Difference between revisions of "Tema 1. Sèries numèriques i integrals impròpies"

Tema 1. Sèries numèriques i integrals impròpies (view source)

1,207 bytes added , 12:29, 30 September 2018

Fet fins començament del criteri de la integral

709

edits

@@ Line 181: / Line 181: @@
 Hi ha altres criteris que farem a problemes.
+{{Example top|<math>\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!} \text{ convergent per a } x \geq 0</math>}}
+En realitat és convergent <math>\forall x \in \mathbb{R}</math>. Per demostrar-ho utilitzarem el criteri del quocient:
+<math>\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}} = \frac{x}{n+1} \longrightarrow 0 < 1 \implies \text{convergent}</math>
+{{Collapse bottom}}
+{{Example top|<math>\sum_{n \geq 1} \alpha^{n + \sqrt{n}} \begin{cases} \text{convergent} & \text{si } 0 \leq \alpha < 1 \\
+\text{divergent} & \text{si } \alpha \geq 1 \end{cases}</math>}}
+Utilitzarem el criteri de l'arrel:
+<math>(\alpha^{n + \sqrt{n}})^{1/n} = \alpha^{1 + \frac{1}{\sqrt(n)}} \longrightarrow \alpha \implies \begin{cases}
+\text{convergent} & \text{si } \alpha < 1 \\ \text{divergent} & \text{si } \alpha > 1 \\ \text{no decideix} & \text{si } \alpha = 1 \implies \sum_{n \geq 1} 1 = + \infty \text{ (divergent)} \end{cases}</math>
+{{Collapse bottom}}
+{{Example top|<math>\sum_{n \geq 0}\frac{n}{n^2 + 1}</math>}}
+El criteri del quocient no decideix, però com és semblant a <math>\frac{1}{n}</math>, és divergent.
+{{Collapse bottom}}
+<!--{{Proposició|(criteri de la integral) Siguin <math>n_0 \in \mathbb{N}</math>}}-->