709
edits
Difference between revisions of "Resum pel parcial de fonaments de la matemàtica"
From Potatopedia
Resum pel parcial de fonaments de la matemàtica (view source)
Revision as of 21:52, 4 December 2017
, 21:52, 4 December 2017Resum acabat
(Ampliat resum fins el principi de relacions d'ordre) |
(Resum acabat) |
||
| Line 62: | Line 62: | ||
=== Propietats bàsiques de <math>\cup</math> i <math>\cap</math> === | === Propietats bàsiques de <math>\cup</math> i <math>\cap</math> === | ||
{ | {| | ||
|- | |||
| (1) <math>A \subset A \cup B; B \subset A \cup B</math> || (1') <math>A \cap B \subset A; A \cap B \subset B</math> | |||
|- | |||
| (2) <math>A \cup A = A</math> || (2') <math>A \cap A = A</math> | |||
|- | |||
| (3) <math>A \cup B = B \cup A</math> || (3') <math>A \cap B = B \cap A</math> | |||
|- | |||
| (4) <math>A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C</math> || (4') <math>A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C</math> | |||
|- | |||
| (5) <math>A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)</math> || (5') <math>A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)</math> | |||
|} | |||
=== Conjunts inductius === | === Conjunts inductius === | ||
| Line 105: | Line 116: | ||
==== Propietats de les aplicacions ==== | ==== Propietats de les aplicacions ==== | ||
{{ | <math>f: A \longrightarrow B</math> aplicació, <math>A_1, A_2 \subset A, B_1, B_2 \subset B</math> | ||
{| | |||
|- | |||
| (1) <math>A_1 \subset A_2 \implies f(A_1) \subset f(A_2)</math> || (1') <math>B_1 \subset B_2 \implies f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(B_2)</math> | |||
|- | |||
| (2) <math>f(\emptyset) = \emptyset</math> || (2') <math>f^{-1}(\emptyset) = \emptyset</math> | |||
|- | |||
| (3) <math>f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2) </math> || (3') <math>f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)</math> | |||
|- | |||
| (4) <math>f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2)</math> || (4') <math>f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)</math> | |||
|- | |||
| (5) <math>f^{-1}(f(A_1)) \supset A_1</math> || (5') f(f^{-1}(B_1)) \subset B_1<math></math> | |||
|} | |||
=== Relacions d'equivalència === | === Relacions d'equivalència === | ||
| Line 128: | Line 152: | ||
# '''P. transitiva''': <math>\left\{\begin{array} a \leq b \\ b \leq c \end{array}\right\} \implies a \leq c</math> | # '''P. transitiva''': <math>\left\{\begin{array} a \leq b \\ b \leq c \end{array}\right\} \implies a \leq c</math> | ||
Existeixen dos tipus d'ordre: | Existeixen dos tipus d'ordre (tal com hem fet a classe, ja que en realitat es podrien classificar en tres tipus): | ||
* '''Relació d'ordre total''': <math>\forall a, b \in A \begin{cases} a \leq b \\ \text{o bé} \\ b \leq a \end{cases}</math> | * '''Relació d'ordre total''': <math>\forall a, b \in A \begin{cases} a \leq b \\ \text{o bé} \\ b \leq a \end{cases}</math> | ||
* '''Relació d'ordre parcial''': altrament. | |||
==== Elements distingits ==== | |||
* '''Fites superiors i inferiors''': Direm que un element <math>a \in A</math> és una fita superior de <math>X</math> en <math>(A, \leq)</math> si <math>x \leq a</math> per a tot <math>x \in X</math>. Anàlogament definim una fita inferior. | |||
* '''Suprem i ínfim''': Direm que un element <math>a \in A</math> és l’ínfim de <math>X</math> en <math>(A, \leq)</math> si <math>a</math> és una fita inferior de <math>X</math> en <math>(A, \leq)</math> i es tal que <math>a' \leq a</math> per a qualsevol fita inferior <math>a'</math> de <math>X</math> en <math>(A, \leq)</math>. Anàlogament definim l'ínfim. | |||
* '''Màxim i mínim''': Direm que un element <math>a \in A</math> és el màxim de <math>X</math> en <math>(A, \leq)</math> si <math>a = \text{sup} X \text{ i } a \in X</math>. Anàlogament es defineix el mínim. | |||
* '''Maximal i minimal''': Direm que un element <math>a \in X</math> és un minimal de <math>X</math> en <math>(a, \leq)</math> si no hi ha cap element de <math>X</math> més gran que ell. Anàlogament es defineix el minimal. | |||
=== Conjunts finits i infinits === | |||
==== Conjunts finits ==== | |||
Sigui <math>A</math> un conjunt. Direm que <math>A</math> és un '''conjunt finit''' si existeix una bijecció <math>f: A \longrightarrow \{1, 2, \ldots, n\}</math>. | |||
Direm que <math>n = \#A</math> és el cardinal de <math>A</math>. | |||
'''Observació''': <math>\# \mathbb{P}(x) = 2^{\# X}</math> | |||
==== Conjunts infinits ==== | |||
Un '''conjunt infinit''' és un conjunt que no és finit. | |||
'''Teorema:''' <math>\mathbb{N}</math> és infinit. | |||
'''Teorema (Dedekind, ~1900)''': <math>X \text{ infinit} \iff \begin{cases} \exists Y \subset X, Y \neq X \\ \exists X \leftrightarrow Y \text{ bijecció} \end{cases}</math> | |||
'''Exemples de conjunts infinits numerables''': <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{N} \times \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \ldots</math> | |||
'''Corol·lari''': Si tinc una família numerable <math>\{A_n\}^\infty_{n=1}</math> de conjunts numerables, aleshores: <math>A = \bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n</math> és numerable. "Unió numerable de conjunts numerables és numerable." | |||
==== Conjunts infinits no numerables ==== | |||
'''Teorema de Cantor''': <math>A</math> conjunt (finit o infinit). Aleshores: <math>f: A \longrightarrow \mathbb{P}(A)</math> no és exhaustiva. | |||
'''Corol·lari''': <math>\mathbb{P}(\mathbb{N})</math> no és numerable. | |||
== Bibliografia == | |||
* {{cite book |last1=Martí-Farré |first1=Jaume |last2=Mora Giné |first2=Mercè |last3=Muñoz Lecanda |first3=Miguel C. |date=September 2014 |title=Fonaments de la matemàtica – Resums, exercicis i problemes |section=3.1. Relacions, operacions i estructures}} | |||
[[Category:Fonaments de la matemàtica]] | [[Category:Fonaments de la matemàtica]] | ||
