709
edits
Difference between revisions of "Tema 3. Cosmologia física"
From Potatopedia
Tema 3. Cosmologia física (view source)
Revision as of 16:39, 1 December 2021
, 16:39, 1 December 2021Fi del tema
(Fi de la classe) |
(Fi del tema) |
||
| Line 235: | Line 235: | ||
$\ddot{a} < 0 \iff \rho + \frac{3 p}{c^2} > 0$. Si $\rho > 0$, l'anterior és equivalent a $1 + 3w > 0$. | $\ddot{a} < 0 \iff \rho + \frac{3 p}{c^2} > 0$. Si $\rho > 0$, l'anterior és equivalent a $1 + 3w > 0$. | ||
=== Models plans === | === Models plans (Einstein-de Sitter) === | ||
Aquí el $\Omega_w = 1 \, \forall w$. El primer model d'aquestes característiques es va fer per $w = 0$ (pols): el model d'Einstein-de Sitter. Tot i que aquest model també es refereix a altres valors de $w$. | Aquí el $\Omega_w = 1 \, \forall w$. El primer model d'aquestes característiques es va fer per $w = 0$ (pols): el model d'Einstein-de Sitter. Tot i que aquest model també es refereix a altres valors de $w$. | ||
Notem que $\Omega_w = 1 \implies k = 0, \Omega_k = 0$. Per tant: | Notem que $\Omega_w = 1 \implies k = 0, \Omega_k = 0$. Per tant: | ||
$$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \left( \frac{a_0}{a} \right)^{1 + 3w} = H_0^2 (1 + z)^{1 + 3w}.$$ | $$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \left( \frac{a_0}{a} \right)^{1 + 3w} = H_0^2 (1 + z)^{1 + 3w}.$$ | ||
$$\left( \frac{a}{a_0} \right)^{(1 + 3w)/2} \, d \left( \frac{a}{a_0} \right) = H_0 \, dt \implies a(t) = a_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{2/[3(1 + w)]},$$ | $$\left( \frac{a}{a_0} \right)^{(1 + 3w)/2} \, d \left( \frac{a}{a_0} \right) = H_0 \, dt \implies \boxed{a(t) = a_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{2/[3(1 + w)]}},$$ | ||
$$\dot{a}(t) = a_0 \frac{2}{3(1 + w)t}, \quad \ddot{a}(t) = a \left[ - \frac{1 + 3w}{3(1 + w)} \right] \frac{1}{t^2}.$$ | $$\dot{a}(t) = a_0 \frac{2}{3(1 + w)t}, \quad \ddot{a}(t) = a \left[ - \frac{1 + 3w}{3(1 + w)} \right] \frac{1}{t^2}.$$ | ||
| Line 248: | Line 248: | ||
Corol·lari: aquests models tenen acceleració o desacceleració constant. | Corol·lari: aquests models tenen acceleració o desacceleració constant. | ||
''Data: dimecres 1 de desembre de 2021'' | |||
Seguint les equacions de l'altre dia: | |||
$$t_0 = \frac{2}{3(1 + w) H_0}, \quad \rho_{w0} t_0^2 = \rho_{\text{crit}, 0} t_0^2 = \frac{3 H_0^2}{8 \pi G} \left[ \frac{2}{3(1 + w)H_0} \right]^2 = \frac{1}{6 (1 + w)^2 \pi G} \implies$$ | |||
$$\implies \rho_w (t) = \rho_{w0}\left( \frac{t}{t_0} \right)^{-2} = \frac{1}{6 (1 + w)^2 \pi G t^2}.$$ | |||
Hem utilitzat $k = 0 \implies \rho_{w, 0} = \rho_{crit, 0}$. | |||
==== Univers de pols ==== | |||
En el cas de l'univers de pols ($w = 0$): | |||
$$a(t) = a_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{2/3},$$ | |||
$$t = t_0 (1 + z)^{-3/2},$$ | |||
$$H = \frac{2}{3t} \iff H \propto a^{-3/2},$$ | |||
$$q_0 = \frac{1}{2} \, ( > 0 \text{deceleració}),$$ | |||
$$\rho_{mat} = \frac{1}{6 \pi G t^2}.$$ | |||
==== Univers de radiació ==== | |||
En el cas de l'univers de radiació ($w = 1/3$), i suposant $t \lll t_0$: | |||
$$a(t) = a_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{1/2},$$ | |||
$$t = t_0 (1 + z)^{-2},$$ | |||
$$H = \frac{1}{2t} \iff H \propto a^{-2},$$ | |||
$$q_0 = 1$$ | |||
$$\rho_{rad} = \frac{3}{32 \pi G t^2}.$$ | |||
=== Models amb $k \neq 0$ === | |||
En aquest cas o bé $\Omega_w < 1$ (el que ens pensàvem fa temps) o $\Omega_w > 1$. | |||
Recordem: | |||
$$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \left[ \Omega_{w0} \left( \frac{a_0}{a} \right)^{1 + 3w} + (1 - \Omega_{w0}) \right].$$ | |||
En l'anterior secció fèiem servir que $$\Omega_{k0} = 1 - \Omega_{w0} = 0$$. Ara serà aquest terme el que domini sobre l'altre (ara $\Omega_{k0} \neq 0$!). | |||
Definim: | |||
$$a^* := a_0 \left( \frac{\Omega_{w0}}{1 - \Omega_{w0}} \right)^{1/(1 + 3w)}.$$ | |||
Parèntesi: en el cas de la pols ($w = 0$): | |||
$$a^* \propto \frac{1}{1 + z^*}$$ | |||
$$1 + z^* = \frac{1 - \Omega_0}{\Omega_0} = \frac{1}{\Omega_0},$$ | |||
si suposem $\Omega_0 \ll 1$ (això ens dona el red-shift de quan començaria a dominar la curvatura). | |||
==== Cas $t \lll t_0$: ==== | |||
Aquest cas és equivalent a demanar $0 < a \ll a^*$. En aquest cas: | |||
$$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \Omega_{w0} \left( \frac{a_0}{a} \right)^{1 + 3w}.$$ | |||
==== Cas $t \leq t_0$ ==== | |||
És equivalent a demanar $a \gg a^*$. | |||
$$\dot{a} \approx a_0 H_0 (1 - \Omega_{w0})^{1/2} = a_0 H_0 \Omega_{w0}^{1/2} \left( \frac{a_0}{a^*} \right)^{(1 + 3w)/2} = const.$$ | |||
$$\dot{a} = \frac{a}{t} = const.$$ | |||
$$a = a_0 H_0 (1 - \Omega_{w0})^{1/2} t = a^* \frac{2}{3 (1 + w)} \frac{t}{t^*} = a^* \frac{t}{t^*}$$ | |||
$$H = \frac{\dot{a}}{a} = t^{-1}$$ | |||
Com $\dot{a}$ és constant, $q = 0$. | |||
$$\rho = \frac{\rho_{crit, 0} \Omega_{w0}}{[H_0 (1 - \Omega_{w0})^{1/2} t]^{3(1 + w)}}.$$ | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
