Anonymous

Difference between revisions of "Tema 1. Successions i sèries de funcions"

From Potatopedia

Tema 1. Successions i sèries de funcions (view source)

Revision as of 14:51, 22 February 2019

4,493 bytes added ,  14:51, 22 February 2019
Fet fins Lema de Dini (pàg. 4, cap acabar-lo)
(Fet fins l'enunciat del criteri de Cauchy)
(Fet fins Lema de Dini (pàg. 4, cap acabar-lo))
 
Line 4: Line 4:
Per a cada punt <math>x \in \mathbb{R}</math>, tenim la successió <math>(f_n(x))_n</math>.
Per a cada punt <math>x \in \mathbb{R}</math>, tenim la successió <math>(f_n(x))_n</math>.


{{Definició|Direm que <math>(f_n(x))_n</math> és <u>convergent puntualment</u> a <math>f_\infty(x)</math> si <math>\forall x, \forall \epsilon > 0 \; \exists N_{\epsilon, x} \text{ tq } |f_n(x) - f_\infty(x)| < \epsilon \; \forall n \geq N_{\epsilon, x}</math>}}
{{Definició|Direm que <math>(f_n(x))_n</math> és <u>convergent puntualment</u> a <math>f_\infty(x)</math> si <math>\forall x, \forall \varepsilon > 0 \; \exists N_{\varepsilon, x} \text{ tq } |f_n(x) - f_\infty(x)| < \varepsilon \; \forall n \geq N_{\varepsilon, x}</math>}}


{{Example top|Exemple 1: <math>f_n(x) = x^n \quad x \in [0, 1]</math>}}
{{Example top|Exemple 1: <math>f_n(x) = x^n \quad x \in [0, 1]</math>}}
Line 23: Line 23:
{{Collapse bottom}}
{{Collapse bottom}}


{{Definició|Sigui <math>f_n: E \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}</math>. Diem que <math>(f_n(x))_n</math> <u>convergeix uniformement</u> a <math>f_\infty(x)</math> si <math>\forall x, \forall \epsilon \quad \exists N_{\epsilon, x} \; \text{ tq } \; |f_n(x) - f_\infty(x)| < \epsilon \quad \forall n \geq N_{\epsilon, x}</math>. Això és equivalent a que <math>\sup_{x \in E} |f_n(x) - f_\infty(x)| < \epsilon \iff \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in E} |f_n(x) - f_\infty(x)|}_{\text{en aquest ordre, si no estudiaríem convergència puntual}} = 0</math>}}
{{Definició|Sigui <math>f_n: E \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}</math>. Diem que <math>(f_n(x))_n</math> <u>convergeix uniformement</u> a <math>f_\infty(x)</math> si <math>\forall x, \forall \varepsilon \quad \exists N_{\varepsilon, x} \; \text{ tq } \; |f_n(x) - f_\infty(x)| < \varepsilon \quad \forall n \geq N_{\varepsilon, x}</math>. Això és equivalent a que <math>\sup_{x \in E} |f_n(x) - f_\infty(x)| < \varepsilon \iff \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in E} |f_n(x) - f_\infty(x)|}_{\text{en aquest ordre, si no estudiaríem convergència puntual}} = 0</math>}}


{{Example top|Exemple 1: <math>f_n(x) = x^n \overset{\text{punt.}}{\longrightarrow} \begin{cases} 0 & x \neq 1 \\ 1 & x = 1 \end{cases}</math>}}
{{Example top|Exemple 1: <math>f_n(x) = x^n \overset{\text{punt.}}{\longrightarrow} \begin{cases} 0 & x \neq 1 \\ 1 & x = 1 \end{cases}</math>}}
Line 62: Line 62:


=== Criteri de Cauchy ===
=== Criteri de Cauchy ===
{{Definició|<math>(f_n)</math> és <u>uniformement de Cauchy</u> si <math>\forall \varepsilon > 0 \; \exists N_\varepsilon \text{ tq } |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon \quad \forall n, m \geq N_\varepsilon \quad \forall x</math>.}}
{{Proposició|Sigui <math>(f_n)</math> una successió de funcions tq <math>f_n(x) \longrightarrow f_\infty(x)</math> puntualment.
{{Proposició|Sigui <math>(f_n)</math> una successió de funcions tq <math>f_n(x) \longrightarrow f_\infty(x)</math> puntualment.


Aleshores: <math>f_n \longrightarrow \text{unif.} \implies \forall \epsilon > 0 \; \exists N_{\epsilon} \text{ tq } |f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon \quad \forall n, m  \geq N_\epsilon \; \forall x</math>}}
Aleshores: <math>f_n \longrightarrow \text{unif.} \implies f_n \text{ unif. de Cauchy}</math>
 
(O, equivalentment, <math>\sup | f_n(x) - f_m(x) | < \varepsilon \quad \forall n, m \geq N_\varepsilon</math>)|<math>\Rightarrow ]</math> <math>f_n \longrightarrow \text{ unif.} \implies \forall \varepsilon > 0 \; \exists N_\varepsilon \text{ tq } | f_n(x) - f_m(x) | < \varepsilon \quad \forall n, m \geq N_\varepsilon \quad \forall x \implies </math>
 
<math>\implies | f_n(x) - f_m(x) | \leq | f_n(x) - f_\infty(x) | + | f_\infty(x) - f_m(x) | < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \quad \forall n, m \geq n_\epsilon \forall x \implies (f_n) \text{ unif. de Cauchy}</math>
 
