709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Espais vectorials"
From Potatopedia
Tema 2. Espais vectorials (view source)
Revision as of 20:14, 9 October 2017
, 20:14, 9 October 2017Afegit fins al començament del dia 22/09
(Acabat apartat 2.1) |
(Afegit fins al començament del dia 22/09) |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
== Espais vectorials i subespais vectorials == | == Espais vectorials i subespais vectorials == | ||
=== Cos === | |||
{{Definició|un <u>cos</u> és un conjunt ''K'' <u>no buit</u> amb dues operacions internes | |||
* Suma: <math>K \times K \longrightarrow K \\ (a, b) \longmapsto a+b</math> | * Suma: <math>K \times K \longrightarrow K \\ (a, b) \longmapsto a+b</math> | ||
* Producte: <math>K \times K \longrightarrow K \\ (a, b) \longmapsto a \cdot b</math> | * Producte: <math>K \times K \longrightarrow K \\ (a, b) \longmapsto a \cdot b</math> | ||
| Line 17: | Line 18: | ||
** Admet element neutre <math>\exists 1_k=1 \in K \quad | \quad a \cdot 1 = 1 \cdot a = a, \forall a \in K</math> | ** Admet element neutre <math>\exists 1_k=1 \in K \quad | \quad a \cdot 1 = 1 \cdot a = a, \forall a \in K</math> | ||
** Existeix un element invers <math>\forall a \in K \setminus \{0\}, \exists b \in K \quad | \quad ab=1</math><ref><u>Notació</u>: <math>b=a^{-1} \\ c \cdot (a^{-1}) = \frac{c}{a}</math></ref> | ** Existeix un element invers <math>\forall a \in K \setminus \{0\}, \exists b \in K \quad | \quad ab=1</math><ref><u>Notació</u>: <math>b=a^{-1} \\ c \cdot (a^{-1}) = \frac{c}{a}</math></ref> | ||
* La suma i el producte es relacionen per la propietat distributiva: <math>a(b+c)=ab+ac \quad \forall a,b,c \in K</math> | * La suma i el producte es relacionen per la propietat distributiva: <math>a(b+c)=ab+ac \quad \forall a,b,c \in K</math>}} | ||
{{Exemple| | |||
# <math>K = \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> són <u>cossos</u>. | # <math>K = \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> són <u>cossos</u>. | ||
# <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, k[x]</math> <u>no</u> són cossos. | # <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, k[x]</math> <u>no</u> són cossos. | ||
# Enters mòduls n | # Enters mòduls n|plural=true}} | ||
=== Enters mòduls n (parèntesi) === | === Enters mòduls n (parèntesi) === | ||
| Line 71: | Line 72: | ||
Si "n" no és primer, és producte de diversos nombres primers menors que "n", que no seran invertibles perquè no seran comprimers amb "n" per l'argument de l'anterior exerici. | Si "n" no és primer, és producte de diversos nombres primers menors que "n", que no seran invertibles perquè no seran comprimers amb "n" per l'argument de l'anterior exerici. | ||
=== Identitat de Bézout === | |||
'''<u>Recordatori: Identitat de Bézout:</u>''' | '''<u>Recordatori: Identitat de Bézout:</u>''' | ||
| Line 79: | Line 81: | ||
Exemple: <math>1 = c \cdot 2 + d \cdot p \\ \overline{1} = \overline{c} \cdot \overline{2}</math> | Exemple: <math>1 = c \cdot 2 + d \cdot p \\ \overline{1} = \overline{c} \cdot \overline{2}</math> | ||
=== Espai vectorial === | |||
<u>'''Definició:'''</u> sigui K un cos. Un <u>espai vectorial sobre k</u> (o un <u>k-espai vectorial</u>, o un <u>k-e.v.</u>) és un conjunt no buit E amb una operació interna (suma): <math>E \times E \rightarrow E \\ (u, v) \longmapsto u+v</math>, i una operació externa (producte per escalars): <math>K \times E \rightarrow E \\ (\lambda, u) \longmapsto \lambda \cdot u</math> tals que: | <u>'''Definició:'''</u> sigui K un cos. Un <u>espai vectorial sobre k</u> (o un <u>k-espai vectorial</u>, o un <u>k-e.v.</u>) és un conjunt no buit E amb una operació interna (suma): <math>E \times E \rightarrow E \\ (u, v) \longmapsto u+v</math>, i una operació externa (producte per escalars): <math>K \times E \rightarrow E \\ (\lambda, u) \longmapsto \lambda \cdot u</math> tals que: | ||
| Line 162: | Line 165: | ||
{{Collapse bottom}} | {{Collapse bottom}} | ||
=== Subespai vectorial === | |||
'''<u>Definició:</u>''' E k-e.v. Un <u>subespai vectorial</u> (s.e.v.) de E és un subconjunt <u>no buit</u> <math>F \subseteq E</math> tal que: | '''<u>Definició:</u>''' E k-e.v. Un <u>subespai vectorial</u> (s.e.v.) de E és un subconjunt <u>no buit</u> <math>F \subseteq E</math> tal que: | ||
