709
edits
Difference between revisions of "Resum pel parcial de fonaments de la matemàtica"
From Potatopedia
Resum pel parcial de fonaments de la matemàtica (view source)
Revision as of 20:37, 4 December 2017
, 20:37, 4 December 2017Ampliat resum fins el principi de relacions d'ordre
(Added a little bit about "Teoria de conjunts" and added category) |
(Ampliat resum fins el principi de relacions d'ordre) |
||
| Line 60: | Line 60: | ||
'''(III) Axioma del parell''': Per a qualsevol parella d'objectes <math>a, b</math> existeix un conjunt <math>u</math> tq <math>x \in u \iff \begin{cases} x = a \\ o \\ x = b \end{cases}</math>. Denotem aquest conjunt per <math>\{a, b\}</math>. Noteu que <math>\{a, b\} = \{b, a\}</math> | '''(III) Axioma del parell''': Per a qualsevol parella d'objectes <math>a, b</math> existeix un conjunt <math>u</math> tq <math>x \in u \iff \begin{cases} x = a \\ o \\ x = b \end{cases}</math>. Denotem aquest conjunt per <math>\{a, b\}</math>. Noteu que <math>\{a, b\} = \{b, a\}</math> | ||
=== Propietats bàsiques de <math>\cup</math> i <math>\cap</math> === | |||
{{Under construction|Avm99963}} | |||
=== Conjunts inductius === | |||
Un conjunt inductiu és un conjunt <math>I</math> tal que | |||
# <math>\emptyset \in I</math> | |||
# <math>x \in I \implies x \cup \{x\} \in I</math> | |||
==== Axioma de l'infinit ==== | |||
Existeix un conjunt inductiu <math>I_o</math>. | |||
==== Els nombres naturals ==== | |||
El conjunt dels nombres naturals és <math>\mathbb{N} = \bigcap\limits_{I \text{ inductiu}} I</math> | |||
=== Correspondències === | |||
Una correspondència entre dos conjunts <math>A, B</math> és un subconjunt <math>R \subset A \times B</math> | |||
==== Parell ordenat ==== | |||
Siguin <math>A, B</math> conjunts, <math>a \in A, b \in B</math>. | |||
Un parell ordenat determinat per <math>a, b</math> és <math>(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}</math> | |||
==== Producte cartesià ==== | |||
El producte cartesià dels conjunts <math>A, B</math> és el conjunt <math>A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\}</math> | |||
==== Alguns tipus/exemples de correspondències ==== | |||
* Aplicacions | |||
* Relacions d'equivalència | |||
* Relacions d'ordre | |||
=== Aplicacions === | |||
Siguin <math>A, B</math> conjunts. Una '''aplicació''' d'<math>A</math> en <math>B</math> és una correspondència <math>F \subset A \times B</math> tal que <math>\forall a \in A \exists! b \in B \text{ tq } (a, b) \in F</math> | |||
Solem escriure-ho <math>\begin{array}{rl} F: & A \longrightarrow B \\ & a \longmapsto F(a) = b \end{array}</math> | |||
Direm que <math>A</math> és el <u>conjunt de sortida</u> i B és el <u>conjunt d'arribada</u>. | |||
==== Tipus d'aplicacions ==== | |||
# Injectiva: <math>\forall a, a' \in A \quad f(a) = f(a') \implies a = a'</math> | |||
# Exhaustiva: <math>\forall b \in B \exists a \in A \text{ tq } f(a) = b</math> | |||
# Bijectiva: injectiva i exhaustiva | |||
==== Propietats de les aplicacions ==== | |||
{{Under construction|Avm99963}} | |||
=== Relacions d'equivalència === | |||
Sigui <math>A</math> un conjunt. Una '''relació d'equivalència''' en A és una correspondència <math>R \in A \times A</math> que satisfà les propietats següents: | |||
# '''P. reflexiva''': <math>\forall a \in A \quad (a, a) \in \mathbb{R}</math> | |||
# '''P. simètrica''': <math>\forall a, b \in A \quad (a, b) \in \mathbb{R} \implies (b, a) \in \mathbb{R}</math> | |||
# '''P. transitiva''': <math>\forall a, b, c \in A \quad (a, b) \in \mathbb{R}, (b, c) \in \mathbb{R} \implies (a, c) \in \mathbb{R}</math> | |||
'''Notació''': escriurem <math>aRb</math> o <math>a \sim b</math> en lloc de <math>(a, b) \in R</math> i direm que <math>a</math> està relacionat amb <math>b</math> (per <math>R</math>). | |||
==== Classe d'equivalència ==== | |||
Sigui <math>A</math> un conjunt i <math>R</math> una relació d'equivalència en <math>A</math>. <math>[a] = \{b \in A : aRb\}</math> és una '''classe d'equivalència de A'''. | |||
A més a més <math>\dfrac{A}{R} = \{[a] : a \in A\}</math> és el '''conjunt quocient''' de <math>A</math> per <math>R</math>. | |||
=== Relacions d'ordre === | |||
Sigui <math>A</math> un conjunt. Llavors <math>\leq \in A \times A</math> és una '''relació d'ordre''' i compleix les següents propietats: | |||
# '''P. reflexiva''': <math>a \leq a</math> | |||
# '''P. antisimètrica''': <math>\left\{\begin{array} a \leq b \\ b \leq a \end{array}\right\} \implies a = b</math> | |||
# '''P. transitiva''': <math>\left\{\begin{array} a \leq b \\ b \leq c \end{array}\right\} \implies a \leq c</math> | |||
Existeixen dos tipus d'ordre: | |||
* '''Relació d'ordre total''': <math>\forall a, b \in A \begin{cases} a \leq b \\ \text{o bé} \\ b \leq a \end{cases}</math> | |||
[[Category:Fonaments de la matemàtica]] | [[Category:Fonaments de la matemàtica]] | ||
