709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Espais vectorials"
From Potatopedia
Tema 2. Espais vectorials (view source)
Revision as of 19:00, 5 October 2017
, 19:00, 5 October 2017Afegits més apunts
(Afegits apunts fins al 18/09/2017 (excepte últims exemples)) |
(Afegits més apunts) |
||
| Line 167: | Line 167: | ||
{{Example top|Exemples}} | {{Example top|Exemples}} | ||
{{ | '''(1)''' Si <math>K = \mathbb{R}</math> i <math>A \in M_{mxn}(\mathbb{R})</math> és una matriu qualsevol (fixada), aleshores: <math>F = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid Ax^t = \vec{0} \}</math> és s.e.v. de <math>\mathbb{R}^n</math>. | ||
En general, els conjunts de solucions de <u>sistemes lineals homogenis</u> (termes independents iguals). | |||
* <math>x, y \in F \implies Ax^t + Ay^t = A(x+y)^t \text{ (perquè }kx^t = \vec{0} \forall k \in F \text{ )} \implies x+y \in F</math> | |||
* <math>\begin{array}{r} x \in F \\ \lambda \in \mathbb{R} \end{array} \implies Ax^t = \vec{0} \implies \lambda (Ax^t) = A (\lambda x^t) = A (\lambda x)^t = \vec{0} \implies \lambda x \in F</math> | |||
<hr> | |||
'''(2)''' En <math>\mathbb{R}^3</math> | |||
<math>F = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \,\middle\vert\, \begin{array}{c} x+2y-z=0 \\ x+3z=0 \end{array} \right\}</math> | |||
Ex: <math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}</math> | |||
<hr> | |||
'''(3)''' En <math>E = M_n(K)</math>, | |||
<math>F = \{A \in E \mid A^t = A\}</math> és s.e.v. de E. | |||
* <math>A, B \in F \implies \left\{ \begin{array}{l} A^t=A \\ B^t=B \end{array} \right\} \implies \underbrace{A^t + B^t}_{(A+B)^t} = A+B</math> | |||
* <math>\begin{array}{l} A \in F \\ \lambda \in K \end{array} \implies A^t = A \implies (\lambda A)^t = \lambda A^t \implies \lambda \cdot A \in F</math> | |||
Per exemple, en <math>M_2(\mathbb{R})</math>: | |||
<math>F = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \,\middle\vert\, A^t = A \right\} = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{R}) \,\middle\vert\, \underbrace{b-c = 0}_{\text{sistema lineal}\\\text{i homogeni}} \right\}</math> | |||
Si no fora un sistema lineal i homogeni, <u>no</u> seria un subespai vectorial. | |||
<hr> | |||
'''(4)''' En <math>E = \mathbb{R}_n[x]</math>, <math>F = \{ p(x) \in E \mid p'(1) = 0 \}</math> és s.e.v. de E. | |||
* <math>p, q \in E \implies \begin{array}{l} p'(1) = 0 \\ q'(1) = 0 \end{array} \implies p'(1) + q'(1) = (p+q)'(1) = 0 \implies p+q \in F</math> | |||
* <math>\left. \begin{array}{r} p \in F \\ \lambda \in \mathbb{R} \end{array} \right\} \implies \lambda p \in F \text{ perquè } \frac{d}{dx}(\lambda p) = \lambda\frac{d}{dx}(p)</math> | |||
Per exemple, en <math>E = \mathbb{R}_3[x]</math>: | |||
<math>F = \{ \underbrace{p(x)}_{a+bx+cx^2+dx^3} \in E \mid \underbrace{p'(1) = 0}_{b+2cx+3dx^2 \mid_{x=1} = 0} \}</math> | |||
<math>b+2cx+3dx^2 \mid_{x=1} = 0 \implies \underbrace{b+2c+3d = 0}_\text{sistema lineal i homogeni}</math> | |||
{{Collapse bottom}} | {{Collapse bottom}} | ||
'''<u>Definició:</u>''' Sigui E un K-e.v. Diem que un vector <math>u \in E</math> és <u>combinació lineal</u> (<u>c.l.</u>) dels vectors <math>u_1, ..., u_n \in E</math> si existeixen escalars <math>\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in K</math> tals que: | |||
<div style="text-align: center;"><math>u = \lambda_1 u_1 + ... \lambda_n u_n</math></div> | |||
Anomenem <u>coeficients de la c.l.</u> als <math>\lambda_1, ..., \lambda_n</math>. | |||
'''<u>Proposició:</u>''' E K-e.v. Si <math>F \subseteq E</math> és un subconjunt <u>no</u> buit, aleshores són equivalents: | |||
<ol type="i"> | |||
<li>F és s.e.v. de E.</li> | |||
<li><math>\lambda u + \mu v \in F, \begin{array}{l} \forall u, v \in F \\ \forall \lambda, \mu \in K \end{array}</math></li> | |||
<li>F és tancat per c.l.</li> | |||
<li>F és k-e.v., amb les operacions de E.</li> | |||
</ol> | |||
== Referències == | == Referències == | ||