* <u>F és tancat per la suma</u>, és a dir, <math>u + v \in F, \forall u, v \in F</math> | * <u>F és tancat per la suma</u>, és a dir, <math>u + v \in F, \forall u, v \in F</math> | ||
| Line 281: | Line 285: | ||
'''<u>Notació:</u>''' <math>S = \{u_1, \ldots, u_k\} \\ \langle S \rangle = \langle \{ u_1, \ldots, u_k \} \rangle = \langle u_1, \ldots, u_k \rangle = [u_1, \ldots, u_k]</math> | '''<u>Notació:</u>''' <math>S = \{u_1, \ldots, u_k\} \\ \langle S \rangle = \langle \{ u_1, \ldots, u_k \} \rangle = \langle u_1, \ldots, u_k \rangle = [u_1, \ldots, u_k]</math> | ||
== Dependència lineal, bases i dimensió == | |||
=== Dependència lineal === | |||
'''<u>Definició:</u>''' E k-e.v. Direm que un subconjunt <math>S \subseteq E</math> és <u>linealment dependent</u> (<u>l.d.</u>) (o que els vectors de S són l.d.) si existeixen vectors <math>u_1, \ldots, u_k \in S</math> i existeixen escalars <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K</math> (<u>no tots nuls</u>) tals que <math>\vec{0} = \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n u_n</math>. | |||
En cas contrari, direm que S és <u>linealment independent</u> (<u>l.i.</u>) (o que els vectors de S són l.i.). | |||
Equivalentment, S és l.i. si: <math>\left[ \begin{array}{c} \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n u_n = \vec{0} \\ u_1, \ldots, u_n \in S \end{array} \implies \lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0 \right]</math> | |||
'''<u>Observacions:</u>''' | |||
# <math>\emptyset</math> és l.i. | |||
# Un vector <math>u_1</math> és l.i. <math>\iff u_1 \neq \vec{0}</math> | |||
# Si <math>\vec{0} \in S \implies \text{S és l.d.}</math> | |||
# S és l.i. <math>\implies</math> qualsevol subconjunt finit de S és l.i. | |||
'''<u>Proposició:</u>''' Si <math>S \subseteq E, S \neq \{0\}</math> és un subconjunt no buit, aleshores són equivalents: | |||
<ul type="i"> | |||
<li>S és l.d.</li> | |||
<li>Algun vector de S és c.l. d'<u>altres</u> vectors de S.</li> | |||
</ul> | |||
'''<u>Demostració:</u>''' | |||
<math>(i) \implies (ii)</math>: <math>\left.\begin{array}{r} \exists u_1, \ldots, u_n \in S \\ \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K \end{array}\right\} \text{tals que} \left\{\begin{array}{l} \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n u_n = \vec{0} \\ \text{podem suposar } \lambda_1 = 0 \end{array}\right\} \implies \\ \implies a_1 = \underbrace{- \frac{\lambda_2}{\lambda_1} u_2 - \frac{\lambda_3}{\lambda_1} u_3 - \ldots - \frac{\lambda_n}{\lambda_1} u_n}_{\text{combinació lineal de vectors de } S}</math> | |||
{{Definició|Sigui E un K-e.v. Una base de E és un subconjunt <math>B \subseteq E</math> tq: | |||
# <math>E = \langle B \rangle</math>, és a dir, B és un conjunt de generadors d'E. | |||
# B és l.i. | |||
Un K-e.v. E és <u>finitament generat</u> (<u>f.g.</u>) si admet un conjunt de generadors <u>finit</u>.}} | |||
'''<u>Ex:</u>''' <math>K[x]</math> és K-e.v. i no és f.g. (a partir de n polinomis no podem generar polinomis de grau major) | |||
'''<u>Proposició:</u>''' Si E és K-e.v. f.g., aleshores E té alguna base. | |||
'''<u>Demostració:</u>''' Sigui <math>\{u_1, \ldots, u_n\}</math> un conjunt de generadors d'E. <math>E = \langle u_1, ..., u_n \rangle</math> | |||
* Si <math>\{ u_1, \ldots, u_n \}</math> és l.i. <math>\implies</math> base | |||
* Si <math>\{ u_1, \ldots, u_n \}</math> és l.d. (p. ex. si conté el <math>\vec{0}</math>) <math>\implies</math> podem suposar que u<sub>n</sub> és c.l. de <math>\{ u_1, \ldots, u_{n-1} \}</math><br><math>\langle u_1, \ldots, u_{n-1} \rangle = \langle u_1, \ldots u_n \rangle</math> | |||
** Si <math>\{ u_1, \ldots, u_{n-1} \}</math> és l.i. <math>\implies</math> base | |||
** Si <math>\{ u_1, \ldots, u_{n-1} \}</math> és l.d. <math>\implies</math> repetim el procès (amb un nombre finit (n) de passos, acabem) | |||
'''<u>Comentari:</u>''' Suposem que E K-e.v. f.g. | |||
# A la dem. hem vis: | |||
#* Tot conjunt finit de generadors conté una base finita de E. | |||
#* Tot conjunt (arbitrari) de E també conté un conjunt finit de generadors i, per tant, una base finita d'E. | |||
'''<u>Justificació:</u>''' Suposem <math>\left\{\begin{array}{l} E = \langle T \rangle, amb T qualsevol \\ E = \langle S \rangle amb S finit \end{array}\right\}</math> | |||
== Referències == | == Referències == | ||