<math>\Leftarrow ]</math> <math>(f_n) \text{ unif. de Cauchy } \implies (f_n(x)) \text{ és de Cauchy } \forall x \underset{\mathbb{R} \text{ complet}}{\implies} \exists \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f_\infty(x)</math>
 
<math>(f_n) \text{ unif. de Cauchy} \implies \forall \varepsilon > 0 \; \exists N_\varepsilon \text{ tq } | f_n(x) - f_m(x) | < \frac{\varepsilon}{2} \quad \forall n, m \geq N_\varepsilon \quad \forall x \implies</math>
 
<math>\implies -\frac{\varepsilon}{2} < f_n(x) - f_m(x) < \frac{\varepsilon}{2} \implies f_m(x) - \frac{\varepsilon}{2} < f_n(x) < f_m(x) + \frac{\varepsilon}{2} \implies</math>
 
<math>\underset{\text{fent } n \rightarrow \infty}{\implies} f_\infty(x) - \frac{\varepsilon}{2} \leq f_n(x) \leq f_\infty(x) + \frac{\varepsilon}{2} \implies - \frac{\varepsilon}{2} \leq f_n(x) - f_\infty(x) \leq \frac{\varepsilon}{2} \implies</math>
 
<math>\implies | f_n(x) - f_\infty(x) | \leq \frac{\varepsilon}{2} < \epsilon \quad \forall x, \quad \forall n \geq N_\varepsilon </math>}}
 
'''<u>Comentari:</u>''' Si <math>f \in \mathcal(C)(\kappa, \mathbb{R}), \kappa \text{ compacte}</math>, definim <math>|| f ||_\infty = \sup_{x \in \kappa} | f(x) |</math>
 
Es pot veure (tema 2), que això és una norma (norma del suprem o norma de la convergència uniforme).
 
Tota norma indueix una distància: <math>\left.\begin{array}{r}
d(f, g) = || f - g ||_\infty \\
f_n \longrightarrow f \text{ unif.} \iff \underbrace{\sup | f_n(x) - f(x) |}_{= || f_n - f ||_\infty} \longrightarrow 0
\end{array}\right\} \implies (\mathcal{C}(\kappa, \mathbb{R}), || \cdot ||_\infty) \text{ és espai metric complet.}</math>
 
{{Teorema|(relació conv. uniforme i continuïtat) Si <math>f_n \longrightarrow f_\infty \text{ unif. i } f_n \text{ contínues } \forall x \in E \implies f \text{ contínua } \forall x \in E</math>|<math>f_n \longrightarrow f_\infty \text{ unif.} \implies \forall \varepsilon > 0 \; \exists N_\varepsilon \text{ tq } | f_n(x) - f_\infty(x) | < \frac{\varepsilon}{3} \quad \forall x \in E \quad \forall n \geq N_\varepsilon</math>
 
Sigui <math>a \in E</math>. <math>| f_\infty(x) - f_\infty(a) | \leq |f_\infty(x) - f_{N_\varepsilon}(x) | + | f_{N_\varepsilon} - f_{N_\varepsilon}(a) | + | f_{N_\varepsilon}(a) - f_\infty(a) | < \underbrace{\frac{\varepsilon}{3}}_{\text{unif.}} + \underbrace{\frac{\varepsilon}{3}}_{\text{continuïtat } f_{N_\epsilon}} + \underbrace{\frac{\varepsilon}{3}}_{\text{unif.}} = \varepsilon</math>}}
 
'''<u>Comentari:</u>'''
# '''Cal la convergència uniforme.''' Per exemple: <math>E = [0, 1]; f_n(x) = x^n \overset{\text{punt.}}{\longrightarrow} \begin{cases}
0 \quad x \neq 1 \\
1 \quad x = 1
\end{cases}</math>. En aquest cas la convergència no és uniforme i la funció límit no és contínua.
# '''Pot passar <math>f_\infty \text{ contínua}, f_n \longrightarrow f_\infty \text{ punt.}</math>, però <math>f_n \not\to f_\infty \text{ unif.}</math>'''<br>Per exemple: <math>f_n(x) = nx(1 - x^2)^n \longrightarrow f_\infty(x) = 0, \quad x \in [0, 1]</math> (és a dir, el recíproc no és cert).
 
<!--{{Lema|(de Dini)
 
<math>\left.\begin{array}{r}
f_n(x) \longrightarrow f_\infty(x) \text{ puntualment } \forall x \in \kappa \text{ compacte} \\Lema: (de Dini)
 
 
f_n, f \text{ contínues} \\
f_n(x) \text{ punt. monòtones} (f_n(x) \gtreqless f_{n-1}(x))
\end{array}\right\} \implies f_n \longrightarrow f_\infty \text{ unif.}</math>|Definim <math>f_n(x) := f_n(x) - f_\infty(x) (\underset{\text{punt.}}{\longrightarrow} 0)</math> (sense pèrdua de generalitat suposem <math>(f_n)</math> decreixent puntualment).
 
<math>(f_n) \text{ decreixent} \implies f_n(x) \geq f_{n+1}(x) \geq f_\infty(x) \implies g_{m+1}(x) \leq g_m(x) \implies \forall x \in \kappa</math>}}-->
Retrieved from "https://potatopedia.avm99963.com/wiki/Special:MobileDiff/2734"