Anonymous

Difference between revisions of "Tema 1. Successions i sèries de funcions"

From Potatopedia

Tema 1. Successions i sèries de funcions (view source)

Revision as of 14:50, 15 February 2019

3,691 bytes added ,  14:50, 15 February 2019
Fet fins l'enunciat del criteri de Cauchy
(Created page with "== Introducció == <math>\forall n</math>, es defineix <math>\begin{align} f_n: \; & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto f_n(x) \end{align}</math> Per a...")
 
(Fet fins l'enunciat del criteri de Cauchy)
Line 4: Line 4:
Per a cada punt <math>x \in \mathbb{R}</math>, tenim la successió <math>(f_n(x))_n</math>.
Per a cada punt <math>x \in \mathbb{R}</math>, tenim la successió <math>(f_n(x))_n</math>.


{{Definició|Direm que <math>(f_n(x))_n</math> és <u>convergent puntualment</u> a <math>f(x)</math> si <math>\forall x, \forall \epsilon > 0 \; \exists N_{\epsilon, x} \text{ tq } |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \; \forall n \geq N_{\epsilon, x}</math>}}
{{Definició|Direm que <math>(f_n(x))_n</math> és <u>convergent puntualment</u> a <math>f_\infty(x)</math> si <math>\forall x, \forall \epsilon > 0 \; \exists N_{\epsilon, x} \text{ tq } |f_n(x) - f_\infty(x)| < \epsilon \; \forall n \geq N_{\epsilon, x}</math>}}


{{Example top|Exemple 1: <math>f_n(x) = x^n \quad x \in [0, 1]</math>}}
{{Example top|Exemple 1: <math>f_n(x) = x^n \quad x \in [0, 1]</math>}}
<math>\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0, \quad x \neq 1 \\ 1, \quad x = 1 \end{cases}</math>
<math>\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0, \quad x \neq 1 \\ 1, \quad x = 1 \end{cases}</math>
{{Collapse bottom}}
{{Collapse bottom}}
{{Example top|Exemple 2: <math>f_n(x) = \frac{x^2}{(1+x^2)^n}</math>}}
<math>\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 0</math>
{{Collapse bottom}}
{{Example top|Exemple 3: <math>f_n(x) = nx(1-x^2)^n, \quad x \in [0, 1]</math>}}
<math>\left.\begin{array}{r}
f_n(0) = 0 \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \\
f_n(1) = 0 \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \\
x \notin \{0, 1\} \implies f_n(x) = nx(1-x^2)^n \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0
\end{array}\right\}
\implies \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 0</math>
{{Collapse bottom}}
{{Definició|Sigui <math>f_n: E \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}</math>. Diem que <math>(f_n(x))_n</math> <u>convergeix uniformement</u> a <math>f_\infty(x)</math> si <math>\forall x, \forall \epsilon \quad \exists N_{\epsilon, x} \; \text{ tq } \; |f_n(x) - f_\infty(x)| < \epsilon \quad \forall n \geq N_{\epsilon, x}</math>. Això és equivalent a que <math>\sup_{x \in E} |f_n(x) - f_\infty(x)| < \epsilon \iff \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in E} |f_n(x) - f_\infty(x)|}_{\text{en aquest ordre, si no estudiaríem convergència puntual}} = 0</math>}}
{{Example top|Exemple 1: <math>f_n(x) = x^n \overset{\text{punt.}}{\longrightarrow} \begin{cases} 0 & x \neq 1 \\ 1 & x = 1 \end{cases}</math>}}
<math>\sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f_\infty(x)| = \sup_{x \in [0, 1)} |f_n(x)| = \sup_{x \in [0, 1)} x^n = 1 \not\to 0 \implies</math>
<math>\implies \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{[0, 1]} |f_n(x) - f_\infty(x)| = 1 \neq 0 \implies \text{No hi ha convergència uniforme a } [0, 1]</math>
Notem <math>\begin{align} f_n: \; & [0, 1] \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^n \end{align}</math>.
<math>\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} x^n = 0</math>
<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - 0| = \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} x^n = 1</math>
Si en canvi considerem <math>[0, a] \; a < 1</math>, tenim: <math>\begin{cases}
f_n(x) \longrightarrow 0 \text{ punt.} \\
\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f_\infty(x)| = \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} x^n = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0
\end{cases}</math>
{{Collapse bottom}}
{{Example top|Exemple 2: <math>f_n(x) = nx(1 - x^2)^n \quad x \in [0, 1]</math>}}
<math>f_n(x) \longrightarrow f_\infty(x) = 0</math>
<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f_\infty(x)| = \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in [0, 1]} nx(1-x^2) = \circledast</math>
Abans, veiem quin és el valor màxim que pot prendre cada <math>f_n(x)</math>:
<math>f'_n(x) = n[(1-x^2)^n + x \cdot n \cdot (1-x^2)^{n-1} \cdot (-2x)] = n[(1-x^2)^n - 2x^2n(1-x^2)^{n-1}]</math>
<math>f'_n(x) = 0 \iff (1-x^2)^n = 2x^2n(1-x^2)^{n-1} \iff \begin{cases}
x = 1 \\
1 - x^2 = 2x^2n \iff x^2 = \frac{1}{2n + 1} \underset{x \in [0, 1]}{\iff} x = +\sqrt{\frac{1}{2n + 1}}
\end{cases}</math>
<math>\circledast = \lim_{n \rightarrow \infty} n\frac{1}{\sqrt{2n + 1}} \cdot \left(1 - \frac{1}{2n + 1}\right)^n \longrightarrow \infty \implies \text{No hi haurà conv. uniforme}</math>
Hi haurà convergència uniforme a <math>[a, 1] \quad a > 0: \quad (\forall a > 0 \; \exists N \text{ tq } \frac{1}{\sqrt{2N + 1}} < a)</math>
{{Collapse bottom}}
=== Criteri de Cauchy ===
{{Proposició|Sigui <math>(f_n)</math> una successió de funcions tq <math>f_n(x) \longrightarrow f_\infty(x)</math> puntualment.
Aleshores: <math>f_n \longrightarrow \text{unif.} \implies \forall \epsilon > 0 \; \exists N_{\epsilon} \text{ tq } |f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon \quad \forall n, m  \geq N_\epsilon \; \forall x</math>}}
Retrieved from "https://potatopedia.avm99963.com/wiki/Special:MobileDiff/2732"