <math>\Leftarrow</math>: vist (2). | |||
* <math>\Rightarrow</math>: suposem <math>\begin{cases} \lambda u = \overrightarrow{0} \\ \lambda \neq 0 \end{cases}</math><br><math>\left.\begin{array}{r} k \text{ cos} \\ \lambda \neq 0 \end{array} \right\} \implies \exists \lambda^{-1} \in K \\ \lambda^{-1} \cdot \lambda \cdot u = \lambda^{-1} \cdot \overrightarrow{0} \\ u = \overrightarrow{0}</math> | |||
{{Collapse bottom}} | |||
'''<u>Definició:</u>''' E k-e.v. Un <u>subespai vectorial</u> (s.e.v.) de E és un subconjunt <u>no buit</u> <math>F \subseteq E</math> tal que: | |||
* <u>F és tancat per la suma</u>, és a dir, <math>u + v \in F, \forall u, v \in F</math> | |||
* <u>F és tancat pel producte per escalars</u>, és a dir, <math>\lambda \cdot u \in F, \begin{cases} \forall u \in F \\ \forall \lambda \in K \end{cases}</math> | |||
{{Example top|Exemples}} | |||
{{Under construction|Avm99963}} | |||
{{Collapse bottom}} | {{Collapse bottom}} | ||
