709
edits
Difference between revisions of "Tema 1. Sèries numèriques i integrals impròpies"
From Potatopedia
Tema 1. Sèries numèriques i integrals impròpies (view source)
Revision as of 21:37, 24 September 2018
, 21:37, 24 September 2018Fet fins criteri de Raabe
(Fet fins criteri de comparació al límit (falten exemples)) |
(Fet fins criteri de Raabe) |
||
| Line 111: | Line 111: | ||
* <math>l > 0</math>: es dedueix de l'anterior i <math>\frac{b_n}{a_n} \longrightarrow \frac{1}{l}</math> | * <math>l > 0</math>: es dedueix de l'anterior i <math>\frac{b_n}{a_n} \longrightarrow \frac{1}{l}</math> | ||
* <math>0 < l < +\infty</math>: conjunció dels dos primers.}} | * <math>0 < l < +\infty</math>: conjunció dels dos primers.}} | ||
{{Example top|Exemple 1: <math>\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 + n} \text{ convergent}</math>}} | |||
<math>\frac{1}{n^2 + n} < \frac{1}{n} \forall n \geq 1</math> | |||
Com la part dreta de l'inequació és una sèrie de Riemann de paràmetre <math>p = 2 < 1</math>, és convergent, i pel criteri de comparació directa, això significa que la sèrie de l'esquerra és també convergent. | |||
{{Collapse bottom}} | |||
{{Example top|Exemple 2: <math>\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 - n + 1} \text{ convergent}</math>}} | |||
Comparació al límit amb <math>\sum \frac{1}{n^2}</math> | |||
<math>\frac{\frac{1}{n^2 - n + 1}}{\frac{1}{n^2}} \longrightarrow 1 \implies \text{les dues tenen el mateix caràcter}</math> | |||
<math>\sum \frac{1}{n^2}</math> és de Riemann amb paràmetre <math>p = 2 > 1</math>, així que és convergent, i per tant la sèrie original també ho és. | |||
{{Collapse bottom}} | |||
{{Example top|Exemple 3: <math>\sum_{n \geq 0} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \text{ divergent}</math>}} | |||
<math>\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \longrightarrow 1 \implies \text{les dues tenen el mateix caràcter}</math> | |||
<math>\sum \frac{1}{sqrt(n)}</math> és de Riemann amb paràmetre <math>p = \frac{1}{2} < 1</math>, així que és divergent, i per tant la sèrie original també ho és. | |||
{{Collapse bottom}} | |||
{{Example top|Exemple 4: <math>\sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} \text{ convergent}</math>}} | |||
Segons la mà dreta, <math>n!</math> creix més ràpidament que qualsevol potència de n. | |||
Aleshores, la mà esquerra diu: <math>n! \geq n^2 \: \forall n \geq 4 \implies \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{n^2} \: \forall n \geq 4</math>, i per comparació directa, com <math>\sum \frac{1}{n^2}</math> és sèrie de Riemann de paràmetre <math>p = 2 > 1</math> i per tant és convergent, la sèrie original també ho és. | |||
{{Collapse bottom}} | |||
{{Lema|Sigui <math>\sum a_n</math> sèrie de termes positius. | |||
# Suposem que <math>\exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ i } r < 1 \text{ tq } n \geq n_0 \implies a_n^{^1/_n} \leq r</math>. Aleshores <math>\sum a_n < +\infty</math> (és convergent) | |||
# Suposem que <math>\exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tq } n \geq n_0 \implies a_n^{^1/_n} \geq 1</math>. Aleshores <math>\sum a_n = +\infty</math> (és divergent)| | |||
# <math>a_n \leq r^n \text{ sèrie geomètrica convergent } (r < 1) \underset{\text{comp. directa}}{\implies} \sum a_n \text{ convergent}</math> | |||
# <math>a_n \geq 1 \implies \lim a_n \geq 1 \implies \text{ divergent}</math>}} | |||
{{Proposició|(criteri de l'arrel de Cauchy) Sigui <math>\sum a_n</math> sèrie de termes positius tal que <math>\exists \lim a_n^{^1/_n} = \alpha</math> | |||
# Si <math>\alpha < 1</math> la sèrie convergeix. | |||
# Si <math>\alpha > 1</math> la sèrie divergeix.| | |||
# <math>\exists r \text{ tq } \alpha < r < 1</math>. Per la definició del límit <math>\exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tq } n \geq n_0 \implies a_n^{^1/_n} \leq r</math> i s'aplica el lema. | |||
# <math>\exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tq } n \geq n_0 \implies a_n^{^1/_n} \geq 1</math> i s'aplica el lema.}} | |||
{{Lema|Sigui <math>\sum a_n</math> sèrie de termes estrictament positius. | |||
# Suposem <math>\exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ i } r < 1 \text{ tq } n \geq n_0 \implies \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq r</math>. Aleshores la sèrie és convergent. | |||
# Suposem <math>\exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ i } r < 1 \text{ tq } n \geq n_0 \implies \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq r</math>. Aleshores la sèrie és divergent.| | |||
# <math>\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq r \implies \frac{a_{n+1}}{r} \leq a_n \implies \frac{a_{n+1}}{r^{n+1}} \leq \frac{a_n}{r^n} \leq \cdots \leq \frac{a_{n_0}}{r^{n_0}} := c \implies a_n \leq cr^n (n \geq n_0)</math>. El terme de la dreta és una sèrie geomètrica de raò <math>|r| < 1</math> convergent, així que pel criteri de comparació directa, <math>\sum a_n</math> també ho és. | |||
# <math>\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \implies a_{n+1} \geq a_n \geq a_{n_0} \implies \lim a_n \neq 0 \implies \text{divergent}</math>}} | |||
{{Proposició|(criteri del quocient de d'Alembert) Sigui <math>\sum a_n</math> sèrie de termes estrictament positius tal que <math>\exists \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \alpha</math> | |||
# Si <math>\alpha < 1</math> la sèrie convergeix. | |||
# Si <math>\alpha > 1</math> la sèrie divergeix.| | |||
# <math>\left.\begin{array}{r} \exists r \text{ tq } \alpha < r < 1 \\ \exists n_0 \text{ tq } n \geq n_0 \end{array}\right\} \implies \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq r</math> i s'aplica el lema. | |||
# <math>\exists n_0 \text{ tq } n \geq n_0 \implies \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1</math> i s'aplica el lema.}} | |||
{{Observació|Els criteris de l'arrel i del quocient no decideixen quan <math>\alpha = 1</math>. Es compleix que <math>\frac{a_{n+1}}{a_n} \rightarrow 1 \implies a_n^{^1/_n} \rightarrow \alpha</math> | |||
Per tant, si el criteri del quocient no decideix perquè el límit és 1, el criteri de l'arrel (més potent) tampoc decideix.}} | |||
{{Proposició|(criteri de Raabe) (ha sortit en examens, ho enuncia per si de cas, però ho farem a problemes) | |||
Sigui <math>\sum a_n</math> sèrie de termes estrictament positius. Suposem que <math>\exists \lim n(1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}) = \alpha</math>. Aleshores: | |||
# Si <math>\alpha > 1</math> la sèrie convergeix. | |||
# Si <math>\alpha < 1</math> la sèrie divergeix.}} | |||
Hi ha altres criteris que farem a problemes. | |||
