709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Espais vectorials"
From Potatopedia
Tema 2. Espais vectorials (view source)
Revision as of 18:38, 18 September 2017
, 18:38, 18 September 2017Afegit més contingut dels apunts
(Created page with "== Espais vectorials i subespais vectorials == '''<u>Definició:</u>''' un <u>cos</u> és un conjunt ''K'' <u>no buit</u> amb dues operacions internes * Suma: <math>K \times...") |
(Afegit més contingut dels apunts) |
||
| Line 21: | Line 21: | ||
'''<u>Exemples:</u>''' | '''<u>Exemples:</u>''' | ||
# <math>K = \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> són <u>cossos</u>. | # <math>K = \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> són <u>cossos</u>. | ||
# <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, k[x]</math> <u>no</u> són cossos. | |||
# Enters mòduls n | |||
=== Enters mòduls n (parèntesi) === | |||
Fixat un natural n, dos enters <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> són <u>congruents módul n</u>, <math>a \equiv b \mod{n}</math>, <math>n \mid a-b</math>, és a dir; quan dividim per "n" obtenim el mateix residu amb "a" i amb "b". | |||
Agrupant els enters que són congruents mòdul "n" obtenim les classes de congruències mòdul n: <math>\bar{a} = \{a+\lambda \cdot n\}_{\lambda \in \mathbb{Z}}</math> | |||
Notació: <math>\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} = \{\text{conjunt de classes de congrüència mòdul n}\}</math> (es llegeix "zeta mòdul n") | |||
{{Collapse top|left=true|title=Exemple: <math>n=5</math>}} | |||
<math>\frac{\mathbb{Z}}{5\mathbb{Z}} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}\}</math> | |||
<math>\bar{0} = \{..., -5, 0, 5, 10, ...\}</math> | |||
<math>\bar{1} = \{..., -9, -4, 1, 6, 11, ...\}</math> | |||
{{Collapse bottom}} | |||
{{Collapse top|left=true|title=Exemple: Comproveu que les operacions suma i producte estan ben definides a <math>\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math>}} | |||
<math>\begin{cases} \bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b} \\ | |||
\bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{a \cdot b} \end{cases} en \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math> | |||
<math>\bar{1} + \bar{4} = \bar{5} \\ \bar{5} + \bar{14} = \bar{20}</math> | |||
De totes les propietats de la llista, l'única que "pot fallar" és <u>l'existència d'invers respecte el producte</u> (les altres són certes a <math>\mathbb{Z}</math>). | |||
'''Per n=5''': | |||
<math>\begin{cases} | |||
\overline{1} \cdot \overline{1} = \overline{1} \\ | |||
\overline{2} \cdot \overline{3} = \overline{1} \\ | |||
\overline{3} \cdot \overline{2} = \overline{1} \\ | |||
\overline{4} \cdot \overline{4} = \overline{1} | |||
\end{cases} \Rightarrow \text{Tots els productes tenen invers respecte del producte} \Rightarrow \frac{\mathbb{Z}}{5\mathbb{Z}}</math> | |||
'''Per n=6''': | |||
<math>\frac{\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}} = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}\}</math> | |||
<math>\overline{1} \cdot \overline{1} = \overline{1}</math> | |||
<math>\text{Si } \overline{a} \text{ fos invers de 2} \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{2} = \overline{1}</math>, és a dir, <math>a \cdot 2 = 1 + \lambda \cdot 6</math>: <u>impossible</u> perquè <math>\begin{array}{l} 2 \mid a \cdot 2 \\ 2 \mid \lambda \cdot 6 \\ 2 \nmid 1 \end{array}</math> | |||
{{Collapse bottom}} | |||
== Referències == | == Referències == | ||
