Anonymous

Difference between revisions of "Tema 2. Espais vectorials"

From Potatopedia

Tema 2. Espais vectorials (view source)

Revision as of 20:22, 5 October 2017

3,348 bytes added ,  20:22, 5 October 2017
Acabat apartat 2.1
(Afegits més apunts)
(Acabat apartat 2.1)
Line 34: Line 34:
<math>\frac{\mathbb{Z}}{5\mathbb{Z}} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}\}</math>
<math>\frac{\mathbb{Z}}{5\mathbb{Z}} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}\}</math>


<math>\bar{0} = \{..., -5, 0, 5, 10, ...\}</math>
<math>\bar{0} = \{\ldots, -5, 0, 5, 10, \ldots\}</math>
<math>\bar{1} = \{..., -9, -4, 1, 6, 11, ...\}</math>
<math>\bar{1} = \{\ldots, -9, -4, 1, 6, 11, \ldots\}</math>
{{Collapse bottom}}
{{Collapse bottom}}


Line 94: Line 94:
Els elements de <math>K</math> s'anomenen <u>escalars</u>.
Els elements de <math>K</math> s'anomenen <u>escalars</u>.


{{Example top|Exemple 1: <math>K^n = \{\text{conjunt de } n\text{-tuples amb coeficients en } K\} = \{(a_1, ..., a_n) \mid a_i \in K\}</math>}}
{{Example top|Exemple 1: <math>K^n = \{\text{conjunt de } n\text{-tuples amb coeficients en } K\} = \{(a_1, \ldots, a_n) \mid a_i \in K\}</math>}}
<math>K_n</math> és K-e.v. amb les <u>operacions naturals</u>:
<math>K_n</math> és K-e.v. amb les <u>operacions naturals</u>:


<math>\begin{cases} (a_1, ..., a_n) + (b_1, ..., b_n) = (a_1 + b_1, ..., a_n + b_n) \\ \lambda(a_1, ..., a_n) = (\lambda a_1, ..., \lambda a_n) \end{cases}</math>
<math>\begin{cases} (a_1, \ldots, a_n) + (b_1, \ldots, b_n) = (a_1 + b_1, \ldots, a_n + b_n) \\ \lambda(a_1, \ldots, a_n) = (\lambda a_1, \ldots, \lambda a_n) \end{cases}</math>
{{Collapse bottom}}
{{Collapse bottom}}


{{Example top|Exemple 2: <math>M_{m \times n}(k) = \{\text{matrius } m \times n \text{ amb coeficients en } K\}</math>}}
{{Example top|Exemple 2: <math>M_{m \times n}(k) = \{\text{matrius } m \times n \text{ amb coeficients en } K\}</math>}}
Són matrius que tenen m files i n columnes, amb elements de la forma <math>(a_{ij}) \mid a_{ij} \in K, i \in \{1, ..., n\}, j \in \{1, ..., m\}</math>, on <math>ij</math> és el coeficient amb posició.
Són matrius que tenen m files i n columnes, amb elements de la forma <math>(a_{ij}) \mid a_{ij} \in K, i \in \{1, \ldots, n\}, j \in \{1, \ldots, m\}</math>, on <math>ij</math> és el coeficient amb posició.


<math>M_{m \times n}(K)</math> és un K-e.v. amb les <u>operacions naturals</u>:
<math>M_{m \times n}(K)</math> és un K-e.v. amb les <u>operacions naturals</u>:
Line 108: Line 108:
{{Collapse bottom}}
{{Collapse bottom}}
{{Example top|Exemple 3: <math>K_n[x] = \{\text{polinomis de } K[x] \text{ de grau} \leq n\}</math>}}
{{Example top|Exemple 3: <math>K_n[x] = \{\text{polinomis de } K[x] \text{ de grau} \leq n\}</math>}}
Són tots els polinomis de la forma <math>\{a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n \mid a_i \in K\}</math>.
Són tots els polinomis de la forma <math>\{a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \mid a_i \in K\}</math>.


És un K-e.v. amb les <u>operacions naturals</u>.
És un K-e.v. amb les <u>operacions naturals</u>.
Line 211: Line 211:
{{Collapse bottom}}
{{Collapse bottom}}


'''<u>Definició:</u>''' Sigui E un K-e.v. Diem que un vector <math>u \in E</math> és <u>combinació lineal</u> (<u>c.l.</u>) dels vectors <math>u_1, ..., u_n \in E</math> si existeixen escalars <math>\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in K</math> tals que:
'''<u>Definició:</u>''' Sigui E un K-e.v. Diem que un vector <math>u \in E</math> és <u>combinació lineal</u> (<u>c.l.</u>) dels vectors <math>u_1, \ldots, u_n \in E</math> si existeixen escalars <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \in K</math> tals que:


<div style="text-align: center;"><math>u = \lambda_1 u_1 + ... \lambda_n u_n</math></div>
<div style="text-align: center;"><math>u = \lambda_1 u_1 + \ldots \lambda_n u_n</math></div>


Anomenem <u>coeficients de la c.l.</u> als <math>\lambda_1, ..., \lambda_n</math>.
Anomenem <u>coeficients de la c.l.</u> als <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math>.


