709
edits
Difference between revisions of "Tema 3. Cosmologia física"
From Potatopedia
Tema 3. Cosmologia física (view source)
Revision as of 16:54, 29 November 2021
, 16:54, 29 November 2021Fi de la classe
(Fi de la classe) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 185: | Line 185: | ||
=== Brillantor superficial === | === Brillantor superficial === | ||
Si la brillantor superficial no depèn del redshift estem en el cas clàssic (funciona localment). Es va veure que depèn com $(1 + z)^{-4}$, així que sí que hi ha expansió. | Si la brillantor superficial no depèn del redshift estem en el cas clàssic (funciona localment). Es va veure que depèn com $(1 + z)^{-4}$, així que sí que hi ha expansió. | ||
''Data: dilluns 29 de novembre de 2021'' | |||
Es defineix la '''brillantor superficial''' com: | |||
$$\Sigma_x \propto \frac{L_x^{obs}}{\theta^2} \propto \frac{(1 + z)^{-2}}{(1 + z)^2} \propto (1 + z)^{-4},$$ | |||
on $x$ és la banda espectral i $\theta$ és l'àrea angular ($\theta \propto \frac{1}{d_A} \propto (1 + z)$). | |||
== Comentaris amb fotografies == | |||
Ens vam oblidar de definir la següent constant: | |||
$$h := \frac{H_0}{100 \text{km/s/Mpc}}.$$ | |||
[[File:Planck wmap table.svg|frameless|600px]] | |||
El paràmetre $\tau$ no l'hem vist i té a veure amb la segona reionització de l'hidrogen neutre de l'univers. | |||
Ara s'ha afinat molt la determinació d'aquests paràmetres i diferents models donen valors diferents que discrepen (3 sigmes de diferència per exemple!). | |||
@TODO: Afegir gràfica distàncies del power point. (l'eix horitzontal és el redshift z) | |||
[[File:Embedded LambdaCDM geometry.png|300px|thumb|Diferents distàncies (comòbil i pròpia: a temps fixat).]] | |||
== Models de Friedmann: solucions per $a(t)$ == | |||
Recordem: equació d'estat dels fluids perfectes: | |||
$$p = w \rho c^2, \quad w \in [0, 1]$$ | |||
Interval de Zel'dovich (??) | |||
Alguns exemples de $w$: | |||
* Pols: $w = 0$. | |||
* Energia fosca (buit): $w = -1$. | |||
* Geometria ($k$): $w = -1/3$. | |||
* Fluis relativista: $w = 1/3$ ($p = \frac{1}{3} \rho c^2$). | |||
$p = c_s^2 \rho$, on $c_s := (\partial_\rho p)_S^{1/2}$ velocitat del so adiabàtica. | |||
Si $w > 1$, aleshores $c_s > c$ (així que no pot ser). | |||
$$\rho_w a^{3(1 + w)} = ct.$$ | |||
Si $w = 1/3$ (gas relativista): (????) | |||
$$\rho a^4 = const.$$ | |||
$$\rho a^3 = const.$$ | |||
$\Lambda = 0$. | |||
Equacions de Friedmann: | |||
$$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \left[ \Omega_{w0} \left( \frac{a_0}{a} \right)^{1 + 3w} + (1 - \Omega_{w0}) \right].$$ | |||
$\ddot{a} < 0 \iff \rho + \frac{3 p}{c^2} > 0$. Si $\rho > 0$, l'anterior és equivalent a $1 + 3w > 0$. | |||
=== Models plans === | |||
Aquí el $\Omega_w = 1 \, \forall w$. El primer model d'aquestes característiques es va fer per $w = 0$ (pols): el model d'Einstein-de Sitter. Tot i que aquest model també es refereix a altres valors de $w$. | |||
Notem que $\Omega_w = 1 \implies k = 0, \Omega_k = 0$. Per tant: | |||
$$\left( \frac{\dot{a}}{a_0} \right)^2 = H_0^2 \left( \frac{a_0}{a} \right)^{1 + 3w} = H_0^2 (1 + z)^{1 + 3w}.$$ | |||
$$\left( \frac{a}{a_0} \right)^{(1 + 3w)/2} \, d \left( \frac{a}{a_0} \right) = H_0 \, dt \implies a(t) = a_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{2/[3(1 + w)]},$$ | |||
$$\dot{a}(t) = a_0 \frac{2}{3(1 + w)t}, \quad \ddot{a}(t) = a \left[ - \frac{1 + 3w}{3(1 + w)} \right] \frac{1}{t^2}.$$ | |||
$$H = \frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3(1 + w)t} = H_0 \frac{t_0}{t} \iff H \cdot t = \text{const.}$$ | |||
$$q_w = - \frac{a \ddot{a}}{\dot{a}^2} = \frac{1 + 3w}{2} = q_{w0} = \text{const.}$$ | |||
Corol·lari: aquests models tenen acceleració o desacceleració constant. | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