'''<u>Proposició:</u>''' E K-e.v. Si <math>F \subseteq E</math> és un subconjunt <u>no</u> buit, aleshores són equivalents:
'''<u>Proposició:</u>''' E K-e.v. Si <math>F \subseteq E</math> és un subconjunt <u>no</u> buit, aleshores són equivalents:
Line 225: Line 225:
<li>F és k-e.v., amb les operacions de E.</li>
<li>F és k-e.v., amb les operacions de E.</li>
</ol>
</ol>
{{Example top|Demostració}}
Podem veure <math>\begin{cases} (i) \implies (ii) \implies (iii) \implies (iv) \\ (i) \iff (iv) \end{cases}</math>
<hr>
'''<math>(i) \implies (ii)</math>:''' suposo que <math>F \subseteq E</math> és s.e.v.
Siguin <math>\begin{cases} u, v \in F \\ \mu, \lambda \in K \end{cases}</math> (volem veure que <math>\lambda u + \mu v \in F</math>)
<math>\left.\begin{array}{c} \left.\begin{array}{r} u \in F \\ \lambda \in K \end{array}\right\} \stackrel{\text{F s.e.v.}}{\implies} \lambda \cdot u \in F \\ \left.\begin{array}{r} v \in F \\ \mu \in K \end{array}\right\} \stackrel{\text{F s.e.v.}}{\implies} \mu \cdot v \in F \end{array}\right\} \stackrel{\text{F s.e.v.}}{\implies} \lambda \cdot u + \mu \cdot v \in F</math>
<hr>
'''<math>(ii) \implies (iii)</math>:'''
<math>\underbrace{\underbrace{\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2}_{\in F} + \underbrace{\lambda_3 u_3}_{\in F}}_{\in F}</math> Aplicant múltiples vegades (ii).
<hr>
'''<math>(iii) \implies (i)</math>:'''
És un cos que engloba (i).
<hr>
'''<math>(i) \iff (iv)</math>:'''
s.e.v. ⇒ la propietat és que les operacions estiguin ben definides.
{{Collapse bottom}}
'''<u>Definició:</u>''' E K-e.v. Si <math>S \subseteq E</math> és un subconjunt, definim:
<div style="text-align: center;"><math>\langle S \rangle = \underbrace{\left\{\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n u_n \,\middle\vert\, \begin{array}{c} u_1, \ldots, u_n \in S \\ \lambda_1, \ldots, \lambda_k \in K \end{array} \right\}}_{\text{és el conjunt de totes les c.l. de vectors de } S}</math></div>
i l'anomenem <u>subespai generat per S</u>.
Direm que S és un <u>conjunt de generadors</u> de <math>\langle S \rangle</math>.
'''<u>Observació:</u>''' <math>F \subseteq E \text{s.e.v.} \implies \vec{0} \in F</math>
'''<u>Exemple:</u>''' <math>F = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \,\middle\vert\, \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}</math>
<math>\text{Sistema lineal no homogeni} \implies \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \notin F \implies \text{F no és s.e.v. de } \mathbb{R}^3</math>
'''<u>Proposició:</u>''' <math>\langle s \rangle</math> és un subespai vectorial de E i, a més , és el mínim s.e.v. de E que conté S.
'''<u>Demostració</u>''':
* '''<math>\langle s \rangle</math> <u>és s.e.v:</u>''' <math>\langle s \rangle</math> és tancat per combinacions lineals per la definició del conjunt (c.l. de c.l. de S són c.l. de <math>\langle s \rangle</math>).<br>Perquè clarament és tancat per combinacions lineals.
* '''<math>\langle s \rangle</math> <u>és mínim:</u>''' Perquè si <math>\left\{ \begin{array}{l} F \subseteq E \text{ s.e.v.} \\ S \subseteq F \end{array} \right\} \implies \begin{array}{l} F \text{ conté totes les c.l. de vectors de } \\ S \text{, és a dir, } \langle s \rangle \subseteq F \end{array}</math>
'''<u>Per definició</u>''': <math>\langle \emptyset \rangle = 0</math>
<math>S \subseteq E \implies [s \text{ és s.e.v.} \iff S = \langle s \rangle]</math>
'''<u>Notació:</u>''' <math>S = \{u_1, \ldots, u_k\} \\ \langle S \rangle = \langle \{ u_1, \ldots, u_k \} \rangle = \langle u_1, \ldots, u_k \rangle = [u_1, \ldots, u_k]</math>


== Referències ==
== Referències ==
Retrieved from "https://potatopedia.avm99963.com/wiki/Special:MobileDiff/2661"